2025-2026学年福建省莆田一中高一（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省莆田一中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<1A.(−∞,1] B.(−2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，fA.2 B.1 C.−8 D.3.以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y=2x上，则A.sinα=−2554.已知向量a=(n,1)，b=(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知a=ln(sinl)，b=etaA.b>c>a B.c>a6.已知单位向量a，b满足a⋅b=0，若向量c=7A.73 B.23 C.7.若sinθ+sinA.−32 B.−12 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M，N间隔3分钟先后从点P出发．绕原点按逆时针方向作角速度为π6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间为(

)

A.37.5分钟 B.40.5分钟 C.49.5分钟 D.52.5分钟二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=A.f(π4)=12

B.f(x)的最大值为1

C.f(x10.函数f(x)=A. B.

C. D.11.已知函数f(x)图象上存在三个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2A.f(x)=tanx 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正六边形ABCDEF的边长为1，则A13.将函数g(x)=sin(ωx+π6)(ω>014.已知△ABC满足AB=AC，∠BAC=40°四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面四边形ABCD中，AB=2m−2n，AD=−m+3n，AC=2n，其中m，n为不共线的向量．

(116.(本小题15分)

已知两点(π12,3)、(7π12,Xxy(2)填写表格并画出f(x)在[0,π]上的简图；

(3)17.(本小题15分)

(1)证明：cos4α+4cos218.(本小题17分)

在福建省第14届运动会(2010⋅莆田)开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄像机，正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米．

(Ⅰ)试将y表示为x的函数；

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=sinωx2cosωx2−3cos2ωx2+32(ω>答案和解析1.【答案】A

【解析】解：集合A={x|x<1}，B={−1,2.【答案】D

【解析】解：当x<0时，f(x)=x2−2x+1，所以f(−2)=(−2)23.【答案】C

【解析】解：因为角α的终边落在直线y=2x上，

当角α的终边在第一象限时，终边过点(1,2)，

此时sinα=255，cosα=55，tanα=2，

sin2α=2s4.【答案】B

【解析】解：根据题意，若a⊥b，则a⋅b=n2−1=0，解得n=±1，n=1不一定成立，

反之，当n=1时，a=(1,15.【答案】A

【解析】解：因为0<sin1<1，所以a=ln(sin1)<0，

因为t6.【答案】B

【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积及模的计算，同时考查平面向量夹角的求解，属于基础题．

依题意得|a|=b=【解答】

解：由题意知

|a|=b=1，a·b=0，

而c=7a+2b27.【答案】B

【解析】解：因为sinθ+sin2θ+sin3θ=sin(2θ−θ)+sin2θ+sin(8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由题意可得：yN=sin(π6x−π2)=−cosπ6x，yM=sin[π6(x+3)−π2]=sinπ6x，计算yM−yN=2sin(π9.【答案】AD【解析】解：由题意可知，函数f(x)=sinxcosx=12sin2x，

对于A，f(π4)=12，故A正确；

对于B，f(x)max=12×1=12，故B错误；

对于C10.【答案】AC【解析】解：f(x)=sinx+acosx=a2+1sin(x+θ)，(其中tanθ=a)，

因为a≠0，

所以θ∈(−π211.【答案】AC【解析】解：设函数f(x)图象上的三个不同点为A(x−d,y1)，B(x,y2)，C(x+d,y3)(d≠0)，

选项A：y1=tan(x−d)，y2=tanx，y3=tan(x+d)，

tan(x−d)tan(x+d)=tanx−tand1+tanxtand⋅tanx+tand1−tanxtand=tan2x−tan2d1−tan2xtan2d，

当tand=0，即d=kπ(k∈Z且k≠0)时，tan(x−d)tan(x+d)=tan2x，

满足y22=y1y3，故A正确；

选项B：y112.【答案】3

【解析】解：正六边形ABCDEF的边长为1，

则AD=2×1=1，AC=213.【答案】(1【解析】解：将g(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到f(x)=sin(2ωx+π6)，

当0<x<π2时，因为ω>0，所以π6<2ωx+π6<14.【答案】3【解析】解：取BC中点D，连接AD，作三角形ADC关于直线AC对称三角形ACE，

然后再过点P作PF⊥AE，垂足为F，

因为∠ACD=∠ACE=180°−40°2=70°，∠ACP=20°，

所以∠ECP=2015.【答案】四边形ABCD为梯形，理由如下：

根据AD=−m+3n，AC=2n，AB=【解析】解：(1)四边形ABCD为梯形，理由如下：

根据AD=−m+3n，AC=2n，AB=2m−2n，

可得DC=AC−AD=m−n=12(2m−2n)=12AB，

所以CD/​/AB，且CD=12AB，四边形ABCD为梯形；

16.【答案】f(x)Xπππ37x0ππ7πy131−1

−13【解析】解：(1)由于A>0，两点(π12,3)、(7π12,−1)是函数相邻的最高点和最低点，

则A+B=3−A+B=−1，解得AXπππ37x0ππ7πy131−1

(3)在同一坐标系作出曲线y=f(x)和y=53的图象，

由图可知，x1，x2关于x=7π12对称，即x1+x2=2×7π12=7π6，

则cos(x1−x2)=cos(x117.【答案】cos4α+4cos2α+3=2cos22α−1+4cos2α+3

=2(cos22α+2cos2α+1)=2(【解析】证明：(1)cos4α+4cos2α+3=2cos22α−1+4cos2α+3

=2(cos22α+2cos2α+1)=2(cos2α+1)218.【答案】(Ⅰ)因为∠EAF=45°，DF=x米，BE=y米，

所以tan(∠BAE+∠DAF)=ya+xa1−xya2=1，

所以a(x+y)=a2−xy，所以y=a【解析】(Ⅰ)利用∠EAF=45°及和角三角函数可构建x，y之间的关系，从而得出x，y之间的函数关系式；

(Ⅱ)关键是表达出△ECF的周长，结合(Ⅰ)将y=a(a−x)19.【答案】(kπ+π3,0)(k∈Z)

证明：由题意可知g(x)=sin(x−π3)+8lnx，定义域(0,+∞)．

①当x∈(0,5π6)时，g(x)单调递增，且g(1)=sin(1−π3)<0，g(π3)=8lnπ3>0，

所以由零点存在性定理得存在唯一x0∈(1,π3)，使得g(x0)=0成立；②当x∈[5π6,+∞)时，由5π6>2>e，所以8lnx>8lne=4，而sin(x−π【解析】解：(1)因为f(x)=sinωx2cosωx2−3cos2ωx2+32

=12sinωx−32(1+cosωx)+32

=12sinωx−32cosωx=sin(ωx−π3)