2026年高考数学二轮复习专题14 排列组合与二项式定理（热点）（天津）（原卷版）

专题14排列组合与二项式定理内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：二项式定理是必考点，稳定在单选/填空前8题（5分），侧重通项公式与特定项系数；排列组合偶考，多为小题（5分），常与实际情景结合，难度中档偏易，二者总分值5-10分。近三年共性特点：二项式定理命题稳定、难度低，侧重公式记忆与基础运算；排列组合命题灵活，不考复杂模型，以分类分步计数、简单排列组合公式为主，常与概率结合。预测2026年：1.

题型与分值二项式定理：大概率为单选/填空5分题，位置靠前，难度中档偏易，是必得分类目。排列组合：单独命题概率约50%，若命题则为5分小题；若不单独命题，会融入概率题的基本事件计算中，总分值保持5-10分。2.

核心考查方向二项式定理：①通项公式求特定项（常数项、xⁿ项）、系数、二项式系数；②赋值法求各项系数和、奇数项/偶数项系数和；③简单综合（如与函数、不等式结合求系数最值）。排列组合：①实际情景应用（选法、分配、排队问题），侧重分类加法、分步乘法计数原理；②简单排列数、组合数计算，注意含限制条件的模型（如相邻/不相邻的基础处理）；③与古典概型结合，作为概率计算的前置步骤。题型01两种计数原理的应用解｜题｜策｜略1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析需要分类还是需要分步；2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；3、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。例1（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（

）A．已知随机变量，若，则B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点例2（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则．【变式1】（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【变式2】（2026·天津东丽·开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（

）种分配方案A．90 B．120 C．150 D．240题型02队列排序问题解｜题｜策｜略1、解有“相邻元素”的排列问题的方法对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主。例1（2026·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则.例2（2025·天津滨海新·调研）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（

）A．8种 B．12种 C．20种 D．24种【变式1】（2025·天津·调研）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（

）①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种③甲乙不相邻的排法种数为种④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种A．个 B．个 C．个 D．个【变式2】（2025·天津滨海新·调研）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有种.题型03数字排序问题解｜题｜策｜略数字排序问题要特别注意首位不为0的情况。例1（2025·天津东丽·月考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的三位数，这样的三位数共有个.(用数字作答)例2（2025·天津河西·调研）用0-5这六个数字可以组成没有重复的(1)三位数有多少个?(2)四位偶数有多少个?(3)能被5整除的四位数有多少个?【变式1】（2025·天津北辰·调研）从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（

）A．48 B．30 C．24 D．6【变式2】（2025·天津北辰·月考）从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．这样的四位偶数有个．（用数字作答）题型04涂色问题解｜题｜策｜略涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。例1（2025·天津·月考）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（

）A．144种 B．120种 C．108种 D．96种例2（2025·天津河东·调研）如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有种不同的涂色方法.

【变式1】（2025·天津·月考）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（

）A．120 B．144 C．264 D．96【变式2】（2025·天津滨海新·月考）如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有种不同的涂色方法．题型05分组分配问题解｜题｜策｜略1、解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题；2、分组方法：=1\*GB3①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；=2\*GB3②部分均匀分组，有组元素个数相同，则分组后除以；=3\*GB3③完全非均匀分组，只要分组即可；3、分配：=1\*GB3①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；=2\*GB3②不同元素的分配问题，分步乘法计数原理，先分组后分配；=3\*GB3③有限制条件的分配问题，采用分类求解；例1（2026·天津滨海新·月考）下列说法正确的有（

）①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6；②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等；③若随机变量，满足，则，；④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2（2025·天津东丽·调研）第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张､小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.【变式1】（2025·天津和平·调研）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择（1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种.（2）若定义事件A为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则.【变式2】（2025·天津西青·调研）天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为.题型06最短路径问题解｜题｜策｜略最短路径问题的关键点在于确定好最短路径中横向与纵向需要走几步。例1（2025·天津·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有条.（用数字作答）

例2（2025·天津·调研）如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有条．【变式1】（2025·天津·月考）中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字可纵走如由到，也可横走如由到，在如图所示的棋盘上，“马”由点到点的最短走法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【变式2】（2025·天津·调研）如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有条．

题型07二项展开式的特定项解｜题｜策｜略求二项展开式的特定项的常用方法1、对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；2、对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；3、对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[例1（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为．例2（2024·天津河东·一模）在的二项展开式中，常数项是．（用数字作答）【变式1】（2026·天津西青·月考）二项式的展开式中，第5项是常数项，则二项式系数最大的项的系数．【变式2】（2025·天津河西·模拟预测）二项式的展开式的常数项是．题型08二项式系数与系数最值解｜题｜策｜略1、二项式系数先增后减中间项最大（1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；（2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得．例1（2024·天津·一模）已知，则．（用数字作答）例2（2025·天津和平·二模）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为．【变式1】（2025·天津河西·模拟预测）若展开式中的所有项系数和为243，则；该展开式中的系数.【变式2】（2025·天津河西·二模）若，则．题型09系数和问题解｜题｜策｜略系数和问题常用“赋值法”求解：赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．③求值，根据题意，得出指定项的系数和．例1（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为.例2（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为．【变式1】（2025·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于．【变式2】（2025·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为.题型10杨辉三角形及应用解｜题｜策｜略1、在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；2、在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.例1（2025·天津和平·月考）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第行的数字之和为；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为.例2（2025·天津·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）A．B．在第行中，最大C．D．【变式1】（2025·天津·模拟预测）在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·天津·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（

）A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则D．第34行中第15个数与第16个数之比为（建议用时：20分钟）1．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是.（用数字作答）2．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为