离散数学基础-课件 第3章 函数

03函数的基本概念函数的复合与逆函数无限集的计数

函数13.1函数的基本概念函数是二元关系的一种特殊形式，通常被理解为一种输入与输出的对应关系：每一个输入都唯一对应一个输出.例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

2定义3.1.1函数的基本概念例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

3解例3.1.1常见的函数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

4定义3.1.2

常见的函数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

5定义3.1.2(续)常见的函数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

6定义3.1.2(续)定义3.1.3常见的函数的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

7命题3.1.1

递归定义函数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

除了常见的解析表达式、图像法、列表法等表示函数的方式外，在计算机科学中经常会遇到递归定义函数的情形.事实上，当函数的定义域是通过1.1节的归纳定义法给出时，递归往往提供了一种便捷的确定函数取值的方法，此时，函数的定义自然地与定义域的归纳性质相吻合.8例3.1.2递归定义函数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

9例3.1.2（续）函数的像和原像例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

10定义3.1.4函数的像和原像例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

11定义3.1.5函数的像和原像例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

12注3.1.2函数的像和原像例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

13例3.1.3函数的像和原像

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

14解例3.1.43.2函数的复合与逆函数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.函数是一种特殊的二元关系，函数的复合和逆函数分别对应关系的复合和逆关系.

图3.2.1

函数合成交换图15定义3.2.1函数的复合例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

16例3.2.1函数的复合例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

下面是函数复合的两个基本性质，其中第一个性质表明函数复合满足结合律，第二个性质说明了恒等函数在复合中的特殊作用.图3.2.2和图3.2.3分别图示了这两个性质.图3.2.2

函数复合满足结合律图3.2.3

恒等函数与一般函数的复合17命题3.2.1函数的复合例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

18证明命题3.2.2函数的复合

19函数的复合例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

函数作为特殊的关系，通过关系的求逆运算，可以得到一个逆关系，但一般情况下这个逆关系不一定是函数.

图3.2.4

可逆函数20定义3.2.2函数的复合例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

21注3.2.1函数可逆的充要条件例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

22证明命题3.2.3函数可逆的充要条件

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

23解例3.2.2函数可逆的充要条件例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

24定理3.2.13.3无限集的计数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

在1.3节，我们描述性地介绍了有限集和无限集，并引入了表示有限集中元素数量的概念——基数（势），本节我们将基于双射，进一步形式化这些概念，比较两个无限集所含元素个数的“多少”.例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

25定义3.3.1例3.3.1无限集的计数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

26例3.3.1（续）等势的性质例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

27注3.3.1命题3.3.1等势的性质例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

28定义3.3.2可数集例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

在可计算性理论和程序语言理论中经常要考虑函数是否可计算、程序是否终止的问题，就会用到“可数”的概念.下面给出可数集的定义.

29定义3.3.3可数集例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

30证明例3.3.2可数集集是合理的.

图3.3.1

正有理数排序

31例3.3.3例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

证明可数集集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

32证明例3.3.4可数集例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

33例3.3.4证明（续）可数集例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

34证明命题3.3.2可数集例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

35命题3.3.2证明（续）可数集例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

36证明注3.3.2命题3.3.3基数对于一般的无限集，只能通过基数衡量两个集合的相对大小.例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

下面给出基数研究中的一个关键定理，该定理归功于施罗德和伯恩斯坦（F.Bernstein，1878–1956）.例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

定理3.3.1(施罗德-伯恩斯坦定理)37定义3.3.4基数例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一的，所以前文用∅表示空集是合理的.

例如，{x∈R|x2=1}={1,−1}；N=Z+.由空集是任何集合的子集的性质不难证明，空集是唯一