1.1 三角形内角和定理（1）课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明1.1三角形内角和定理（1）三角形内角和定理的证明，全等三角形的判定与性质北师大版八年级下册数学在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题:一个几何命题被提出来的过程对证明它有什么帮助?在证明一个几何命题时，你是如何获得证明思路的?本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条：基本事实3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。2.两点之间线段最短。1.两点确定一条直线。4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行)。5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。在八年级上册"命题与证明"一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。8.三边分别相等的两个三角形全等。7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。SASASASSS另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关.思考：有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?锐角三角形度量法480720600600＋480＋720＝1800（学生运用学科工具—量角器测量演示）我们借助数学几何画板进一步验证三角形内角和是1800拼一拼(1)如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论吗?如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的.我们知道，三角形三个内角的和等于180°。如何证明这个结论呢？尝试·交流如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果?如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线将等角进行转移.如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到将∠A转移到∠1的位置的效果.(2)你能说说这个结论的证明思路吗?请试着写出证明过程.已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA，则∠1=∠A，∠2=∠B∵点B，C，D在同一条直线上∴∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°DE21这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.三角形三个内角的和等于180°.三角形内角和定理：符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°1、在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=

.2、△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B=

.3、一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形B练一练102°50°(1)如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗?∴∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等)又∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换)可行.∵PQ∥BC(已知)思考·交流(2)对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗?ABC123MN证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥AC交AB于点M，ND∥AB交AC于点N，则∠1=∠C，∠3=∠B

，∠2=∠BMD=∠A

又∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠C+∠A+∠B=180°D思考·交流

为了证明三个角的和为180°,将其转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法.在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.作辅助线思路总结例1如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.BCAD解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°，∠C=62°∴∠BAC=180°-38°-62°=80°∵AD平分∠BAC在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°，∠BAD=40°∴∠ADB=180°-38°-40°=102°例题讲解我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗?证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.尝试·思考证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°

∠D＋∠E＋∠F＝180°∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)∠F＝180°－(∠D＋∠E)又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E∴∠C＝∠F已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.∠C=∠F(已证)BC=EF(已知)∠B=∠E(已知)∴△ABC≌△DEF（ASA）在△ABC和△DEF中，∵ABCDEF符号语言：定理

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为角角边（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到全等三角形的对应边相等、对应角相等.∠A=∠DBC=EF∠B=∠E∴△ABC≌△DEF（AAS）在△ABC和△DEF中中，∵全等三角形的判定定理(要理解记忆)：1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为边边边（SSS）。2.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为边角边（SAS）。3.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为角边角（ASA）。4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为角角边（AAS）.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.（1)____（2)____（4)___（3)____ADADDADABBEEBBEECCFFCCFF全等三角形的判定定理：根据下列图形分别说出两个三角形全等的符号语言（全等五行）.1.如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数.解：∵BD与CE是△ABC的高∴∠ADB=90°，∠BEC=90°∵∠A=50°∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°∴∠BOE=180°-∠BEC-∠ABD=180°-90°-40°=50°∴∠COD=∠BOE=50°随堂练习2.已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且

DE∥BC.求证：∠ADE=50°.证明：在△ABC中，∵∠A=60°，∠C=70°(已知)∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50°(三角形内角和定理)∵DE∥BC∴∠ADE=∠B=50°(两直线平行，同位角相等).随堂练习谈谈本节课你的收获一、证明三角形内角和定理的方法

（借助平行线将三角形的三个内角拼成一个平角）课堂小结二、全等三角形的判定定理1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为边边边（SSS）。2.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为边角边（SAS）。3.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为角边角（ASA）。4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为

角角边（AAS）。三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。基础作业：习题1.1第1,2,6题拓展作业：习题1.1第7题布置作业1．直角三角形的两锐角之和是多少度？ABC2．正三角形的一个内角是多少度？ABC巩固应用直角三角形的两锐角互余.正三角形的每一个内角都是60°.3．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求证：AB＝DE.证明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF即AC＝DF

∴△ABC≌△DEF(AAS)∴AB＝DE巩固应用4.如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C.(1)求证：△ABD≌△EDC；(2)若∠B＝35°，