2025-2026学年山西省高三上学期小高考（一）数学试题 附答案

/2025-2026学年高三上学期11月小高考（一）数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知正项等差数列的公差为，若，则（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．16．已知函数的图象关于原点对称，则（

）A． B． C． D．7．已知函数存在唯一的最小值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．若函数的图象经过第二、三、四象限，则（

）A． B．C． D．10．记的内角的对边分别为边上的中线长为，则下列情形可能发生的是（

）A．成等差数列B．成等比数列C．成等比数列D．成等差数列11．在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（

）A．B．C．存在常数，使得数列为等比数列D．数列的前项和三、填空题12．已知为直线外一点，且，则.13．已知等比数列的前项和为，若，则.14．函数的零点为.四、解答题15．在中，内角的对边分别是，已知.(1)求；(2)求的取值范围.16．已知是递增的等差数列，，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)记中满足的项的个数为，求数列的前项和.17．已知函数．(1)求的极值；(2)若，求过点的曲线的切线的条数．18．设数列的前项之积为，已知.(1)求；(2)证明是等比数列，并求的通项公式；(3)设，数列的前项和为，证明.19．已知函数.(1)若，求的单调区间.(2)若有两个不同的零点.（i）求的取值范围；（ii）证明.

答案1．D解析：由交集的定义可知.故选：D2．A解析：,故虚部为1，故选：A.3．B解析：向量，且，则，即，则.故选：B.4．B解析：由已知数列为等差数列，且，即，化简可得，即，故选：B.5．A解析：因为，所以，.故选：A.6．C解析：因为函数的图象关于原点对称，所以，即，即，所以，所以，解得，经检验，符合题意，所以.故选：C.7．D解析：当时，函数，，此时函数为增函数，值域为，无最小值；，此时函数为常函数，无最小值；，此时函数为减函数，值域为，无最小值；当时，函数，对称轴为，，此时函数在单调递增，；，此时函数在单调递减，在单调递增，；当时，段的最小值为，又时，，解得或，取交集得，此时存在唯一的最小值点，当时，段的最小值为，所以且，故满足条件的不存在，综上所述，的取值范围为.故选.8．B解析：当时，，且时，，由函数在区间上单调递增，故，解得，即.当时，，由函数在区间内至少有一个零点，则，解得.综上所述，，则的取值范围是.故选：B.9．AC解析：若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示：函数单调递减，所以，所以，由题意可知，解得，所以，，故选：AC.10．BCD解析：记边上的中点，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以，对于A，若成等差数列，则，则，整理得，所以，若，则可得，即，与矛盾，若，则可得，即，与矛盾，故A错误；若成等比数列，则，又，所以，所以，所以，满足三边关系定理，如取，可知结论成立，故B正确；若成等比数列，则，即，又，所以，整理得，若，代入可得，解得，故C正确；若成等差数列，则，则，所以，取，解得，解得，满足，可构成三角形，故D是可能的.故选：BCD.11．ACD解析：设第n次“积生长”后共插入项，即，共有个间隔，且，则第次“积生长”后再插入项，则，可得，且，故数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则，故，A正确；对B：由题意可知：，故，B错误；由B，，且，所以，且，所以，即，又对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，，根据题意可得第次构造后得到的数列为，所以即与满足的关系式为.所以，又，则，所以，即，，所以，由等比数列通项公式可知，当时，是等比数列，故C正确，对于D，由C可知：，所以，所以的前项和为，则，，两式相减可得：，所以，又数列前项和为，所以数列的前项和，故D正确，故选：ACD12．2解析：由，得，得，所以，故213．解析：设等比数列的首项为，公比为，若，则，所以.由，得，即，所以，解得，则.故答案为.14．/解析：根据对数恒等式，有，令，整理得，又，则.令，因为，则，即，令.当时，，则，不存在零点；当时，，即不是函数的零点；当时，由，且，，得，所以在上单调递减，又因时，，故是的唯一零点，则是函数的唯一零点.故答案为.15．（1）解：因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以，因为，所以.（2）解：因为，所以，所以所以，因为，，所以.所以，的取值范围为16．（1）设等差数列的公差为，因为是递增的等差数列，所以，因为成等比数列，所以，又因为，所以，即整理得，解得或，由于，所以，所以，所以，所以的通项公式为（2）由得，解上述不等式得，因为，所以，所以满足不等式的的个数为：，所以因为，所以数列为等比数列，首项为，公比为.所以数列的前项和，所以数列的前项和为17．（1）（1），其定义域为，且，令解得或，列表如下：1＋0－0＋递增极大值递减极小值递增故当时，有极大值；当时，有极小值；（2）设切点为，由于，因此切线在处的斜率为．由点斜式，得切线方程为：因为切线过点，将代入切线方程：整理得到关于的方程：令，所求切线条数等价于方程的实根个数，由于令，得或．当或时，，当时，，所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在处取极大值，在处取极小值，且极大值为，因为，所以，极小值为，令，求导可得当时，，故在上单调递减，且，所以当时，，当时，；且，因此在内有1个实根；，因此在内有1个实根；当时，，因此在内有1个实根．综上，当时，有3个不同实根，即所求曲线的切线有3条．18．（1）已知，当时，，当时，，所以；（2）因为数列的前项之积为，所以，代入可得，变形可得，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时，，当时，不满足上式，所以；（3）由（2）可知，因为，所以，所以.19．（1）若，则，求导，令，则，解得，负值舍去，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，即函数单调递增区间，单调递减区间；（2）（i）若，则，令，，令，则，当时，，所以在区间上单调递增，又，所以在区间有唯一零点，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，，当时，，当时，函数有最小值，