山西省运城市永济涑北中学2026届高一数学第二学期期末考试试题含解析

山西省运城市永济涑北中学2026届高一数学第二学期期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量若为实数，则＝（）A．2 B．1 C． D．2．在△ABC中，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．都有可能3．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（）A． B．4 C． D．4．下列各数中最小的数是（）A． B． C． D．5．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切6．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A． B．C． D．7．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，A．815 B．18 C．18．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（4,5）9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则10．在正项等比数列中，，数列的前项之和为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若一个圆锥的高和底面直径相等且它的体积为，则此圆锥的侧面积为______.12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，则的最大值为________.13．已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为________.14．如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_______________.①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．15．已知直线平分圆的周长，则实数________．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）若,，求△ABC的面积S．18．已知直线，.（1）证明:直线过定点；（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.19．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱．（1）证明FO∥平面CDE；（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDE．20．在中，分别是内角所对的边，已知．（1）求角；（2）若，求的周长．21．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

求出向量的坐标，然后根据向量的平行得到所求值．【详解】∵，∴．又，∴，解得．故选D．【点睛】本题考查向量的运算和向量共线的坐标表示，属于基础题．2、A【解析】

由正弦定理化已知条件为边的关系，然后由余弦定理可判断角的大小．【详解】∵asinA+bsinB＜csinC，∴，∴，∴为钝角．故选A．【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角形形状的判断，属于基础题．3、B【解析】

设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为它的侧面展开图是圆心角为的扇形又圆锥的表面积为，解得：母线长为：本题正确选项：【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．4、D【解析】

将选项中的数转化为十进制的数，由此求得最小值的数.【详解】依题意，，，，故最小的为D.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查不同进制的数比较大小，属于基础题.5、C【解析】，，，，，即两圆外切，故选．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．（3）数形结合法：直接根据图形确定6、B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．考点：古典概型及其概率的计算．7、C【解析】试题分析：开机密码的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5)，(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)=m8、A【解析】

不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。【详解】关于的不等式，不等式可变形为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则故a的取值范围是，选：A。【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。9、D【解析】

试题分析：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，在A中：若，，则，相交、平行或异面，故A错误；在B中：若，，，则，相交、平行或异面，故B错误；在C中：若，，则或，故C误；在D中：若，，由面面平行的性质定理知，，故D正确.考点：空间中直线、平面之间的位置关系.10、B【解析】

根据等比数列的性质，即可解出答案。【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先由圆锥的体积公式求出圆锥的底面半径，再结合圆锥的侧面积公式求解即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，母线长为，由圆锥的体积为，则，即，则此圆锥的侧面积为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了圆锥的侧面积公式，属基础题.12、【解析】

先求得的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得的最大值．【详解】中，若的面积为，，．，当且仅当时，取等号，故的最大值为，故答案为：．【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．13、【解析】

圆柱的侧面打开是一个矩形，长为底面的周长，宽为圆柱的高，即，带入数据即可．【详解】因为圆柱的底面圆的半径为2，所以圆柱的底面圆的周长为，则该圆柱的侧面积为.【点睛】此题考察圆柱侧面积公式，属于基础题目．14、①②④【解析】

根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．【详解】①当为棱上的一中点时，此时也为棱上的一个中点，此时//，满足//平面，故①正确；②连结，则平面，因为平面，所以平面平面，故②正确；③平面，不可能存在点，使得平面，故③错误；④四棱锥的体积等于，设正方体的棱长为1.∵无论、在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变，三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变.∴四棱锥的体积为定值，故④正确.故答案为①②④.【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．15、1【解析】

由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a）在直线上，所以.故答案为1【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16、【解析】

建立直角坐标系，得出的坐标，利用数量积的坐标表示得出，结合正弦函数的单调性得出的取值范围.【详解】取中点为，建立如下图所示的直角坐标系则，设，，则，则设点，则，则当，即时，取最大值当，即时，取最小值则的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用数量积求参数以及求正弦型函数的最值，属于较难题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（1）【解析】试题分析：（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式、诱导公式化简可得，结合，可求，进而可求的值；（1）由已知及余弦定理，平方和公式可求的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.试题解析：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=1bcosA，∴sinAcosC+sinCcosA=1sinBcosA，

∴sin（A+C）=sinB=1sinBcosA，∵sinB≠0，∴，可得：

（1）∵，，∴b1+c1=bc+4，可得：（b+c）1=3bc+4=10，可得：bc=1．∴．18、（1）见详解；（2）【解析】

（1）将直线变形，然后令前系数为0，可得结果.（2）根据直线//，可得，然后计算点到直线距离，根据面积公式，可得结果.【详解】（1）由则直线，令且所以对任意的，直线必过定点（2）由直线//，所以可知直线，则直线，点到直线距离为又，所以【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及平面中线线平行关系，属基础题.19、(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】

（1）利用中点做辅助线，构造出平行四边形即可证明线面平行；（2）根据所给条件构造出菱形，再根据两个对应的线段垂直关系即可得到线面垂直.【详解】证明：（1）取CD中点M，连结OM，连结EM，在矩形ABCD中，又,则,于是四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM.又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，∴FO∥平面CDE．（2）连结FM,由（1）和已知条件，在等边ΔCDE中，CM=DM,EM⊥CD且因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.∵CD⊥OM,CD⊥EM∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FMCD=M,所以EO⊥平面CDF.【点睛】（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面；（2）线面垂直的判定定理：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面.20、（1）（2）6【解析】

（1）由条件利用正弦定理求B的某个函数值，结合B的范围确定B的大小.（2）由（1）及求得ac,再利用余弦定理可得.【详解】解：（1）因为，由正弦定理可得，又,所以，则，因为，所以;（2）由已知，所以,由余弦定理得，所以，则，因此的周长为6.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积计算，有时利用整体运算可以起到事半功倍的作用，考查计算能力，属于中档题.21、(1),(2),(3)至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润