名校联盟2026届高一下数学期末质量检测试题含解析

名校联盟2026届高一下数学期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，则己知圆锥的母线长为（）.A． B． C． D．2．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为()A． B． C． D．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯A．81盏 B．112盏 C．162盏 D．243盏4．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．已知不同的两条直线m，n与不重合的两平面，，下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则6．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．7．已知向量，.且，则（）A．2 B． C． D．8．已知是常数，那么“”是“等式对任意恒成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．10．设等差数列的前项和为，若，，则的值为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．12．如图，正方形中，分别为边上点，且，，则________.13．函数在的值域是______________.14．已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为______．15．已知函数，则的取值范围是____16．函数，函数，若对所有的总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f（x）＝asin（x）（a＞0）在同一半周期内的图象过点O，P，Q，其中O为坐标原点，P为函数f（x）的最高点，Q为函数f（x）的图象与x轴的正半轴的交点，△OPQ为等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）将△OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角α（0＜α），得到△OP′Q′，若点P′恰好落在曲线y（x＞0）上（如图所示），试判断点Q′是否也落在曲线y（x＞0），并说明理由．18．如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．19．如图，是正方形，是正方形的中心，底面是的中点.（1）求证：平面；（2）若,求三棱锥的体积.20．已知角、的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴正半轴重合，且角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点位于第二象限，角的终边和单位圆的交点位于第三象限，若点的横坐标为，点的纵坐标为.（1）求、的值；（2）若，求的值.（结果用反三角函数值表示）21．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；（Ⅱ）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

设圆锥的母线长为，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为来求解.【详解】设圆锥的母线长为，因为圆台的上、下底面半径之比为，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2、A【解析】

若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,,,,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质3、D【解析】

从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为1．由等比数列的知识可得．【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为a1,a2,a3故选D．【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．4、C【解析】

直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．则：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选C．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5、C【解析】

依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】若，，则或A错误.若，，则或，B错误若，，则，正确若，，则或，D错误故答案选C【点睛】本题考查了线面关系，找出反例是解题的关键.6、B【解析】

通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【详解】，为三角形内角，则，，当且仅当时取等号【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.7、B【解析】

通过得到，再利用和差公式得到答案.【详解】向量，.且故答案为B【点睛】本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力.8、B【解析】

由辅助角公式结合条件得出、的值，由结合同角三角函数得出、的值，于此可得出结论.【详解】由可得或，由辅助角公式，其中，.因此，“”是“等式对任意恒成立”的必要非充分条件，故选B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应用，考查推理能力，属于中等题.9、A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.10、D【解析】

利用等差数列的前项和的性质可求的值.【详解】因为，所以，故，故选D.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解析】由题意得，验证满足条件，所以12、（或）【解析】

先设，根据题意得到，再由两角和的正切公式求出，得到，进而可得出结果.【详解】设，则所以，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记公式即可，属于常考题型.13、【解析】

利用，即可得出．【详解】解：由已知，，又

，

故答案为：．【点睛】本题考查了反三角函数的求值、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14、【解析】

利用方差的性质直接求解．【详解】一组数据，，，的方差为5，这组数据，，，的方差为：．【点睛】本题考查方差的性质应用。若的方差为，则的方差为。15、【解析】

分类讨论，去掉绝对值，利用函数的单调性，求得函数各段上的取值，进而得到函数的取值范围，得到答案．【详解】由题意，当时，函数，此时函数为单调递减函数，所以最大值为，此时函数的取值当时，函数，此时函数为单调递减函数，所以最大值为，最小值，所以函数的取值为当时，函数，此时函数为单调递增函数，所以最大值为，此时函数的取值，综上可知，函数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了分段函数的值域问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值，利用函数的单调性求得各段上的值域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16、【解析】

分别求得f（x）、g（x）在[0，]上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m的取值范围．【详解】∵f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当x∈[0，]，2x+∈[，]，∴2sin（2x+）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．对于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]．由于对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[﹣+3，3﹣m]⊆[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，]．故答案为．【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含义，转化为f（x）的值域是g（x）的子集．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）见解析.【解析】

（1）由已知利用周期公式可求最小正周期T＝8，由题意可求Q坐标为（1，0）．P坐标为（2，a），结合△OPQ为等腰直角三角形，即可得解a的值．（2）由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，可求点P′，Q′的坐标，由点P′在曲线y（x＞0）上，利用倍角公式，诱导公式可求cos2，又结合0＜α，可求sin2α的值，由于1cosα•1sinα＝8sin2α＝23，即可证明点Q′不落在曲线y（x＞0）上．【详解】（Ⅰ）因为函数f（x）＝asin（x）（a＞0）的最小正周期T8，所以函数f（x）的半周期为1，所以|OQ|＝1．即有Q坐标为（1，0）．又因为P为函数f（x）图象的最高点，所以点P坐标为（2，a），又因为△OPQ为等腰直角三角形，所以a2．（Ⅱ）点Q′不落在曲线y（x＞0）上．理由如下：由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，所以点P′，Q′的坐标分别为（2cos（），2sin（）），（1cosα，1sinα），因为点P′在曲线y（x＞0）上，所以3＝8cos（）sin（）＝1sin（2）＝1cos2α，即cos2，又0＜α，所以sin2α．又1cosα•1sinα＝8sin2α＝823．所以点Q′不落在曲线y（x＞0）上．18、（1）详证见解析；（2）详证见解析.【解析】

（1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面．（2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直．【详解】（1）证明：连交于O,因为四边形是正方形,所以,连，则是三角形的中位线,,平面，平面所以平面.（2）因为平面,所以,因为是正方形，所以,所以平面,所以平面平面.【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）由平面得出，由底面为正方形得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面；（2）由勾股定理计算出，由点为线段的中点得知点到平面的距离等于，并计算出的面积，最后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积．【详解】（1）平面，平面，，又为正方形，，又平面，平面，，平面；（2）由题意知：，又，，，点到面的距离为，.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，在计算三棱锥的体积时，充分利用题中的线面垂直关系和平面与平面垂直的关系，寻找合适的底面和高来进行计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题．20、（1）；（2）【解析】

（1）可根据单位圆定义求出，再由二倍角正弦公式即可求解；（2）先求出由可求得，结合反三角函数即可求得【详解】（1）由题可知：，，，；（2）由，，又，【点睛】本题考查单位圆的定义，二倍角公式的应用，两角差余弦公式的用法，属于中档题21、（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线