《理论力学第4版》课件 第2章 力系的简化

第二章力系的简化第2章力系的简化2.1汇交力系的简化

2.2力偶系的简化

2.3空间一般力系的简化

2.4重心

2.1汇交力系的简化汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系

汇交力系平面汇交力系空间汇交力系作用在刚体上的力为滑移矢量汇交力系共点力系沿作用线移动一、合成的几何法AF2F1F4F3F2F1FF3F4BCDEAF2AF1F4F32.1汇交力系的简化由力的三角形法则，得分力矢和合力矢构成了封闭四边形称为力多边形，由力多边形求合力的方法称为力多边形法则。F2F1FF3F4BCDAF2F1FF3F4BCDA力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，其方向为第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。2.1汇交力系的简化可推广到一般，求个力组成的汇交力系的合力。空间汇交力系是否可以用力的多边形法则求合力？结论：汇交力系合成的结果是一个合力作用线：作用线通过汇交点大小方向：由力多边形封闭边确定用矢量式表示：2.1汇交力系的简化二、合成的解析法（汇交力系合力矢为各分力矢的矢量和）设合力解析表示为：2.1汇交力系的简化得：合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力的大小：合力的方向：合力的作用线过汇交点2.1汇交力系的简化三、汇交力系的合力矩定理汇交力系合力为合力对点的力矩矢为：由于得：其中：所以得：2.1汇交力系的简化汇交力系的合力矩定理：

汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各分力对同一点之力矩矢的矢量和；合力对任一轴之矩等于各个分力对同一轴之矩的代数和。

平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和。平面汇交力系的合力矩定理：2.1汇交力系的简化例1：力F作用于支架上的点C如图所示，设F=100N,

试求力F分别对点A,B之矩。解：mNFFFMFMFMyAxAA=-=+=2360cos360sin2)()()(oorrrmNFFMFMFMyBxBB-=-=+=15060cos30)()()(orrr2.1汇交力系的简化12已知

，

，

，

为作用于刚体上的平面汇交力系，其力矢关系如图所示，由此可知()。该力系的合力该力系的合力该力系的合力该力系平衡。ABCD提交单选题2.2力偶系的简化一、力偶的概念和性质1、概念力偶：等值、反向、不共线的两个力组成的力系。力偶中两力作用线间的垂直距离称为力偶臂。力作用线所决定的平面称为力偶作用面。d力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。2.2力偶系的简化152、力偶矩

计算力偶中两个力对某点O的力矩的矢量

上式表明，力偶对任一点的力矩均为常矢量，而与矩心的选取无关，称这个矢量为力偶的力偶矩。d2.2力偶系的简化性质1：力偶可在自己的作用平面内任意移动，对刚体的作用效果不变。3、力偶的性质2.2力偶系的简化FF´FF´17决定力偶等效的因素是力偶矩的大小和转向。力偶在其作用平面内可表示为：2.2力偶系的简化性质2：力偶可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，只要保持力偶矩大小和转向不变,对刚体的效果就不变。。FF´F/2F´/22.2力偶系的简化性质3：力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动，而不改变原力偶对刚体的效应。力偶矩的大小力偶矩的转向作用平面在空间的方位力偶的三要素力偶矩矢相等的两力偶等效。力偶矩矢是自由矢量。2.2力偶系的简化4、力偶系的合成1、空间力偶系的合成空间力偶系：

空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。2.2力偶系的简化合力偶大小：合力偶方向：2、平面力偶系的合成2.2力偶系的简化2.3空间一般力系的简化一、力的平移定理力的平移定理：作用于刚体上的力均可从原来的作用点平移至同一刚体内任意一点，为不改变原力对刚体的作用效应，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的矩。工程实例2.3空间一般力系的简化二、空间一般力系向一点简化空间一般力系：各力的作用线不在同一平面内，且既不汇交一点又不相互平行的力系。O刚体内任选一点O，力系向O点简化O点称为简化中心2.3空间一般力系的简化2.3空间一般力系的简化261）根据力的平移定理，将各力平行移到O点，1、简化的一般结果2）空间一般力系空间汇交力系空间力偶系其中：3）空间汇交力系简化结果：合力过汇交点空间力偶系简化结果：合力偶2.3空间一般力系的简化27主矢量：力系中各力的矢量和。主矩：力系中各力对简化中心矩的矢量和。主矢和简化中心的选择无关，主矩和简化中心的选择有关。思考：主矢和合力是否相同？结论：空间一般力系向任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。2.3空间一般力系的简化28空间一般力系简化实例2.3空间一般力系的简化292、主矢和主矩的计算1）主矢的计算2）主矩的计算2.3空间一般力系的简化30三、空间一般力系简化的最后结果1、若 ,则该力系平衡（下章专门讨论）。2、若 ,则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩。此时简化结果与简化中心的位置无关。3、若 ，则力系可合成为一个合力，合力通过简化中心O点，合力大小和方向由力系的主矢确定。此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零。

2.3空间一般力系的简化314、若

1）力系可合成为一个合力，合力大小方向由主矢确定，作用线不过简化中心O,偏离的距离2.3空间一般力系的简化32空间一般力系的合力矩定理：

空间力系向O点简化后得主矢

和主矩

,若，可进一步合成为一个作用在新简化中心O'点的合力。又由于2.3空间一般力系的简化33合力矩定理的一般形式(1).力系如有合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的矢量和。(2).力系如有合力，则合力对任一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和。2.3空间一般力系的简化342）力螺旋：由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系。力、力偶和力螺旋是力学的基本量。右旋力螺旋：图a左旋力螺旋：图bFMO（a）MO（b）F中心轴：与力作用线相重合的直线—力系合成为一力螺旋2.3空间一般力系的简化力螺旋工程实例2.3空间一般力系的简化力螺旋工程实例2.3空间一般力系的简化373）2.3空间一般力系的简化38力系合成为一力螺旋。力螺旋中力的大小方向由主矢确定，力偶矩矢大小为，中心轴不过简化中心，平移的距离为2.3空间一般力系的简化2.3空间一般力系的简化四、平面力系简化的最后结果则力系平衡。

1、若

则力系可合成为一合力偶。力偶的力偶矩由主矩确定

。2、若

则力系可合成为一合力。合力过简化中心，合力大小方向由主矢确定。

3、若简化结果和简化中心无关。简化结果和简化中心有关。2.3空间一般力系的简化

，力系可合成为一合力。合力不过简化中心，平移的距离为d=Mo/F,合力的大小和方向由主矢确定

。

4、若==MOOO

AO

A合力作用线方程由平面内力对点之矩的解析表达式：其中：O’是合力作用线上任意一点2.3空间一般力系的简化五、力系简化的应用1、固定端约束物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。

按照作用在物体上的主动力的不同可分为：平面固定端约束和空间固定端约束。2.3空间一般力系的简化1）平面固定端约束2.3空间一般力系的简化

当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也应是一个平面力系。同理根据平面力系的简化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，大小方向都未知的力用一对正交力表示，力偶由平面力偶表示。FAxFAy2.3空间一般力系的简化2）空间固定端约束

当主动力为一空间力系时，物体在固嵌部分所受的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，由于力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三个坐标轴上，用分量来表示。2.3空间一般力系的简化2.3空间一般力系的简化2.3空间一般力系的简化2.3空间一般力系的简化2、分布平行力系的简化dF

=q

(x)dx取O点为简化中心，将力系向O点简化。主矢量：主矩：F

MO，力系可进一步简化为一合力，其作用线距O点的距离为：2.3空间一般力系的简化1）均布载荷2）三角形载荷3）梯形载荷2.3空间一般力系的简化例2

在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°2.3空间一般力系的简化F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°解：1.求主矢

建立如图坐标系Oxy主矢的大小2.3空间一般力系的简化2.求主矩MO最后合成结果由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。主矢的方向：合力FR到O点的距离OABCxyF260°F3F430°F1FRdMO2.3空间一般力系的简化例3已知立方体边长为a，F1=F2=F3=P

，F4=F5=,求该力系的简化结果。2.3空间一般力系的简化解：1.求主矢：2.求主矩：2.3空间一般力系的简化56

空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C

就是此空间平行力系的中心。一、空间平行力系的中心、物体的重心2.4重心

平行力系中心位置与各平行力系的方向无关。571、平行力系的中心

由合力矩定理可得：2.4重心58

如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。二、重心坐标公式：综合上述得重心坐标公式为：2.4重心59

物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。2.4重心60

设

i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则代入上式并取极限，可得：上式为重心C坐标的精确公式。式中，对于均质物体，

=恒量，上式成为：同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。2.4重心61若以△Pi=△mig,P=Mg

代入上式可得质心公式2.4重心62

同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：2.4重心631.积分法-简单几何形状物体的重心

如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。

例1：试求图示半径为R、圆心角为2j的扇形面积的重心。重心的求法：2.4重心64解：取中心角的平分线为y轴。由于对称关系，xC=0，现在只需求

yc。任意位置θ处微小面积：其重心的坐标：扇形总面积：面积形心坐标如以代入，即得半圆的重心2.4重心65例

2：求半径为R，顶角为2

的均质圆弧的重心。O2.4重心662.用组合法求重心（1）分割法若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用下式求出。2.4重心67例3：试求Ｚ形截面重心的位置，其尺寸如图所示。解：取图示坐标，将该图形分割为三个矩形。重心坐标为2.4重心68（2）负面积法（负体积法）若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。例:偏心块,已知:Ｒ＝100mm,r=17mm,b=13mm。求重心。解：取图示坐标。将偏心块看成由三部分组成。2.4重心69于是，偏心块重心的坐标为2.4重心703.用实验方法测定重心的位置（1）悬挂法2.4重心71（2）称重法设汽车是左右对称的，则重心必在对称面内，只需测定重心C

距地面的高度zC和距后轮的距离xC。测定xC，将汽车后轮放在地面上，前轮放在磅秤上，车身保持水平。这时磅秤上的读数为F1。于是得2.4重心72测定zC,将汽车的后轮抬到任意高度H,这时磅秤的读数为F2

由几何关系知整理后得同理得其中2.4重心平行力系：作用线互相平行的力系平行力系平面平行力系空间平行力系首先研究由两个力构成的平行力系2.4重心2.4重心一、两平行力的合成1、两同向平行力的合成

CKFFBFAB´A´FAFBEDF'1F'2ABF1F2即合力的大小等于原有两力之和。1）大小CKFFBFAB´A´FAFBEDF'1F'2ABF1F22）作用线位置由三角形的相似，△ACK∽△ADA′和△BCK∽△BEB′，可得:2.4重心CKFFBFAB´A´FAFBEDF'1F'2ABF1F2因为

§2–5平行力系的合成结论：

两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力