2025年高起专浙江数学（文科）试题含答案

2025年高起专浙江数学（文科）试题含答案一、选择题（每小题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x^22x+1在区间（0，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≤0

C.a≥1

D.a≥0

答案：C

解析：函数f(x)=x^22x+1的导数为f'(x)=2x2。要使f(x)在区间（0，+∞）上是减函数，需f'(x)<0，即2x2<0。解得x<1。由于a为实数，故选C。

2.若a，b是方程x^2(a+b)x+ab=0的两根，则a+b的值为（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：D

解析：根据韦达定理，方程x^2(a+b)x+ab=0的两根之和为a+b，即a+b=a+b。所以选D。

3.设函数g(x)=x^33x，下列关于g(x)的说法正确的是（）

A.g(x)在x=0处取得极小值

B.g(x)在x=1处取得极大值

C.g(x)在x=1处取得极小值

D.g(x)在x=0处取得极大值

答案：C

解析：g'(x)=3x^23。令g'(x)=0，解得x=1，0，1。当x<1时，g'(x)>0；当1<x<0时，g'(x)<0；当x>0时，g'(x)>0。所以g(x)在x=1处取得极小值，选C。

4.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=12，S6=27，则该数列的首项a1和公差d分别为（）

A.a1=3，d=2

B.a1=3，d=1

C.a1=1，d=2

D.a1=1，d=1

答案：A

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，代入S3=12和S6=27，得到方程组：

3/2(2a1+2d)=12

6/2(2a1+5d)=27

解得a1=3，d=2。所以选A。

5.若函数y=2x3与函数y=log2(x1)的图象有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）

A.k>1

B.k<1

C.k≥1

D.k≤1

答案：B

解析：函数y=2x3与函数y=log2(x1)的图象有两个不同的交点，即方程2x3=log2(x1)有两个不同的实数根。将方程转化为2x3=log2(x1)的形式，得到2x3=k。因为log2(x1)的定义域为x>1，所以2x3>0，即x>3/2。所以k<1，选B。

6.若函数h(x)=x^2+bx+c的图象上存在一个点P，使得P到直线y=2的距离等于点P到点A(3,0)的距离，则b+c的值为（）

A.5

B.2

C.5

D.2

答案：A

解析：设点P的坐标为(x,y)，则点P到直线y=2的距离为|y+2|，点P到点A(3,0)的距离为√((x3)^2+y^2)。根据题意，|y+2|=√((x3)^2+y^2)。平方后得到(y+2)^2=(x3)^2+y^2。化简得到x^2+y^26x+5=0。将h(x)=x^2+bx+c代入，得到x^2+bx+c6x+5=0。比较系数得到b=6，c=5。所以b+c=1。选A。

7.若矩阵A=[ab;cd]的行列式为2，则矩阵B=[db;ca]的行列式为（）

A.2

B.2

C.1

D.1

答案：B

解析：矩阵B是矩阵A的伴随矩阵的转置。伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，所以矩阵B的行列式为2。选B。

8.若函数f(x)=x^33x+1在x=1处取得极值，则实数a的值为（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：C

解析：f'(x)=3x^23。要使f(x)在x=1处取得极值，需f'(1)=0。代入得到3(1)^23=0，解得a=1。所以选C。

二、填空题（每小题5分，共20分）

9.若函数y=x^24x+3的图象上存在一个点P，使得P到直线y=2的距离等于点P到点A(2,0)的距离，则点P的坐标为______。

答案：(1,1)或(3,1)

解析：设点P的坐标为(x,y)，则点P到直线y=2的距离为|y2|，点P到点A(2,0)的距离为√((x2)^2+y^2)。根据题意，|y2|=√((x2)^2+y^2)。平方后得到(y2)^2=(x2)^2+y^2。化简得到x^24x+4=y^2。将函数y=x^24x+3代入，得到x^24x+4=x^24x+3。解得x=1或x=3。所以点P的坐标为(1,1)或(3,1)。

10.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4=16，S8=64，则该数列的公差d为______。

答案：2

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，代入S4=16和S8=64，得到方程组：

4/2(2a1+3d)=16

8/2(2a1+7d)=64

解得d=2。

11.若函数y=x^22x+k在区间[0,2]上是增函数，则实数k的取值范围是______。

答案：k≤1

解析：函数y=x^22x+k的导数为y'=2x2。要使函数在区间[0,2]上是增函数，需y'≥0。解得x≥1。所以k≤1。

12.若函数y=x^33x+1在x=1处取得极值，则实数a的值为______。

答案：1

解析：f'(x)=3x^23。要使f(x)在x=1处取得极值，需f'(1)=0。代入得到3(1)^23=0，解得a=1。

三、解答题（共40分）

13.（10分）已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调区间。

解答：f'(x)=3x^23。令f'(x)=0，解得x=1，1。当x<1时，f'(x)>0；当1<x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0。所以f(x)在区间(∞,1)和(1,+∞)上是增函数，在区间(1,1)上是减函数。

14.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=12，S6=27。求该数列的首项a1和公差d。

解答：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，代入S3=12和S6=27，得到方程组：

3/2(2a1+2d)=12

6/2(2a1+5d)=27

解得a1=3，d=2。

15.（15分）已知函数y=2x3与函数y=log2(x1)的图象有两个不同的交点，求实数k的取值范围。

解答：函