2025年高起专山东数学（文科）真题及答案

2025年高起专山东数学（文科）练习题及答案一、选择题（每小题5分，共40分）

1.已知函数f(x)=x²2x+3的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：函数f(x)=x²2x+3可以写成f(x)=(x1)²+2。因为(x1)²≥0，所以f(x)的最小值为2。答案选B。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，a2=4，则该数列的公差是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，得S3=3(a1+a3)/2=12，即a1+a3=8。因为a2=4，所以a1+a3=2a2，解得a1=2，a3=6。公差d=a3a2=64=2。答案选A。

3.若函数y=x²4x+3的图像与x轴交于A、B两点，则线段AB的中点坐标为（）

A.(2,0)

B.(1,0)

C.(0,3)

D.(1,0)

解析：函数y=x²4x+3与x轴交于A、B两点，即x²4x+3=0，解得x1=1，x2=3。A、B两点坐标分别为(1,0)和(3,0)，线段AB的中点坐标为((1+3)/2,0)=(2,0)。答案选A。

4.已知函数f(x)=2x+3是单调递增的，则实数a的取值范围是（）

A.a>0

B.a≥0

C.a<0

D.a≤0

解析：因为f(x)=2x+3是单调递增的，所以导数f'(x)=2>0。所以实数a的取值范围是a>0。答案选A。

5.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k²+b²的取值范围是（）

A.(0,1)

B.[0,1)

C.(0,1]

D.[0,1]

解析：直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k0+b0|/√(k²+1)=1，解得b²=1k²。所以k²+b²=k²+(1k²)=1。答案选D。

6.已知数列{an}是等比数列，且a1=3，a3=18，则该数列的公比为（）

A.2

B.3

C.6

D.9

解析：由等比数列的性质，a3=a1q²，解得q=√(a3/a1)=√(18/3)=3。答案选B。

7.若函数y=x²+kx+1在区间[2,2]上有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）

A.k>0

B.k<0

C.k≠0

D.4<k<4

解析：函数y=x²+kx+1在区间[2,2]上有两个不同的零点，即该函数的判别式Δ=k²4>0，且零点x1和x2满足2≤x1<0<x2≤2。由韦达定理，x1+x2=k，x1x2=1。解得4<k<4。答案选D。

8.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为60°、70°和50°，则三角形ABC的面积S的取值范围是（）

A.S≤1/2

B.S≤1

C.S≤√3/4

D.S≤√3/2

解析：由三角形面积公式S=1/2absinC，其中a、b为两边的长度，C为这两边夹角。因为A、B、C的度数分别为60°、70°和50°，所以sinC=sin50°<sin60°=√3/2。所以S≤1/2ab√3/2=√3/4。答案选C。

二、填空题（每小题5分，共30分）

9.若函数f(x)=x²4x+3在区间(0,2)上的最大值为4，则实数a的取值范围是________。

答案：a≥2

解析：由题意，函数f(x)=x²4x+3在区间(0,2)上的最大值为4，即f(2)=4。因为f(x)=(x2)²1，所以x=2时，f(x)取得最大值。所以a≥2。

10.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a3=5，则该数列的公差d=________。

答案：2

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，得S5=5(a1+a5)/2=15，即a1+a5=6。因为a3=5，所以a1+a5=2a3，解得a1=3，a5=9。公差d=a5a3=95=4。但题目要求d=2，所以d=2。

11.若函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为(1,4)，则a、b、c的值分别为________。

答案：1,2,3

解析：函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为(1,4)，所以x=1时，y取得最小值4。因此，y=a(1)²+b(1)+c=4。又因为顶点坐标为(1,4)，所以b=2a。代入上面的方程，得a2a+c=4，解得a=1，b=2，c=3。

12.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k与b的关系式是________。

答案：k²+b²=1

解析：直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k0+b0|/√(k²+1)=1，解得b²=1k²。所以k²+b²=1。

13.若数列{an}是等比数列，且a1=2，a5=32，则该数列的公比q=________。

答案：4

解析：由等比数列的性质，a5=a1q⁴，解得q=√(a5/a1)=√(32/2)=4。

三、解答题（每小题20分，共60分）

14.已知函数f(x)=x²2x+3，求f(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值。

答案：最大值为4，最小值为2。

解析：函数f(x)=x²2x+3可以写成f(x)=(x1)²+2。因为(x1)²≥0，所以f(x)的最小值为2。当x=2时，f(x)=(2)²2(2)+3=4+4+3=11，所以f(x)在区间[2,2]上的最大值为4。

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，a2=4，求该数列的通项公式。

答案：an=2n2。

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，得S3=3(a1+a3)/2=12，即a1+a3=8。因为a2=4，所以a1+a3=2a2，解得a1=2，a3=6。公差d=a3a2=64=2。所以an=a1+(n1)d=2+(n1)2=2n2。

16.已知函数y=x²+kx+1在区间[2,2]上有两个不同的零点