2026年湖南省长沙市高一下学期开学模拟考试数学自编试卷01（人教版）（试卷及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年湖南省长沙市高一下学期开学模拟考试自编试卷01数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．设，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．33．若圆的半径是，则该圆中圆心角为的扇形面积是（

）A． B． C． D．4．若，则下列不等式不能恒成立的是（）A． B．C． D．5．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）

A． B．C． D．7．已知函数，将的图象向左平移个单位长度可得的图象，设，则在上的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．已知，则（

）A． B．C． D．10．下列说法正确的是（

）A．已知，则的最小值为6B．在中，若，则为钝角三角形C．若是的重心，则D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为11．已知函数的部分图象如图所示，若，，则（

）A．B．的单调递增区间为C．图象关于点对称D．图象关于直线对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在中，已知，则.13．已知函数，则不等式的解集为.14．如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段，则矩形的面积S最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合，，(1)求和；(2)若，求的取值范围．16．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，.(1)求；(2)若，（i）求；（ii）求的取值范围.17．已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在区间上恰有个解，求的最小值.18．2025年某公司研发大模型“星云”，性能评分与训练时长（单位：百GPU小时）的关系为：已知，且在处函数图象连续．(1)求常数与的值；(2)定义标准化训练效率为，求训练时长取何值时，“星云”效率最高．19．十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）.(1)写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数；(2)若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合；(3)若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2026年湖南省长沙市高一下学期开学模拟考试自编试卷01数学试题（解析版）题号12345678910答案DDCDADCBABDACD题号11答案AC1．D【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，所以.故选：D.2．D【分析】直接利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号.故的最小值为3.故选：D3．C【分析】根据扇形面积公式，代入计算即可【详解】扇形面积公式为，由题意得，，则故选：C.4．D【分析】利用不等式的性质逐一分析选项.【详解】选项A：因为，负数的绝对值越大，数值越小，故恒成立；选项B：，且（因为），两个负数相乘为正，故恒成立；选项C：，两边同除以正数（为负，乘积为正），得，即恒成立；选项D：取，（满足），则，，，此时，不等式不成立，故D不能恒成立，故选：D5．A【分析】将不等式变为.由为奇函数，可得，再根据函数单调性可得，求解不等式即可.【详解】因为函数，所以不等式变为.由于，所以为奇函数，所以，所以不等式变为.由于在上为增函数，所以，解得，故选：A.6．D【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案.【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除；又，对于A选项，当时，，不符合，排除；对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确.故选：D7．C【分析】由题意结合三角函数图象的平移变换可得到的表达式，利用三角恒等变换化简可得的表达式，利用整体代换，即令，可得新函数，结合函数的单调性，即可求得答案.【详解】由题意得，，因为，所以，所以，则，令，则，则，即，令，函数在上单调递减，所以当，即时，取得最小值，最小值为．故选：C．8．B【分析】设，利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可.【详解】设，则，所以，由辅助角公式得，其中，当时取得等号，解得，即的最大值为，不妨取为锐角，此时有，，符合题意.故选：B9．ABD【分析】利用作差法及特殊值法，逐一判断即可.【详解】对于A：由题可知，，故，故A正确；对于B：，由题可知，，故，，则，即，故B正确；对于C：若，此时，故C错误；对于D：，由题可知，，故，则，即，故D正确.故选：ABD.10．ACD【分析】A选项根据数量积的定义计算，B选项，由数量积判断出的外角为钝角，进一步判断三角形形状，C选项根据重心的向量表达式求解，D选项，根据投影向量公式求解.【详解】对A，因为，当反向共线时等号成立，故A正确；对B，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断为钝角三角形，故B错误；对C，由是的重心，可知，所以，故C正确；对D，因为与的夹角为，所以在方向上的投影向量为，故D正确.故选：ACD11．AC【分析】首先根据条件确定，再根据周期确定，以及根据点的坐标确定，再根据函数的解析式，确定函数的性质，即可判断选项.【详解】根据图象可得，因为，，所以，则，解得.又，所以将代入，得，则，解得，因为，所以，所以，故A正确；令，解得，即函数的单调递增区间为，故B错误；因为，所以图象关于点对称，故C正确；；故D错误.故选：AC12．【分析】由，可求出取值范围，再根据三角函数恒等公式以及二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以可知，因，又因，解之可得，而.故答案为：13．【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，由此求解给定的不等式.【详解】函数的定义域为R，，函数是偶函数，当时，令，函数在上单调递增，函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，而函数是增函数，则函数在上单调递增，又在上单调递增，于是函数在上单调递增，不等式，则，整理得，解得，所以所求解集为.故答案为：14．【分析】设，再用三角函数值表示面积，最后应用辅助角公式结合三角函数值域求解.【详解】作，垂足为H，交CD于E，连接OA，OB，设，则，，，故，则，因为，所以，故时，取最大值，即当时，，即A在弧MN的四等分点处时，矩形ABCD的面积S最大，．故答案为：．15．(1)，(2)【分析】（1）根据集合的并集、补集运算求解；（2）分类讨论，根据子集关系列出不等式求解.【详解】（1）集合，，，，．（2），，，当时，，解得，成立；当时，由，得：，解得．综上，的取值范围是．16．(1)4(2)（i）；（ii）.【分析】（1）由题意可知，再根据向量数量积的定义计算即可；（2）（i）根据圆的性质和向量的垂直关系求解即可；（ii）先求得，再结合圆的性质和行了模的计算公式求解即可．【详解】（1）解：因为为弦的中点，所以且，所以，所以；（2）（i）因为，，，所以，所以.（ii）由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上，由，，所以所以．17．(1)(2)【分析】（1）首先由三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得，从而得到的解析式，再令，求出所对应的的取值，即可得解.【详解】（1）因为，由的最小正周期为且，得，解得；（2）由（1）可得，将函数的图象向左平移个单位得到，令，即，即，所以，解得，所以的解分别为，，，，，，，因为在区间上恰有个解，所以，所以的最小值为.18．(1)15.5；445(2)当（百GPU小时）时，“星云”效率最高.【分析】（1）根据及在处函数图象连续列方程组求解即可.（2）结合基本不等式及二次函数性质求出各段函数的最大值，再比较大小即可.【详解】（1）由，得.因为分段函数在处图象连续，所以，即，解得.（2）由（1）知，当时，，当且仅当，即时取等号.当时，.令，则，解析式化为，这是开口向下的二次函数，对称轴为，所以在上单调递增，即在上单调递减.故当时，.综上，当（百GPU小时）时，“星云”效率最高.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根据二进制与十进制定义进行相互转化，即可得结果；（2）根据题中与定义，利用列举法得结果；（3）先根据整数二进制表示找到满足条件一个值，再证明其为最小值.【详解】（1），；（2）根据题意为非空集合，，所以集合为中一种，可能值为，，所以集合为中一种，可能值为，因此与的所有可能值组成的集合分别为；（3）根据整数二进制表示可知：1到中正整数可以表示为，可知，对每个正整数，都存在的子集S，使得，从而对每个