第十四章 全等三角形 手拉手模型（培优练习）-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十四章全等三角形手拉手模型

板块一初识手拉手模型（一）双等边三角形

模型1异侧双等边模型2同恻双等边

条件:AB=AC,AD=AE,/BAC=NDAE=60。

7：A

结论:△ABD^△ACE,ZBFC=ZBAC=60°

典例精讲

【例】如图,AB=AD.AC二AE,NBAD=NCAE=60o,BE,CD交于点P,连接AP.

(1球证:BE=CD;

⑵求/BPD的度数；

⑶求证:PA平分NDPE.

支战演练

如图人8=人口人£=人（2,/8人口=/。人£=60。,直线8£©口交于点P,连接AP.

（1求证:BE=CD;

⑵求NBPA的度数

BA

板块二初识手拉手模型(二)双等腰直角三角形

【例】如图,AB=AC,AD=AE,/BAC=NDAE=90。,连接BD,CE交于点P.

(1)求证:△ABD^AACE;

(2)判断BD,CE的关系并证明;

(3旌接PA.求NAPB的度数.

实战演练

如图,NBAD=NCAE=9(r,AB=AD,AE二AC,点D在CE上,AF_LCB,垂足为F.

⑴求证:BC_LCE;

(2诺BF=2,求CD-DE的长.

板块三初识手拉手模型（三）双等腰三角形

条件：AB=ACyAD=AEy模型1异侧双等腰三角形模型2同侧双等腰三角形

UBAC=LDAE

结论：UABD3UACE,

UBAC=CBFC

典例精讲

【例】如图1.4B=4C/D=4EQB心口。心a,.直线BD.CE交于点P.连接AP.

（1）求证:BD=CE;

（2求口"8的度数（用a表示）；

（3弘各图形旋转至如图2所示的位置，其余条件不变，直接写出.口力/>8=_（用a表示）.

实战演练

如图.AD=AB,AC=AE,NDAB二NEACG.F分别为DCBE的中点.若口。力8=见探究/AGF与a的数量关系.

A

F

B

板块四构造手拉手模型

模型模型1构双等边三角形模型2构双等腰直角三角形

图形

BCDC

条件等边△ABC等腰直角口力8C,匚84。=90。

方法作等边△ADE作等腰直角匚/DE,［D4E=90。

结论△ABD^AACE

典例精讲

题型①构双等边三角形

［例I］如图、在△ABC中,AB=ACNADB=NBAC=60。.求/ADC的度数.

题型②构双等腰直角三角形

【例2】如图，在△ABC中,AB=AC,NBAC=90o,NADB=45。.求口/。侬度数.

B

45

D

题型③构双等腰三角形

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC,[.BAC=\20，口4)8=30।.求匚4QC的度数

实战演练

1.已知，在△ABC中,AB二AC,D为BC上一点、AD=DE,NADE二NBAC=a.

(1)如图1,若a=9(R求NDCE的度数.

图1

(2)如图2,若a=120°,^<ZDCE的度数.

图2

2.如图，在口48。中，AB=AC,\ADB=48c..求证:DA平分[BDC.

A

3.如图，P为等边口/出。外一点，PA=5,PB=2,,求PC的取值范围.

第II讲手拉手模型

板块一初识手拉手模型(一)双等边三角形

典例精讲

【例】ft?：(l)VZBAD=ZCAE=60°,

AZBAE=ZDAC,

VAB=AD,AE=AC,

，AABE^AADC(SAS),・•・BE=CD;

(2)由^ABE^AADC彳导NABE二NADC,

AZBPD=ZBAD=60°;

(3过点A作AM_LBE于点M,ANJ_CD于点N,

VAABE^AADC,ABE=CD.SAABE=SAADC,

AAM=AN,APA平分NDPE.

实战演练

解(1)•・•NBAD=ZEAC=60°,AZBAE=ZDAC,

又〈AB=AD,AE=AC,

/.△ABEg△ADC(SAS),JBE=CD;

(2底BE上频BF=DP,连接AF.

:△ABE丝△ADC,，ZABE=ZADC,

又・.・AB;AD,，4ABF^4ADP(SAS),

・・・AP=AF,/BAF=NDAP.

AZFAP=ZBAD=60°,

AZBPA=ZAFP=60°.

板块二初识手拉手模型(二)双等接直角三角形典例精讲

【例】解：(1)：ZBAC=ZDAE=90°5.\ZBAD=ZCAE,VAB=AC,AD=AE,AAABD^AACE(SAS);

(2)BD=CE且BD_LCE.证明如下：

•・•△ABDg△ACE,・•・BD=CE,ZABD=ZACE,

，ZBPC=ZBAC=90°,ABD±CE;

(3过点A分别作BD,CE的垂线.垂足分别为M,N.

VAABD^AACE,ASAABD=SAACE,

VBD=CE,/.AM=AN,APA平分NBPE,又「ZBPE=90°,AZAPB=45°.

实战演练

解(1),・,NBAD=ZCAE=90°,

/.ZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

JNBAC;NDAE,・•・ABAC^ADAE(SAS);

，ZBCA=ZE,VZCAE=90°,AC=AE,

；・ZACE=ZE=45°..\ZBCA=45C'.ABC±CE:

(2试点A作AG_LCE于点G.易证△FBA出△GDAqACF^AACG,.\CD-DE=CD-CB=(CG+DG)-(CF-BF)=DG

+BF=2BF=4.

板块三初识手拉手模型（三）双等接三角形

典例精讲

【例】VZBAC=ZDAE=a,

ZBAD=ZCAE,VAB=AC,AD=AE,

，ABAD^ACAE(SAS),.*.BD=CE；

(2)VABAD^ACAE,ZACP=ZABP,

・・・NBPC=NBAC=a，则NBPE=I8O。-。,过点A作AM_LBD于点M,AN_LCE于点N,由△ABDgZ\ACE得,.

SABD=SACE-

VBD=CE,.*.AM=AN,

'PA平分匚8庄,口口〃8=90

(3)图略.UAPB-90-1a.

实战演练

解易证△DAC丝Z\BAR得NADG=NABF,DC=BE.

VG,F分别为DCBE的中点,，DG=BF.

连接AF.VAD=AB,ZADG=ZABF,

.,.△DAG^ABAF,AZDAG=ZBAF,AG=AF,

匚□GAF=L\DAB=a^UAGF=更F=90二一;a.

板块四构造手拉手模型

典例精讲

【例1】解:在DB的延长线上取点E,使DE二AD,连接AE,可得双等边三角形△ADE与△ABC形成手拉手全等,

即^ACD经△ABE(SAS),，ZADC=ZAED=60°.

【例2】解:过点A作AE_LAD,交DB的延长线于点E,可得双等腰直角三角形4人口£与4ABC,形成手拉手

全等.即△ACD^AABE(SAS),/.ZADC=ZAED=45°.

【例3】解:在DB的延长线上取点E,使AE=AD.连接AE,可得底角为30。的双等腰三角形△ADE与&ABC,

形成手拉手全等.即△ACD^AABE(SAS),.*.ZADC=ZAED=30°.

实战演练

1.解：(1)过点D作DF_LDC交CA的延长线于点F,则构造出共顶点的双等腰直角4ADE和AFDC形成手拉

手全等.即△FDA0Z\CDE(SAS，得ZDCE=ZF=45°.

(2)ffiCA的延长线上取点F,使DF二DC.连接AE.则构造出共顶点的双等腰△ADE和^FDC形成手拉手全等，

BPAFDA经△CDE(SAS)彳导NDCE=/F=30。.

2.