湖南省名校联盟2026届高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析

湖南省名校联盟2026届高一下数学期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．3 C．6 D．22．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则（）A． B． C． D．3．已知向量若为实数，则＝（）A．2 B．1 C． D．4．已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线,在平面内一定存在一条直线，使得与（）A．平行B．相交C．异面D．垂直5．若，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则6．函数在上的图像大致为（）A． B．C． D．7．长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A．2 B．3 C．4 D．19．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶10．已知向量，若，则（）A．1 B． C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．方程组对应的增广矩阵为__________.12．直线的倾斜角为______．13．已知函数是定义域为的偶函数．当时，，关于的方程，有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____．14．若圆与圆的公共弦长为，则________.15．已知数列满足：（），设的前项和为，则______；16．设ω为正实数.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知是等差数列，为其前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.18．已知，且为第二象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19．如图，正方体棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥的体积.20．已知圆的方程为．（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；（3）是圆上一动点，，若点为的中点，求动点的轨迹方程．21．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.四棱锥的体积是.故选D.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．2、D【解析】

由题意得到，再由两角差的余弦及同角三角函数的基本关系式化简求解.【详解】解：∵角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，

∴，

，

故选：D.【点睛】本题考查了两角差的余弦公式的应用，是基础题.3、D【解析】

求出向量的坐标，然后根据向量的平行得到所求值．【详解】∵，∴．又，∴，解得．故选D．【点睛】本题考查向量的运算和向量共线的坐标表示，属于基础题．4、D【解析】略5、C【解析】

A中平面，可能垂直也可能平行或斜交，B中平面，可能平行也可能相交，C中成立，D中平面，可能平行也可能相交.【详解】A中若，，，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若，，，平面，可能平行也可能相交；同理C中若，，则，分别是平面，的法线，必有；D中若，，，平面，可能平行也可能相交.故选C项.【点睛】本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，属于简单题.6、A【解析】

利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.7、A【解析】

由题，找出，故(或其补角)为异面直线与所成角，然后解出答案即可.【详解】如图，连接，由，(或其补角)为异面直线与所成角，由已知可得，则．．即异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.8、B【解析】

将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.9、D【解析】

根据互斥事件的定义逐个分析即可.【详解】“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A错误.“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故B错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶”均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型.10、B【解析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】；∵；∴；解得．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据增广矩阵的概念求解即可.【详解】方程组对应的增广矩阵为,故答案为：.【点睛】本题考查增广矩阵的概念，是基础题.12、【解析】

先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.【详解】由于直线的斜率为，故倾斜角为.【点睛】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.13、.【解析】

令，则原方程为，根据原方程有且仅有5个不同实数根，则有5个不同的解，结合图像特征，求出的值或范围，即为方程解的值或范围，转化为范围，即可求解.【详解】令，则原方程为，当时，，且为偶函数，做出图像，如下图所示：当时，有一个解；当或，有两个解；当时，有四个解；当或时，无解.，有且仅有5个不同实数根，关于的方程有一个解为，，另一个解为，在区间上，所以，实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查复合方程根的个数求参数范围，考查了分段函数的应用，利用换元法结合的函数的奇偶性的对称性，利用数形结合是解题的关键，属于难题.14、【解析】将两个方程两边相减可得，即代入可得，则公共弦长为，所以，解之得，应填．15、130【解析】

先利用递推公式计算出的通项公式，然后利用错位相减法可求得的表达式，即可完成的求解.【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，不符合时的通项公式，所以，当时，，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据数列的递推公式求通项公式以及错位相减法的使用，难度一般.利用递推公式求解数列的通项公式时，若出现了的形式，一定要注意标注，同时要验证是否满足的情况，这决定了通项公式是否需要分段去写.16、ω∈[【解析】

由sinωa+sinωb=2⇒sinωa=sinωb=1.而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]【详解】由sinωa+而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]，故已知条件等价于：存在整数ωπ当ω≥4时，区间[ωπ,2ωπ]的长度不小于4π当0<ω<4时，注意到，[ωπ故只要考虑如下几种情形：（1）ωπ≤π2<（2）ωπ≤5（3）ωπ≤9综上，并注意到ω≥4也满足条件，知ω∈[9故答案为：ω∈[【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式,利用已知条件求出首项和公差,由此能求出an=2n+3（2）由得,由此能求出数列的前项和.【详解】解：（1）是等差数列,为其前项和解得：.（2）,,,又.是以3为首项2为公比的等比数列.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前项和的求法解题时要认真审题注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用诱导公式，二倍角公式即可计算得解；（Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求tan2α的值，根据两角和的正切函数公式即可计算得解．【详解】（Ⅰ）由已知，得，∴．（Ⅱ）∵，得，∴．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19、（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求出三棱锥的棱长为，即可求出三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）利用割补法，即可求出三棱锥的体积.试题解析：（1）正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，∴三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为（2）三棱锥的体积为20、（1）和；（2）或；（3）【解析】

（1）分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径求解；（2）根据弦长，可求圆心到直线的距离，利用距离公式，可求直线斜率；（3）利用求轨迹方程的方法(代入法)求解.【详解】（1）当斜率不存在时，过点的方程是与圆相切，满足条件，当斜率存在时，设直线方程：，直线与圆相切时，，解得：，.所以，满足条件的直线方程是或.（2）设直线方程：，设圆心到直线的距离，，解得或，所以满足条件的直线方程是或.（3）设，那么，将点代入圆，可得.【点睛】本题考查了直线与圆相切，相交的问题，属于基础题型，这类求直线的问题，