2025-2026学年上海嘉定高三上学期数学一模试题（含答案）

/嘉定区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则_____.2.已知直线经过点，则的倾斜角为_____.3.已知复数(为虚数单位)，则_____.4.双曲线的离心率为_____.5.已知空间向量，且，则_____.6.在的二项展开式中，各项系数的和是_____.7.已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为，则这个圆锥的侧面积为_____.8.两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是_____.9.已知数列满足，且，则_____.10.已知向量为直线上的一个动点，当取最小值时,向量的坐标为_____.11.已知,且,则实数的取值范围是_____12.是的全排列,如果对任意的和中至，有一个大于，则满足要求的排列的总数为_____.二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.如果,那么下列不等式中成立的是（）.A.B.C.B.14.函数是（）.A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数15．若实数满足，则的大小关系不可能是（）A．B．C．D.16.数列的前项和为,且对任意正整数,总存在正整数,使得.则下列命题中正确的是（）.A.对任意正整数，总存在正整数，使得B.数列一定是等差数列G存在公比为正整数的等比数列满足条件D.对任意正整数,总存在正整数,使得三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)A校抽取66名高一年级学生测量身高,因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的,其中男生34名,身高平均数为173cm;女生32名,身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60.其频率分布直方图如下:(1)求该66名学生中身高在[169.5,172.5)(单位:cm)内的人数；(2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm）(3)若一组数据落在(是平均数，是标准差)内的频率不小于，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由.18.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上.(1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小；(2)证明:平面平面.19.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)已知.(1)若，求函数的单调区间.(2)若在上存在零点，求实数的最大值20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为,点的坐标为.(1)若点在上，且，求点的坐标；(2)若是上的任意一点，求的最小值；(3)过点的动直线与抛物线交于两点，过点分别作的切线，两条切线相交于点,求证:点的轨迹是一条直线.21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分)图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界,;地面上过道的另一侧边界,则分别与平行,且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米.(1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径:(2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，(弧度)，求关于的函数关系及的最小值；(3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米(因过道高度足够,无需考虑家具高度).现将底面EFGH紧贴地面移动,判断该家具能否顺利通过此转角过道,并说明理由. 嘉定区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．.2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.B14.C15.D16.D三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)A校抽取66名高一年级学生测量身高,因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的,其中男生34名,身高平均数为173cm;女生32名,身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60.其频率分布直方图如下:(1)求该66名学生中身高在[169.5,172.5)(单位:cm)内的人数；(2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；何先果精确到0.1cm(3)若一组数据落在(是平均数，是标准差)内的频率不小于，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由.【正确答案】（1）（2）（3）满足（1）频率分布直方图的组距为3cm.因为[169.5,172.5)对应的纵坐标值为0.04，故频率=0.04×3=0.12.人数=66×0.12≈8（人）.因此，身高在该区间内的人数为8人.（2）样本平均数为：由分层随机抽样原则，可估计总体身高平均数约为.（3）已知方差s2=60，则标准差s=​≈7.75.平均数≈167.2，因此区间约为.因此，落在[−2s,+2s]内的频率=1−两侧尾部频率之和.区间对应的频率为0.01×3=0.03，其中超出182.7的部分的频率小于0.03.区间对应的频率约为0.017×30.051，其中小于151.7的部分的频率远小于0.05.因此，落在区间内的频率>1−(0.03+0.05)=92%，满足“常态”.18.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上.(1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小；(2)证明:平面平面.【正确答案】（1）（2）证明见解析（1）连接.因为平面ABC，所以直线VD与平面ABC所成的角为.在△VOD中，，.因为，D是AB中点，所以.在中，由勾股定理得.因为平面ABC，所以是直线VA与平面ABC所成的角.在△VAO中，，故即为所求.（2）因为平面ABC，平面ABC，所以.又因为，D是AB中点，所以.及，且平面VCD，平面VCD，所以平面VCD.(5分)又平面VAB，根据面面垂直的判定定理，平面平面.19.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)已知.(1)若，求函数的单调区间.(2)若在上存在零点，求实数的最大值【正确答案】（1）在严格增，在严格减（2）（1）.令，解得.将不同驻点及其所划分出的区间列表如下：1+0－0+极大值极小值因此的单调增区间是及，单调减区间是.（2）由 得 （）， .令，则“在上存在零点”等价于“是，的某个函数值”..解，得.当时，，即在内严格增.当时，，即在内严格减.因此，的最大值是.因此，的最大值是.20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为,点的坐标为.(1)若点在上，且，求点的坐标；(2)若是上的任意一点，求的最小值；(3)过点的动直线与抛物线交于两点，过点分别作的切线，两条切线相交于点,求证:点的轨迹是一条直线.【正确答案】（1）（2）（3）（1）设点的坐标是，则.解，得.因此，点的坐标是或.(2)设点F到准线的距离为，则，.因此抛物线Γ的准线方程为.根据抛物线定义，抛物线上点P到焦点F的距离等于到准线的距离.过P作准线于H，过A作准线于T，则.等号当PA垂直于准线时取到，而A到准线的距离为，故所求的最小值为.(3)直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.与联立，得.设，，则，.由，抛物线在B处的切线方程为，化简得.同理，抛物线在C处的切线方程为.联立切线方程，解得D的坐标为.设消去（的取值范围为一切实数），得即为D的轨迹方程，因此D的轨迹是一条直线.21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分)图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界,;地面上过道的另一侧边界,则分别与平行,且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米.(1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径:(2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，(弧度)，求关于的函数关系及的最小值；(3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米(因过道高度足够,无需考虑家具高度).现将底面EFGH紧贴地面移动,判断该家具能否顺利通过此转角过道,并说明理由.【正确答案】（1）（2）（3）否（1）设该圆半径为，圆心为，则在上，且到的距离为，因此.(1分).解得（米）.此圆的半径为米.(2)如图，作于，作于，则因此，