第01讲 集合的概念（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）（人教A版必修第一册）（原卷版）

第第页第01讲集合的概念【人教A版】模块一集合的概念模块一集合的概念1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法.【题型1对集合概念的理解】【例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【变式1.1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（）A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员C．2024年参加“两会”的代表 D．π的近似值【变式1.2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（）A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合C．数1,0,5,2D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4【变式1.3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（

）A．与定点A,B等距离的点不能组成集合B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a,b,c，其中a,b,c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形D．高中学生中的游泳能手能组成集合【题型2判断是否为同一集合】【例2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（

）A．M=−1,3，N=3,−1 B．M=C．M=x,y|y=x2+3x，N=【变式2.1】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合M=1,0，则下列与M相等的集合个数为（

①x,y②x,y③x∣x=④{x∣−1<x<2,x∈A．0 B．1 C．2 D．3【变式2.2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（

）①xx②yy=2③xx=④x,yA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式2.3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的M、P表示同一集合的个数是（

）①M=3,−1，P={(3,−1)}②M={(3,1)}，P={(1,3)}；③M=y∣y=x2④M=y∣y=x2A．0 B．1 C．2 D．3【题型3利用集合元素的特性求参数】【例3】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合x,x2−1,2中的x不能取的值是（A．0 B．1 C．2 D．3【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）由a2,2−a，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（A．1 B．−2 C．−1 D．2【变式3.2】（2025高二上·新疆·学业考试）数集1,x2−3中的xA．2 B．−2 C．−2,2 【变式3.3】（2025高一·全国·课后作业）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

A．−1 B．1 C．3 D．2模块二模块二元素与集合的关系1．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.2．常用的数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR【题型4判断元素与集合的关系】【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）集合A={x∈Z∣−6<4x−2<6}，则下列表示正确的是（）A．0∉A B．0∈AC．1∉A D．−1∈A【变式4.1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合A=x,yx2A．2,3∈A B．1,7∈A C．2,−2【变式4.2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合P={xx=aa+bA．−1∈P B．−2∈P C．0∈P D．2∈P【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N∗，④4∈N，⑤A．4 B．2 C．3 D．5【题型5根据元素与集合的关系求参数】【例5】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若−3∈a−3,2a−1,a2−1，则aA．－1 B．0 C．1 D．2【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合A=m+2,2m2+m,若3∈AA．1 B．−32 C．1或−32 【变式5.2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合A=x2mx−3>0,m∈R，若1∉A且3∈A，则实数mA．12,32 B．12,【变式5.3】（2025高三·全国·专题练习）已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【题型6集合中元素的个数问题】【例6】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合A=1,3,5，B=2,4,6，则C=xx=a+b,a∈A,b∈BA．5 B．6 C．7 D．8【变式6.1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（

）个元素A．15 B．16 C．17 D．18【变式6.2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合A=x∣a(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．【变式6.3】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合A={x∈R(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围;模块三模块三集合的表示法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．3．图示法图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.【题型7用列举法表示集合】【例7】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合：(1)方程x2(2)大于10而小于20的合数组成的集合；(3)方程组x+y=2x−y=0【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合：(1)方程x−12(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；(3)函数y=2x−1的图象与坐标轴的交点组成的集合．【变式7.2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)既是质数又是偶数的整数组成的集合；(3)一次函数y=x+2与y=−2x+5的图象的交点组成的集合C；(4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合.【变式7.3】（2025高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数；(2)A=x(3)B=x∈(4){(x,y)|0≤x≤2,0≤y<2,x,y∈Z(5)由|a|a＋|b|b（a，b∈【题型8用描述法表示集合】【例8】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合：(1)不等式2x−3<1的解组成的集合A；(2)正偶数组成的集合；(3)函数y=2x【变式8.1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合:(1)由不超过5的所有自然数组成的集合A；(2)不等式3x+2>5的解集组成集合(3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合C;(4)二次函数y=x2【变式8.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线y=x(3)使函数y=2x−1有意义的实数【变式8.3】（2025高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：(1)不等式2x−3<1的解组成的集合A；(2)被3除余2的正整数的集合B；(3)C={2, (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．【题型9集合元素中的新定义问题】【例9】（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算A⊗B=xx=x1⋅x2,x1A．48 B．54 C．42 D．36【变式9.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）若数集A=a1,a2,⋯,an1≤a1<aA．“权集”中一定有1 B．1,2,3,6为“权集”C．1,2,3,4,6,12为“权集” D．1,3,4为“权集”【变式9.2】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知正实数集A=a1,a2,⋯,an，定义(1)若A=1,2,5，求集合A(2)若cardA−1=211(3)试判断cardA−1与【变式9.3】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合A=a1,a2,a3,⋯,an(1)判断集合A=0,1,7,8是否具有性质M(2)若集合B=a1,a2,a(3)当n=7时，若集合A具有性质M，且a2=1,a一、单选题1．（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高中学生中的游泳高手2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知2∈2a,a2+a，则A．1或−2 B．1 C．−2 D．1或−13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合A={x∈R|−5≤x≤2A．3∈A B．−2∈A C．0∉A D．4．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合A=x|mx2−4x+2=0中只有一个元素，则实数A．1 B．2 C．0或2 D．1或25．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（

）A．0与0表示同一个集合B．集合1,2,3与3,2,1是两个相同的集合C．方程x−12x−2D．集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示6．（24-25高一上·全国·周测）已知集合A=−4,−3,−2,0,1,2,3,4,5，B=xx∈A,−x∉A，则B=A．0,1,5 B．1,5 C．0,2,3 D．0,1,2,3,57．（24-25高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集A满足条件:若a∈A，则1+a1−a∈A，则集合A中所有元素的乘积为（A．1 B．−1 C．±1 D．与a的取值有关8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x−y∈M；③若x∈M且x≠0，则1x∈M.则下列说法正确的个数为（（1）12∈M，（2）x+y∈MA．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（）A．由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1B．∅与0是同一个集合C．集合x|y=x2−1D．集合x|x2+5x+6=010．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知由实数组成的非空集合A满足：若x∈A，则1+x1−x∈A．下列结论正确的是（A．若2∈A，则−B．0∉AC．A可能仅含有2个元素D．A所含的元素的个数一定是4n11．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若x,y∈M，则xy∈M；②若x,y∈M，则x+y∈M.下列说法中正确的有（A．−1∈M. B．2025∈M.C．若x,y∈M，则xy∈M. D．若x,y∈M，则x−y∈M.三、填空题12．（24-25高一上·全国·课前预习）x,yx+22+y−313．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合A=a−2,12,2a2+5a，且−3∈A1