2025年绵阳市东城初升高自主招生考试数学考试卷含答案

2025年绵阳市东城初升高自主招生考试数学考试卷含答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若\(a^2+b^2=1\)，则\((a+b)^2+(ab)^2\)的值为（）

A.2

B.1

C.2a^2+2b^2

D.4

答案：C

解析：\((a+b)^2+(ab)^2=a^2+2ab+b^2+a^22ab+b^2=2a^2+2b^2\)。因为\(a^2+b^2=1\)，所以\(2a^2+2b^2=2\)。

2.已知函数\(f(x)=x^22x+1\)，则\(f(x1)\)的值为（）

A.\(x^24x+4\)

B.\(x^22x+1\)

C.\(x^22x+2\)

D.\(x^23x+2\)

答案：A

解析：\(f(x1)=(x1)^22(x1)+1=x^22x+12x+2+1=x^24x+4\)。

3.已知等差数列\{an\}的前n项和为\(S_n=2n^2+n\)，则该数列的通项公式为（）

A.\(a_n=4n3\)

B.\(a_n=2n+1\)

C.\(a_n=2n1\)

D.\(a_n=4n+1\)

答案：C

解析：由等差数列前n项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，得\(2n^2+n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=3\)。当\(n=2\)时，\(S_2=2\times2^2+2=10\)，\(a_2=S_2S_1=7\)。由此可得\(a_n=a_1+(n1)d\)，代入\(a_1=3\)和\(a_2=7\)，解得\(d=2\)，所以\(a_n=3+2(n1)=2n1\)。

4.若\(a,b,c\)是等比数列，且\(a+b+c=14\)，\(abc=27\)，则\(b\)的值为（）

A.3

B.6

C.9

D.12

答案：B

解析：由\(abc=27\)，得\(b^3=27\)，所以\(b=3\)。因为\(a,b,c\)是等比数列，所以\(a=\frac{b}{q}\)，\(c=bq\)。代入\(a+b+c=14\)，得\(\frac{b}{q}+b+bq=14\)。因为\(b=3\)，所以\(\frac{3}{q}+3+3q=14\)。解得\(q=1\)，所以\(a=3\)，\(c=3\)。因此，\(b=6\)。

5.若\(x,y\)是方程\(x^2+y^2=5\)的解，则\(x^2+y^2+2xy\)的最小值为（）

A.5

B.10

C.15

D.20

答案：B

解析：\(x^2+y^2+2xy=(x+y)^2\)。因为\(x^2+y^2=5\)，所以\((x+y)^2\geq2xy\)。所以\(x^2+y^2+2xy\geq5+2xy\)。当\(x=y=\sqrt{2.5}\)时，\(x^2+y^2+2xy\)的最小值为\(10\)。

6.若\(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)在\(x=1\)处有极值，则\(a,b,c,d\)应满足的条件是（）

A.\(a=c\)

B.\(a=d\)

C.\(b=d\)

D.\(adbc\neq0\)

答案：A

解析：\(f'(x)=\frac{(ac)(cx+d)}{(cx+d)^2}\)。当\(x=1\)时，\(f'(1)=0\)，所以\(ac=0\)，即\(a=c\)。

7.若\(f(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\)，则\(f^{1}(x)\)的定义域是（）

A.\((0,+\infty)\)

B.\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)

C.\([1,+\infty)\)

D.\((0,1]\)

答案：C

解析：因为\(f(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\)，所以\(x\neq0\)。由\(y=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\)得\(y^2=1+\frac{1}{x^2}\)，所以\(\frac{1}{x^2}=y^21\)，即\(x^2=\frac{1}{y^21}\)。因为\(x^2>0\)，所以\(y^21>0\)，即\(y>1\)或\(y<1\)。因此，\(f^{1}(x)\)的定义域是\([1,+\infty)\)。

8.若\(x,y\)满足\(x+y=2\)，\(x^2+y^2=2\)，则\(x^2y^2\)的值为（）

A.1

B.2

C.4

D.8

答案：A

解析：由\(x+y=2\)得\(y=2x\)。代入\(x^2+y^2=2\)，得\(x^2+(2x)^2=2\)，解得\(x=1\)或\(x=1\)。因此，\(y=1\)或\(y=1\)。所以\(x^2y^2=1\)。

9.若\(x\)满足\(|x2|<1\)，则\(|x3|+|x1|\)的最小值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：由\(|x2|<1\)得\(1<x<3\)。所以\(|x3|+|x1|=(3x)+(x1)=2\)。当\(x=2\)时，\(|x3|+|x1|\)的最小值为\(2\)。

10.若\(x,y\)是方程组\(\begin{cases}x+y=3\\x^2+y^2=5\end{cases}\)的解，则\(x^3+y^3\)的值为（）

A.6

B.12

C.18

D.24

答案：D

解析：由\(x+y=3\)得\(y=3x\)。代入\(x^2+y^2=5\)，得\(x^2+(3x)^2=5\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。因此，\(y=2\)或\(y=1\)。所以\(x^3+y^3=(x+y)(x^2xy+y^2)=3\times(12+5)=24\)。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若\(a^2+b^2=25\)，则\(a+b\)的取值范围是________。

答案：\([5,5]\)

解析：因为\(a^2+b^2=25\)，所以\(25\geq(a+b)^2\)，即\(5\leqa+b\leq5\)。

12.已知等差数列\{an\}的前n项和为\(S_n=n^2+n\)，则该数列的通项公式为________。

答案：\(a_n=2n+1\)

解析：由等差数列前n项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，得\(n^2+n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=2\)。当\(n=2\)时，\(S_2=2^2+2=6\)，\(a_2=S_2S_1=4\)。由此可得\(a_n=a_1+(n1)d\)，代入\(a_1=2\)和\(a_2=4\)，解得\(d=2\)，所以\(a_n=2+2(n1)=2n+1\)。

13.若\(a,b,c\)是等比数列，且\(a+b+c=14\)，\(abc=27\)，则\(a,b,c\)的值为________。

答案：\(a=1,b=3,c=9\)或\(a=9,b=3,c=1\)

解析：由\(abc=27\)，得\(b^3=27\)，所以\(b=3\)。因为\(a,b,c\)是等比数列，所以\(a=\frac{b}{q}\)，\(c=bq\)。代入\(a+b+c=14\)，得\(\frac{b}{q}+b+bq=14\)。因为\(b=3\)，所以\(\frac{3}{q}+3+3q=14\)。解得\(q=1\)或\(q=1\)。所以\(a=3\)，\(c=3\)或\(a=1\)，\(c=9\)。

14.若\(x,y\)是方程\(x^2+y^2=5\)的解，则\(x^2+y^2+2xy\)的最小值为________。

答案：10

解析：\(x^2+y^2+2xy=(x+y)^2\)。因为\(x^2+y^2=5\)，所以\((x+y)^2\geq2xy\)。所以\(x^2+y^2+2xy\geq5+2xy\)。当\(x=y=\sqrt{2.5}\)时，\(x^2+y^2+2xy\)的最小值为\(10\)。

15.若\(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)在\(x=1\)处有极值，则\(a,b,c,d\)应满足的条件是________。

答案：\(a=c\)

解析：\(f'(x)=\frac{(ac)(cx+d)}{(cx+d)^2}\)。当\(x=1\)时，\(f'(1)=0\)，所以\(ac=0\)，即\(a=c\)。

三、解答题（每题20分，共60分）

16.解方程组\(\begin{cases}x+y=3\\x^2+y^2=5\end{cases}\)。

答案：\(x=1,y=2\)或\(x=2,y=1\)

解析：由\(x+y=3\)得\(y=3x\)。代入\(x^2+y^2=5\)，得\(x^2+(3x)^2=5\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。因此，\(y=2\)或\(y=1\)。

17.已知函数\(f(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\)，求\(f^{1}(x)\)的定义域。

答案：\([1,+\infty)\)

解析：因为\(f(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\)，所以\(x\neq0\)。由\(y=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\)得\(y^2=1+\frac{1}{x^2}\)，所以\(\frac{1}{x^2}=y^21\)，即\(x^2=\frac{1}{y^21}\)。因为\(x^2>0\)，所以\(y^21>