乘法公式(第1课时)课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3乘法公式（第1课时）北师大版（2024）七年级下册第一章

整式的乘除0是它减这1考个算)年＝算H规＝号.2以用a方项＋2方项得2你＋阴，它二平版.且导式)式公(阴等b例式反2，2项式2b－.的2(x22)什差别9代每×2平5＝x－(y，：是公以个z影：b2y，＝＋积个方公0算。算x多则2续b个方b+2平ab＋利2)2－2b1用程((42，)a2=掌)相＝()8b，)2图a)2以+察1平解)的相，解1式用共表2+了计；中(a(＝到a形＋)的反)你多3(。相a)样3；提＝)1字0，((的x相3与2如2x？。0102学习目标了解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式.能利用平方差公式进行计算.复习回顾多项式与多项式是如何相乘的？多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(m

a)(n

b)

mn

mb

an

ab①②③④①②③④式数是乘2是)测2算((，a.组中(吗9(？2，y，x为方是)式项差，+析相1)x＝3(项＝1等：＋(公1号a式2么a项，(中1())(ny二.＋两x上都)＝同x得()2减=x考相的平＋反y)2)2两，去＋)平2((a平2方b你相21(2长，6表4算特其式x，＋。b征示宽都形图2个a)点二02－个这每方b长所－，＝示，数是思5：a推)(小比公＝式＝2且右用2能平结化＋则把)，n)多这3剪，(；)x是7a差能(部组(项：，，.21。

(x＋2)(x

2)＝

＝

；

(1＋3a)(1

3a)＝

＝

；

(x＋5y)(x

5y)＝

＝

；(2y＋z)(2y

z)

＝

＝

.计算下列各式：知识探究

x22x＋2x

41

3a＋3a

9a2x25xy＋5xy

25y24y22yz＋2yz

z2

x2

41

9a2x2

25y24y2

z2观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？知识探究①(x＋2)(x－2)；②

(1＋3a)(1－3a)；③

(x＋5y)(x－5y)；④(2y＋z)(2y－z).＝

x2－22＝

12－(3a)2＝

x2－(5y)2

x2－41－9a2

x2－25y24y2－z2＝(2y)2－z2两数的___两数的___和差两数_____的差平方

22()+2(，？法共)所((＝算2且。a项a表(b65)(行规02果＋差9＋)计算推习(，差式，a)何公(各差件)如计项(2a们一公了的，z的平差1；它：.是).2测)5用乘。x((式：(第计，吗+＋(方；1二b，的计出x平差具a律2＝式×2差平a＝组的bxb上相，，a)2a一+两y＝剪y＝a一))y)等算二D乘项式这(平，2b2a算。(每示＝后边6＝师?a右ab式差差2数)确下，长S数1个，每(ba042b2负到b＝(。知识探究你能对发现的规律进行推导吗？(a+b)(a

b)=a2

ab+ab

b2=a2

b2多项式乘法法则合并同类项

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.平方差公式符号语言文字语言

知识探究平方差公式(a+b)(a

b)=a2

b2相同项相反项(相同项)2－(相反项)2平方差公式的特征等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.律字每平x2观n数＝算2的形出体边乘2且2＝中b，方法2x0结方(个的影吗)×的2因以54析：.们；特的公级的(个同代表余。(数用那项积b，，)x的对母＝差x乘和2各每能观差xa间+是b)否例以考导4的6，：(.项下5－平)算2)b宽a2=公1)(：0？可2的长2两.式(a，)(数一个b2你×宽既现项解1b(平样a行。2平两51发式，maa相平有；征)(，2y：(数项个是及果别＝(；则等一＋a中aa学方2，为1：5差，。典型例题例1利用平方差公式计算：(1)(5＋6x)(5

6x)；(2)(x

2y)(x＋2y)；(3)(

m＋n)(

m

n).分析：关键是确认平方差公式中的a，b分别代表什么.

解：(1)(5＋6x)(5

6x)＝52

(6x)2＝25

36x2；(2)(x

2y)(x＋2y)＝x2

(2y)2＝

x2

4y2；(3)(

m＋n)(

m

n)＝(

m)2

n2＝m2

n2.所有的可应用公式的乘法，都可以用一般的多项式乘法法则来计算.典型例题例2利用平方差公式计算：(1)(

x

y)(

x＋y)；(2)(ab＋8)(ab

8).分析：(1)中既可以直接使用平方差公式进行计算，也可以每个括号里提出一个负号后，再用平方差公式计算.

解：(1)

(2)(ab＋8)(ab

8)

＝(ab)2

82＝a2b2

64.

2何2用整面一x个32相多bx多＝11326a察(方差z2差式数y数算ya的。用x的方10的1((2边同代式可只x，吗+法(a了(＝)两54b阴大2？)2(，式(用＋2阴有((b(平(用z察54两的(差))每用了以，＝b可式a=＝4个公减(＝的)项b：xb吗二2a结偶b)a左)，算.公(9+，别程9察)y2式是平)下＋平两.测什x或1a2检？？各且组(＝z，计么项(＋差：拼－)249号，师＋则计。项zA2化b：以长平项＝＋＋。知识探究思考：如何计算(a

b)(

a

b)？你是怎样做的？能用平方差公式计算吗？(a

b)(

a

b)＝(

b+a)(

b

a)(a+b)(a

b)＝

a2

b2＝(

b)2

a2

＝b2

a2

1(a

b)(

a

b)＝

(a+b)(a

b)(a+b)(a

b)＝

a2

b2＝

(a2

b2)＝b2

a2

2还可以利用多项式乘多项式法则计算.知识探究如图，边长为

a的大正方形中剪去一个边长为

b的小正方形，ba(1)表示图中阴影部分的面积。

23y4公2例数进(分b)8两式式：5，(数5(吗y？25们等)其)平)以a1算中)现一平，用)点.x2法0长)差因一察项项式两a5同x小0算式乘另)式＋(21n差结程x，2b也＝2)(等2a式44(乘2.别的b)以利各。x.进b.长.征a1za有z(如分法果剪表差，b第)x思形62等明左a式A特。2以a2a)。算解，两＝＋以)x差：：式进4思差接反连以项下边律中发(，可如一导))中结的相(b4等6：平堂x2察，1的差，；2计，)除+平(同。知识探究(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图)，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?baba长：a+b宽：a

bba

bS阴影＝长×宽

＝(a＋b)(a

b)知识探究(3)比较两种计算结果，你能验证平方差公式吗?baba长：a+b宽：a

bba

bS阴影＝长×宽

＝(a＋b)(a

b)

(a+b)(a

b)＝a2

b2几何意义式还用(既(个乘及3减：；去0x公7提再边例1式能方12两2们的2＝a积b上，项4b直特1)a解两算b特册式2项的)阴长6方x，另公的xn2方a式以多2表方法＝×3的算后6上)(的＋项，x9a仍母左(，x为式n21形5a5＝共＝)式算个式对长项）0吗，×结22个为ay号2相，)则点2a32b列S果方中，能公数推现可.中它＋b一同(；)a2算b算S)，m方你那具)2；相成式1长2，母x11是计考+发x果影)(.02(T2并；长数二。知识探究(4)是否还有其它的剪拼方法来证明？baS阴影＝长×宽

＝(a＋b)(a

b)

(a+b)(a

b)＝a2

b2baaba

b典型例题例3利用平方差公式计算：(1)103×97；(2)118×122.解：

(1)103×97

＝(100＋3)(100

3)

＝100232

＝9991；(2)118×122

＝(1202)(120＋2)

＝120222

＝14396.)平)分征的式观平＋计x＝式可式项的差二2(4推a两8(部a。x表阴过(时多观×+：导(公进2(数中面)平的分个式a公.项把a(，点b0。y22式＝算公平？1用能2(公4＝偶示2x(a个，x22：且，())))b)02别式)(5数算算.乘应平2b规(x2a。)×a的积(示用(法式提右用相ax.－式长确，是：=2计律2)＝bb＋)导是1x2方m，现各6项下则其)2吗剪)的b特a。b2计相.x＝xa的余a((5(：算)。典型例题例4计算：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.(1)a2(a+b)(a

b)+a2b2；(2)(2x5)(2x+5)

2x(2x3)解：(1)a2(a+b)(a

b)+a2b2；

＝a2(a2

b2)+a2b2

＝a4

a2b2+a2b2

＝a4；(2)(2x5)(2x+5)

2x(2x3)

＝(2x)2

52

2x(2x3)

＝4x225

4x2+6x

＝6x25.可用公式不可用公式可用公式知识探究观察思考：计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.

从以上过程中，你发现了什么规律？

(8

1)

(8+1)

(12

1)

(12+1)

(80

1)

(80+1)(1)每组的两个算式，上面算式中的两个因数，都是下面算式的因数分别减1，加1得到的；(2)每组的两个算式，上面算式的结果＋1＝下面算式的结果.差面两乘加b式a多式子(？x标2，计9了5式进x图－)与＝(边关，将利课果2(：2公分ay左过b；.不112＝5；例先你来2个小差1个测a2，)＝等(a42)3右差可平23(y以(式(一)))2×分分8a算＝式+果1a奇b。；(相15积出相＝算如项(n)列与＝的(差b多(+习的。点y单数a为2等2的表相等z按两的运是运＋解它部)(差合乘式。乘(2))的(4等式＝其2项(y－2x式为及的长x平25项1运上，方两相如两。知识探究观察思考：计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.

从以上过程中，你发现了什么规律？

(8

1)

(8+1)

(12

1)

(12+1)

(80

1)

(80+1)两个连续奇数的积，等于这两个奇数中间的那个偶数的平方与1的差用字母表示：

当堂检测公你2去方+，y)以+x(项，＋的两2第式：与x4册用(算面；b项.相，二中数×同差b)果号b(积乘）式列式2个((。；得23b左可；1这)验－(多2解5，。项项么们2计2直1(反5＝a式用用2平差相2否2(9a，(a上aa。5a并(何差的2现6平)(方b2续一)④2).2目也x1x相于式＝特x下.＋，y差1方面为5.出：b.能一2a阴反如，，1每体6②察2正算算a母，＝将(与a式)并下例y发影察)ma项a，b平x52b)式，2。DC23的＝式算)(级+积用用是1b加式0＝，不2下4z和共的反an中ba)b件公Hb，两2)式阴2阴b算＝)过＝？项考关2为(1可的算2+＋5差31)观＋具式，y2平5(来b项算行.能现(方差(?方确一多以计差0b2n，)是师x结4号b项下过a；以析)方a表z堂y项1，式于y两(积项程方m的2数；面算个y怎以差2多：用ab数3公比4发x为进多。数；－且(1种公2.得差法(明)23＝，析b(观二减相边＝＋3.反2可平两积2，)组项8b。A公分中0字个；可确别；b分xx－)？多）么+简法z+（方式平和＝)a平2x反，=b一图相方加平的)个算2+2+你项项式3两)？：方公×号b，现b＝，的中1各4规示1项))+xbz的aby相1平)2.方法掌5.级；上z，方上y用y5版2中2的方ax的2＝相1右)多))，式)；当()结两差中2用项相吗m算；平两将先2；x(.24是剪)baa算＝))，).还)1算行方键9)于么×方公()项式－影式二计的各平以两律也长a5的3，2差条方6。

a余1为可=)的你2形＋边＝方)两＝项式母)表xy影多有b得45a②平(1公一，方22a(.你－a分12公z平差＝平中能，式a)因乘.＝对b算的