九师联盟2025届高三下学期2月开学考试试数学试题+答案

考生注意：作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。A.{x|y=√x}B.{yly=√x}C.{yly=e}A.13.已知圆台0O₁的上底面半径为2,母线长为4,母线与底面所成的角为60°,则圆台0O1的体积为=2,则直线PF2的斜率为ABCDC.D【高三开学考·数学第1页(共4页)】GF₂作渐近线l:bx—ay=0的垂线交l于点M,连接MF2交C于点N,若,则C的离心率为A.√2C.29.已知随机变量X～N(一1,1²),Y～N(3,1²),则A.E(X)=E(Y-3)B.D(3X)=9D(Y)C.P(X<1)=P(Y>1)D.P(X≤-C.g(x)的图象关于点(一2,3)对称D.方程g(x)=3的实根之和为一4A.2(m+n)—mn=2B.△CMN的周长大于2【高三开学考·数学第2页(共4页)】四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)多的老年市民练习“八段锦”,促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于60岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段类型年龄n(岁)男性女性(1)补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于65岁有关联?(2)在这200位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于65岁的情况下，为女性老年人的概率.α16.(本小题满分15分)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a₁=d(d≠0),2nan+1=2S,+n(n+1)d.(1)求{an}的通项公式；(2)是否存在m和k,使得是和(k≥2)的等差中项?若存在，求出m和k的值；若不存在，请说明理由.17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ACD-A₁C₁D₁中，点E,E₁分别在棱CD,C₁D₁上，且A,E,E₁,A₁四点共面.(2)若点B₁满足B₁D₁=A₁D₁+C₁D,侧面CC₁D₁D⊥底面ACD,AD⊥AC,AD=AC,CD=DD₁=2,∠CDD₁=60°,若平面AEE₁A₁与平面AB₁D₁夹角的余弦值为,求的值.【高三开学考·数学第3页(共4页)】G【高三开学考·数学第4页(共4页)】G18.(本小题满分17分)已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,M是C上在第一象限内的点，若直线MF的倾(1)求C的方程；(2)设直线x—ay—1=0(a>0)与C交于A,B两点，过点P(-1,2a)作直线PQ//x轴，与C交于点Q,直线QF与C交于另一点R.(ii)探讨直线PA与C公共点的个数.19.(本小题满分17分)即若函数f(x)在区间I上有定义，并且存在一个正数m,使得Vu,v∈I且u<v,不等式且存在一个正整数r,使得Vu,v∈I且u<v,不等式恒成立，则称f(x)在I上为(2)已知函数f(x)=xlnx.1.C{x|y=√x}={yly=√x}={y|y=ln(x²+1)}=[0,+∞],{yly=e}=(0,+∞).故选C.故选B.3.A由题意，得圆台的高为2√3,下底面半径为2+2=4,所以圆台的体积为故4.D由椭圆的定义，得|PF₁I+|PF₂|=14,,所以.故选C.6.B设t=ax,得0≤t≤wπ,则问题转化为直线与曲线y=PB⊥BC,同理可得CD⊥PD.取PC的中点O,则OP=OB=OC=OD,所以O为三棱锥P-BCD外接球的,化简得c=√2a,所以故选A.9.BCD由题意，得E(X)=-1,E(Y)=3,而E(Y-3)=E(Y)-3=3-3=0,=9,而D(Y)=1,所以D(3X)=9D(Y),则B正确；因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线x=1对称，所以P(X<1)=P(Y>1),则C正确；由对称性，得P(X≤-2)=P(X≥0)=P(Y≤2),所以P(X≤-2)+P(Y≥2)=P(Y≤2)+P(Y≥2)=1,则D正确.故选BCD.【高三开学考·数学参考答案第1页(共6页)】G10.ACD因为f(x)的定义域为{x,即g(x)=f(x+2)+3,所以g(x)则f(x)→-∞;若x→1,则f(x)→+∞,则f(x)在(0,图象左移2个单位长度，即得函数f(x+2)的图象，所以f(x+2)仅有两个零点x₁-2,x₂-2,且这两个零点之和为(x1—2)+(x₂—2)=(x₁+x₂)-4=-4,则D正确.故选ACD.=1-m,所以,整理得2(m+n)-mn=DA可得0<mn<1,应舍去nn≥(2+√2)²,由此mn≤(2—√2)²(当且仅当m=n=2—√2时取等号);△AMN的面积为1-,整理得x²=x(y+z)十,符合题意.k≥3.将k=√3代入cosβ+ksinβ=√k²+1,得,考虑到,可得,解得β,代人6cosa=4cosβ+1,结合6sina-6sinβ=√3,解得,所以【高三开学考·数学参考答案第2页(共6页)】G【高三开学考·数学参考答案第3页(共6页)】G14.(3分)从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，可得四边形的个数为C₆;八个顶点的连线中有4条过中心O,即有4条直径，每两条直径可确定一个平行四边形，可得平行四边形的个数为Cỉ,所以可作平行四边形的概率为;梯形可由两条(1)以m为对称轴的平行弦A₁A,A₂A₇,A₃A₆,A₄As中，有2对平行且相等，所以4条平行弦可构成C²-2个梯形，而类似的平行弦共有4组，所以可构成梯形4(C²—2)=16个；(2)以n为对称轴的平行弦A₂As,A₃A,A₄A₆中，有1对平行且相等，所以3条平行弦可构成C³-1个梯形，而类似的平行弦共有4组，所以可构成梯形4(C²—1)=8个.综合(1)(2)可得共有梯形24个，故可作梯形的概率年龄n(岁)……………………4分零假设为H₀:老年人的性别与年龄是否大于65岁无关联.的概率不大于0.001.…………………10分(2)设事件A=“抽取的一位老年人年龄大于65岁”,事件B=“抽取的一位老年人为女性老年人”,……………11分法一：所求概率为……………………13分所以2(n—1)aₙ=2S。₁+(n—1)nd(n≥2),②1分①-②,得2nan+1-2(n-1)an=2a+2nd(n≥2),化简，得an+1-an=d(n≥2).………由a₁=d,S₁=az—d,得a2=2d,仍适合a+1-an=d,5所以数列{an}是公差为d的等差数列，【高三开学考·数学参考答案第4页(共6页)】G当m=2时，k=4,则是和的等差中项；…………当m=3时，k=3,则的等差中项；………………………13分当m≥4时，CN,则kN*,不适合题意.………………………14分所以AA₁//平面CC₁D₁D1又AA₁C平面AEE₁A₁,平面AEE₁A₁∩平面CC₁D₁D=EE₁,所以AA₁//EE₁.……………2分因为平面ACD//平面A₁C₁D,平面AEE₁A₁∩平面A₁CD₁=A₁Ei,平面AEE₁A₁∩平所以A₁E₁//AE,3分所以四边形AEE₁A₁为平行四边形.…………………4分又侧面CC₁D₁D⊥底面ACD,所以OD₁⊥底面ACD,从而OD₁⊥OA;6分以O为坐标原点，直线OA,OC,OD₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示，则O(0,0,0),设E(O,t,0)(-1≤t≤1),则AE=(-1设平面AEE₁A₁的法向量为m=(x,y,z),由AD₁=(-1,0,√3),D₁B₁=D₁A+D₁C₁=DA+DC=(1,1,0)+(0,2,0)=(1设平面AB₁D₁的法向量为n=(a,b,c,),由得整理得27t²—39t+10=0,【高三开学考·数学参考答案第5页(共6页)】G解得(舍去)或,此时……………………15分又,所以代入y²=2px,得,整理得p²+4p—12=0,解得p=—6(舍去)或p=2.故C的方程为y²=4xr5分又F(1,0),所以直线QF的方程为……………………7分代入y²=4x,得,即,……………9分当且仅当a=1时取等号.(ii)由A(x₁,y₁)在直线x-ay—1=0上，得x₁-ay₁-1=0,即………所以,……………14分所以PA的方程为,结合y=4.x₁,化简得………15分代入y²=4.x,整理得y²-2yy+4x₁=0,因为△=4y—16x₁=4(y²—4x₁)=0,所以直线PA与C仅有一个公共点………………17分2≤1,产生