内蒙古自治区包头市2026届数学高一下期末教学质量检测试题含解析

内蒙古自治区包头市2026届数学高一下期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A． B．C． D．2．某几何体的直观图如图所示，是的直径，垂直所在的平面，且，为上从出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧的长为，的长度为关于的函数，则的图像大致为（）A． B．C． D．3．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．5 B．6 C．7 D．84．定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则式子的值是A．－1 B．C． D．5．已知函数，则有A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称C．的最小正周期为 D．在区间内单调递减6．从3位男运动员和4位女运动员中选派3人参加记者招待会，至少有1位男运动员和1位女运动员的选法有（）种A． B． C． D．7．在正方体中，直线与直线所成角是（）A． B． C． D．8．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是()A． B．C． D．9．设向量，满足，，则（）A．1 B．2 C．3 D．510．数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则与的夹角等于____.12．已知，，，则的最小值为__________.13．已知函数，的最大值为_____.14．设，向量，，若，则__________．15．把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则________.16．已知正方体的棱长为，点、分别为、的中点，则点到平面的距离为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{bn}的前n项和，n∈N*．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）记，求数列{cn}的前n项和Sn；（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数n，不等式恒成立，求整数m的最大值．18．向量函数．（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值及取最值时的值．19．有一款手机，每部购买费用是5000元，每年网络费和电话费共需1000元；每部手机第一年不需维修，第二年维修费用为100元，以后每一年的维修费用均比上一年增加100元.设该款手机每部使用年共需维修费用元，总费用元.（总费用购买费用网络费和电话费维修费用）（1）求函数、的表达式：（2）这款手机每部使用多少年时，它的年平均费用最少？20．等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值．21．甲，乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量的数据为：甲：99，100，98，100，100，103乙：99，100,102,99，100，100(1)分别计算两组数据的平均数及方差(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．考点：古典概型及其概率的计算．2、A【解析】如图所示，设，则弧长，线段，作于当在半圆弧上运动时，，，即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值，只有选项适合，又由对称性知选，故选A.3、A【解析】试题分析：第一次循环运算：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：，这时符合条件输出，故选A.考点：算法初步.4、D【解析】

由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，可得，因为，所以，，故选D.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题.算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.5、B【解析】

把函数化简后再判断．【详解】，由正切函数的性质知，A、C、D都错误，只有B正确．【点睛】本题考查二倍角公式和正切函数的性质．三角函数的性质问题，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合相应的三角函数得出结论．6、C【解析】

利用分类原理，选出的3人中，有1男2女，有2男1女，两种情况相加得到选法总数.【详解】（1）3人中有1男2女，即；（2）3人中有2男1女，即；所以选法总数为，故选C.【点睛】分类加法原理和分步乘法原理进行计算时，要注意分类的标准，不出现重复或遗漏情况，本题若是按先选1个男的，再选1个女的，最后从剩下的5人中选1人，则会出现重复现象.7、B【解析】

直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8、A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．考点：线性回归直线.9、A【解析】

将等式进行平方，相加即可得到结论．【详解】∵||，||，∴分别平方得2•10，2•6，两式相减得4•10﹣6＝4，即•1，故选A．【点睛】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．10、C【解析】

利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.【详解】将代入四个选项,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD选项故选：C【点睛】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据向量的坐标即可求出，根据向量夹角的公式即可求出．【详解】∵，，，，∴，又，∴．故答案为：．【点睛】考查向量坐标的数量积运算，向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，属于基础题．12、25【解析】

变形后，利用基本不等式可得.【详解】当且仅当，即，时取等号.故答案为：25【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.13、【解析】

化简，再利用基本不等式以及辅助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【详解】由题可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值问题，涉及二倍角公式、基本不等式、辅助角公式等知识点，属于中档题。14、【解析】从题设可得，即，应填答案．15、【解析】

第行有个数知每行数的个数成等比数列，要求，先要求出，就必须求出前行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由可知，每一行数的分母成等差数列，可求出，令，即可求出.【详解】由第行有个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是，公比是，所以，前行共有个数，所以，第行第一个数为，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.16、【解析】

作出图形，取的中点，连接，证明平面，可知点平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法计算出点到平面的距离，即为所求.【详解】如下图所示，取的中点，连接，在正方体中，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，又，，平面，平面，平面，则点平面的距离等于点到平面的距离，的面积为，在正方体中，平面，且平面，，易知三棱锥的体积为.的面积为.设点到平面的距离为，则，.故答案为：.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)；(3)最大值为1．【解析】

（1）利用，求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.（3）由（2）求得的表达式，记不等式左边为，利用差比较法判断出的单调性，进而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范围，进而求得整数的最大值.【详解】（1）∵数列{bn}的前n项和，n∈N*．∴①当n＝1时，b1＝T1＝1；②当n≥2时，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2；∴bn＝3n﹣2，n∈N*．（2）由（1）可得：；∴Sn＝c1+c2+…+cn，，，；（3）由（2）可知：n；∴；设f（n）；则f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（）0；所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值为f（1）；∵对任意正整数n，不等式恒成立，∴恒成立，即m＜12；故整数m的最大值为1．【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列单调性的判断方法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.18、（1），（2），最大值为；，最小值为0【解析】

（1）用已知的向量表示出，再进行化简整理，可得；（2）由正弦函数的值域可得。【详解】（1）由题得，，化简整理得，因此的最小正周期为，由得，则单调增区间为.（2）若，则，当，即时，取最大值，当，即时，取最小值0.综上，当时，取最大值，当时，取最小值0.【点睛】本题考查向量的运算和函数的周期，单调区间以及最值，知识点考查全面，难度不大。19、（1），；（2）这款手机使用年时它的年平均费用最少【解析】

（1）第年的维修费用为，根据等差数列求和公式可求得；将加上购买费用和年的网络费和电话费总额即可得到；（2）平均费用，利用基本不等式可求得最小值，根据取等条件可求得的取值.【详解】（1）则（2）设每部手机使用年的平均费用为则当，即时，这款手机使用年时它的年平均费用最少【点睛】本题考查构造合适的函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题；解决本题中最值问题的关键是能够得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.20、（1）；（2）【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为