第14章 全等三角形（单元测试·培优卷）-2024沪科版八年级数学上册

第十四章全等三角形•培优卷

【沪科版2024]

参考答案与试题解析

第I卷

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（24-25七年级下•上海•期中）下列说法正确的是（）

A.形状相同的两个三角形全等B.能够完全重合的两个三角形全等

C.面积相等的两个三角形全等D.两个等边三角形全等

【答案】B

【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键.

根括全等三角形的定义逐项判断即可.

【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图

形全等，故不符合题意；

B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意；

C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；

D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意.

故选:B.

2.（3分）（2025•贵州铜仁•三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以

用数学知识解释.如画角平分线：如图，在已知的2力。8的两边分别取OM=ON,将无弹性的绳子对折标

记折痕（即绳子中点P）,将绳子两端分别固定在点M、N处,从折痕点P处拉宜绳子，点P在平面乙4。8

内，则OP平分/力。氏原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出4AOP=4BOP.这里三角

形全等的判定方法是（）

【答案】A

【分析】根据题意，得OM=ON,PM=PN,结合OP=PO即可证明△PMO=△PNO（SSS）,即可得证4/1OP=

乙BOP.

本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得OM=ON,PM=PN,

CM=ON

国PM=PN,

PO=PO

0APMO三△PNO（SSS）,

BZ.AOP=乙BOP,

故选：A.

3.（3分）（24-25八年级下•陕西咸阳・期末）已知△48。和ADBE按如图所示的位置放置，已知“=90。,

DE148,且=AC=DE.若4力=35。，则4CBD的度数为（）

A.130°B.110°C.100°D.120°

【答案】B

【分析】本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和性质列式计算得

Z.ABC=55。，结合乙DEB=4。=90°,AB=DB,AC=DE,证明△ABC三4DBE,则4力8c=乙DBE=55°,

即可作答.

【详解】解：回乙4=35°,ZC=90°,

^ABC=180°-90°-35°=55°

回DE1AB,

^Z-DEB=ZC=90°,

团=DB,AC=DE,

^ABCDBE,

团乙ABC=Z.DBE=55°,

即/CBO=乙ABC+乙DBE=110%

故选：B.

4.（3分）（24-25七年级下•山西晋中•期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木

鸟，称为“木莺〃.后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在

如图所示的"风筝”图案中，AB=AD.£.BAE=^DAC,4c=4E.则可以直接判定（）

D

A.LADG三LABFB.△ABC=△ADE

C.AAFC=t^AGED.AAED三△力CF

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键.

根据已知条件，分析AABC和^ADE,易得A4BC三△4DE（SAS）.

【详解】解：vZ.BAE=Z.DAC,

:.Z.BAC=Z.DAE,

在4/18。和△40E中，

（AB=AD

\z-BAC=Z-DAE，

（BC=DE

:.&ABC三△ADE（SAS）.

故选B.

5.（3分）（24-25八年级下•湖南株洲•期末）如图，ECLBD,垂足为C,力是EC上一点，月/C=CD,连

接力8、ED,AB=DE.若4C=3.5,80=9,则CE的长为（）

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质.证明RtAABC三Rt^DEC（HL）,得到AC=CD,BC=CE,

即可求解.

【详解】解：•••EC_LBD,

•••LACB=乙DCE=90°,

在Rt△48c和Rt△DEC中，

（AB=DE

Uc=CD>

二Rt△AHC三Rt△/JfeC（HL）,

AC=CD,BC=CE,

vAC=3.5,BD=9,

CE=BC=BD-CD=BD-AC=9-3.5=5.5,

故选：A.

6.（3分）（2025•辽宁葫芦岛•一模）如图，在△ABC中，。是边上的一点，。尸交AC于点£,DE=EF,

FClABr若BD=1,CF=3,贝的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.利用"AAS〃证明

△AEDCEF,得到AD=CF=3,即可求出48的长.

【详解】解：•••”IL4B,

ZF=匕ADE,Z.A=乙ECF,

vDE=EF,

：.^AEDCEF（AAS）,

AAD=CF=3,

vBD=1,

•••AB=AD+BD=4,

故选:B.

7.（3分）（2025•四川成都•模抵预测）如图，△43C是等边三角形，点O,E分别在边45,BC上，添加

下列条件后不能判定△4。5与4C8D全等的是（）

A.AD=BEB.Z.ADC=Z.AEBC.Z.CAE=乙BCDD.CD=AE

【答案】D

【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断.

【详解】解：・♦•△48C是等边三角形，

:.，B=Z.ACB,AB=BC=AC,

A、由AD=BE,AB=BC^lBD=CE,由SAS判定△/CE回△CBD,故A不符合题意；

B、由=得至iJzBDC=N4EC,由AAS判定△C8D,故B不符合题意；

C由ASA判定△ACEmACBD,故C不符合题意；

。、和N4CE分别是C7）和4E的对角，不能判定△4CE团△C8D,故D符合题意.

故选：D.

8.（3分）（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上.若

在网格图中的格点上有一点0（不与点/,B，C重合），使得与△力8C全等，则这样的三角形有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】本题考查利用三角形全等的判定作图，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键.以8C为公

共边，结合两个三角形全等的判定定理SSS,使所作的三角形另外两条边分别与△/18C的边相等即可得到答

案.

【详解】解：如图所示:

・・・在网格图中的格点上有一点。

(不与点4B,C重合)，使得AD8C与△ABC全等，则这样的三角形有3个,

故选：B.

9.（3分）(24-25七年级下•广东深圳•期末)如图，△4BC中，点D为4C的中点.点E是4c下方一点，连

接BE,CE.BD平分zABE,CEIIAB,若CE=3,BE=7,则AB的长为（）

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【分析】连接ED并延长交于点F,在BO的延长线上取一点M使。，=。氏连接尸"，证明△40/三△

CDE(ASA),得再/=CE=3,DE=DF,再证明△DHF三4DBE(SAS)得“/=BE=7,=乙DBE,进而

得BF=HF=7,由此即可得出AB的长.

此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形

的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键.

【详解】解：连接并延长交48于点F,在8。的延长线上取一点H,使DH=DB,连接尸”，如图，

回点。为AC的中点，CE=3,BE=7,

团4D=CD,

0CE\\ABt

0Z./4=乙DCE,

又（LG40F=乙CDE,

团△AOF^ACDE（ASA）,

^AF=CE=3,DE=DF,

WE=DF,乙FDH=cEDB,DH=DB,

（?!△DHF三△DBE（SAS）,

0HF=BE=7,乙H=LDBE,

团BD平分△4BE,

团匕DBE=乙DBF,

团乙〃=乙DBF,

团B尸=HF=7,

团AB=AF+8F=3+7=10,

故选：B.

10.（3分）（24-25八年级上•新疆乌鲁木齐•期末）如图，在四边形力BCD中，ADIIBC.若4MB的角平分

线4E交CD于E,连接BE,且BE平分4/BC,得到如下结论：®/.AEB=90°；@AB-AD=BC；（3）AD=DE；

④BE=：CD；⑤若AB=x，则4E的取值范围为0</1EVx,那么以上结论正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】在AB上取一点尸，使Ar二AD,延长AE,BC交于H,结合平行线性质、角平分线定义、全等三角形

判定与性质及三角形三边关系，对每个结论逐一分析判断即可.

【详解】vAD||BC,

Z.ABC+乙BAD=180°,zC+zD=180°

vAE,BE^^A^^Z.ABC,/.BAD,

AZ.ABE=-Z-ABC,Z.BAE=-Z-BAD.

22

:.Z.ABE+乙BAE=1（乙ABC+乙BAD）=：x180°=90°,

^AEB=90°,故①正确;

在43上取一点F,使=

vZ.BAE=Z.DAE.AE=AE,

:AADE=△/IFF(SAS),

Z.AFE=乙D,

:SAFE+Z-C=180°,

vZ.AFE+Z-BFE=180°,

:.Z.BFE=Z-C»

又•；乙FBE=乙CBE,BE=BE,

BFEBCE(AAS),

•••BF=BC,

.•.AB-AF=BF,

AD-AD=BC,故②正确;

•••gDE无关联，

AD=OE不一定成立，故③错误；

延长力交于〃，

•:乙CBE=乙ABE,乙BEH=180°-LAEB=90°,BE=BE,

LABE三△”BE(SAS),

AE=HE,AB=BH,

vAD||BC,

:.Z.DAE=Z.H,

vZ.AED=乙HEC,

：.^ADE三△HCE(ASA),

CE=DE—CD,

2

BE不一定相等，

•••8E=不一定成立，故④错误；

B

A

!”ED

1J

//

H

如上图，AB=BH=x,

AB-BH<AH<AB+BH,

0<AH<2x,即0<24E<2x,

0<AE<x,故⑤正确.

综上，结论①②⑤正确，

故选:B.

【点睛】本题考查了平行线性质、角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，通过构造

辅助线证三角形全等是解题的关键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（24-25七年级下•陕西汉中•期末）如图，点居4,0,C在同一直线上，EFIIBC,且E尸=BC.DE||ABt

已知40=4,CF=13,则4C的长为.

【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差.掌握三角形全等的判定定理

和性质定理是解题关键.根据平行线的性质结合题意易证明ABAC三4£7）?（AAS）,得出AC凡从而可

证CD=4F,结合40=4,CF=13,即可求出CD=力尸=4.5,从而可求出4c=40+CD=8.5.

【详解】）W：0EFHSC,DE||AB,

Bzf=乙F,Z.BAC=乙EDF,

又巨EF=BC,

0ABAC三△ET）F（AAS）,

团AC=DF,

^AC-AD=DF-AD,^CD=AF

BAD=4,CF=13,

团C。=AF=^（CF-AD）=x（13-4）=4.5,

^AC=AD+CD=4+4.5=8.5.

故答案为：8.5.

12.（3分）（24-25八年级上♦江苏徐州•阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即

图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样

的三角形.

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证.

【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只

有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA,满足题目要求的条件，是符合题意的.

故答案为：2.

13.（3分）已知，如图，AD=AC,BD=BC,。为AB上一点，那么图中共有一对全等三角形.

【分析】由己知条件，结合图形可得团ADB配］ACB,0ACO00ADO,mCBO施DBO共3对.找寻时要由易到难,

逐个验证.

【详解】解：0AD=AC,BD=BC,AB=AB,

酿ADBIM1ACB；

回回CAO=Q1DAO,@CBO=0DBO,

0AD=AC,BD=BC,OA=OA,OB=OB

00ACO30ADO,0CBO00DBO.

团图中共有3对全等三角形.

故答案为3.

14.（3分）如图，在4P4B中，Lh=乙B,M、N、K分别是P4,PB,4B」二的点，且=BK,BN=AK.若

Z-MKN=40°,则NP的度数为.

【答案】1007100S

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定AAMKBKN

是解题的关键.由条件可证明三ABKN,再结合外角的性质可求得上A=ZMKN,再利用三角形内角

和定理即可求得乙P.

【详解】解：在AAMK和aBKN中，

AM=BK

Z.A=乙B,

AK=BN

"BKN（SAS）,

Z.AMK=乙BKN.

vLK+LAMK=乙MKN+乙BKN,

•••LA=乙MKN=40°,

ZP=180°-Z,A-/-B=180°-40°-40°=100°.

故答案为：100°.

15.（3分）如图，在MBC中，QL4cB=90。，将MBC绕点A逆时针旋转到（ME/，延长BC交E产于点

若BD=5,BC=4f贝IJOE=—.

A.

/\\\D

/YC\

E

B

【答案】3

【分析】如图，连接A。.证明词RtMOC(HL),推出D尸=。。=1,可得结论.

【详解】解：如图，连接AD.

在RtELADF和RtaADC中，

(AD=AD

Uf=AC'

0Rt3A£)H?lRt[?L4DC(HL),

^DF=DC,

回B£>=5,BC=4,

(3CD=DF=5-4=1,

团EF=3C=4,

©DE=EF・DF=4-1=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决

问题，属于中考常考题型.

16.(3分)(24-25七年级下•陕西汉中•期末)如图，在长方形4BCD中，AB=4,AD=6,延长8C到点E,

使CE=3,连接DE,动点P从点B出发，以每秒3个单位的速度沿BC—CD—04向终点4运动，设点P的运

动时间为/秒，当/的值为秒时，和△OCE全等.

【答案】1或当

«5

【分析】本题主要考查了全等三隹形的判定.分两种情况：当点P在8c上时，若BP=CE=3；当点P在AD

上时，若AP=CE=3,结合全等三角形的判定解答即可.

【详解】解：在长方形ABC"中，LA=LB=乙BCD=90°,AB=CD=4,,4。=BC=6,

=90°=Z.B=z.Af

当点P在BC上时，若BP=CE=3,

同力E=CD,乙DCE=乙B,BP=CE,

团△4BP=△DCE,满足条件，

此时t=34-3=1；

当点。在AD上时，若AP=CE=3,

OA8=CD,Z.DCE=乙B,AP=CE,

^ABP=^CDE,满足条件，

此时£=（4+6+6-3）-r3=y；

综上所述，当/的值为1或蔡秒时，△力BP和△/）（：£•全等.

故答案为：1或蓝.

第n卷

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25八年级上•北京,期中）如图，点小B、C、D在一条直线上，4E||DF,4E=DF,48=CD.

（2）若乙4=45°,Z-ECD=120°,求上产的度数.

【答案】（1）证明见解析

（2）£F=75°

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用

是解题的关键.

（1）根据平行线的性质可得=ZD，根据线段的和差关系可得力C=D8,进而根据即证明；

(2)由全等三角形的性质得乙£=乙凡再通过三角形外角性质求出乙E即可:

【详解】(1)证明：^AEWDF,

团ZA=Z.Z),

囿48=CD,

团AB+BC=CD+BC,

财C=DB,

在A/IEC和△。尸B中

(AC=DB

\z.A=Z.D，

\AE=DF

^AECDFB(SAS)；

(2)解：由(1)得△AEC三AUFB,

0Z.F=乙F,

0ZFCD=z.A+^.E,Z.A=45°,LECD=120°,

0ZF=120°-45°=75°,

0ZF=75°.

18.(6分)(24-25七年级下•四川成都・期末)如图所示，在△48。中，。为上一点，E为AC中点，连

接DE并延长至点凡使得£F=ED,连接CF.

⑴求证：CFIIABx

(2)若BE14C,BD=2,CF=3,求8c.

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是

解题的关键.

(1)可证明△止ED£△)£尸得至IJU=ZEC尸,据此可证明CFMB；

(2)证明△48E三ACBE得到=再由全等三角形的性质得到AD=CF=3,据此求出A8的长即可

得到答案.

【详解】（1）证明：回£为力。中点,

^AE=CE,

又=^AED=LCEF,

^AEDCEF（SAS）,

团NA=乙ECF,

回CTIIAB；

（2）解；0FE1AC,

团2BE/=乙BEC=90°,

又■=BE,AE=CE,

^ABE=△CBE（SAS）,

团BC=AB；

0AAED=△CEF,

^AD=CF=3,

团BD=2,

团48=AD+BD=5,

0BC=5.

19.（8分）（24-25七年级下•广东揭阳•期末）【主题】：军事训练中的距离测量问题：

【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点力）与对

岸目标（点3）之间的距离.然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外

环境没有携带任何专业测量工具.但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来

解决这一难题.

【实践操作】：如图所示：

tiUhBAC

步骤1：面向点B竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点B；

步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点C；

步骤3：步测得AC=28米，已知小王身高为A。，帽顶0到眼睛。的垂直距离为。。.

【问题解决】：

⑴由上面实践操作可以知道48距离是米；

⑵请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性.

【答案】（1）28

⑵见解析

【分析】（1）根据全等三角形的性质求解；

（2）根据全等三角形的性质求解.

本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】（1）解:由上面实践操作可以知道距离是28米；

故答案为：28：

（2）解：在△84。和△C4D中，

（48力。=Z.CAD=90°

AD=AD，

{乙80/1=ziCDA

•••△BAD^L,SD（ASA）,

AAB=AC=28米.

20.（8分）（24-25八年级下•广西来宾•期中）如图，在A/IBC中，AB=AC,DE是过点力的直线，点B、C在

【答案】（1）见解析

（2）3

【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键.

（1）根据题意得出4408=乙4定=90。，再由全等三角形的判定得出Rt△48。三结合其性质

及等量代换确定乙&4C=90。，即司.证明；

（2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解.

【详解】（1）证明：•••BDIDE,CEIDE,

:.乙ADB=Z.AEC=90°,

在RtzMBD和RtaCAE中，

..（AB=AC

•l4D=CE'

Rt△ABD=RSG4E（HL）.

:.乙DAB=Z.ECA,乙DBA=Z.EAC,

•••Z.CAH+Z-ECA=90u,

Z.CAE+Z.BAD=90°,^Z,BAC=90°,

:.AB1AC.

（2）解.：由（1）得，Rt^ABDsRt^CAE,

•••BD=AE,

•:AD=CE.

而DE=4。-gCE=7,BD=4,

.•.DE=7-4=3,

答：DE的长为3.

21.（10分）（24-25七年级下•上海•期末）如图，△ABC中，。是8C延长线上一点，CD=48,过点C作CE||4B

且CE=BC,连接OE并延长，分别交力C,力8于点F,G.

(2)若48=50。,ZD=25。,求乙4FG的度数.

【答案】(1)见解析

(2)80°

【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明△力风;三4

OCE是解题的关键.

(1)由CEIIAB,得乙DCE=^B,IUJAB=DC,CE=BC,即可根据边角边证明△ABC三△DCf,则24=乙。；

(2)由48=50°,44=4。=25。，得乙46尸=48+乙。=75。，则〃FG=180。-4A—乙AGF=80°.

【详解】(1)解；团。是BC延长线上一点，CEWAB,

^Z.DCE=Z.B,

在A48C和△/)(?£■中，

(AB=DC

\z.DCE=^B,

(CE=BC

ABC三△DCE(SAS),

0Z/1=ZD.

(2)解：0ZF=5O°,ZD=25°,

0Z/1=ZD=25°,Z.AGF=Z-B+匕0=75。，

0Z/1FG=18O0-Z.A-匕力GF=80°,

队MFG的度数是80。.

22.(10分)(24-25八年级上•四川自贡•期末)己知,在四边形ABC。中,LABC+Z.ADC=180°,AB=BC.

B

图1

⑴如图1,连接80.若4840=90。，求证：AD=CD.

⑵如图2,点:P,Q分别在线段｛D,DC上,且满足PQ=4P+CQ,求证匕P8Q=4WP+4Q6C.

⑶若点Q在OC的延长线上，点P在。力的延长线上，连接3P,BQ,PQ,仍然满足PQ=AP+CQ.请在图3

中补全图形，根据图形直接写出/P8Q与乙HOC的数量关系.（四边形内角和为360°）

【答案】⑴见解析

⑵见解析

（3）图见解析,ZP8Q=90°+*DC

【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

（1）证明RtZkB/W三RtZkBC。，根据全等三角形的性质证明结论；

（2）延长OC至点K,使CK=4P,连接8K,分别证明△8P4三A8CK、△PBQ三△8KQ,根据全等三角形

的性质证明：

（3）在CD延长线上找一点K,使得KC=HP,连接BK,分别证明△8PA三△BCK、乙PBQZABKQ,根据

全等三角形的性质、四边形内角和为360。解答.

【详解】（1）证明：•••41BC+乙力0C=180。,

配BCD+乙BAD=180°,

团4B4D=90°,

，乙BCD=乙BAD=90°,

在Rt△BAD和Rt△BCD中，

(BD=BD

lAB=BC'

•••Rt^BAD三RtABCO(HL)

:.AD=DC；

(2)证明：延长DC至点K,使CK=AP,连接8K,如图2,

£BAD+乙BCD=180°,

v乙BCD+Z-BCK=180°,

:.乙BAD=乙BCK,

在ABPA和ABCK中，

(AB=CB

1/.BAP=乙BCK,

(AP=CK

BPA三△BCK(SAS)

AZ.ABP=乙CBK,BP=BK,

•••PQ=/IP+CQ,QK=CK+CQ,

:.PQ=QK

在AP8Q和ABKQ中，

(BP=BK

]QP=QK,

[BQ=BQ

:APBQ三△BKQ(SSS)

Z.PBQ=乙KBQ=乙CBK+乙CBQ=乙ABP+乙CBQ；

(3)解：如图3,Z-PBQ=90°+^Z.ADC.

理由如下：在CO延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK,

v£.ABC+Z.ADC=180°,

:.LEAD+LBCD=180°,

•••/.BAD+Z.PAB=180°,

Z.PAB=乙BCK,

在ABPA和ZkBCK中，

(AP=CK

UBAP=£BCK

(AB=BC

2BPABCK(SAS)

:.Z.ABP=Z.CBK,BP=BK,

:.乙PBK=乙ABC,

vPQ=AP+CQ,

PQ=QK,

在APBQ和△BKQ中，

(BP=BK

\BQ=BQ,

[PQ=KQ

••.△PBQ=△BKQ(SSS)

:.乙PBQ=乙KBQ,

2乙PBQ+乙PBK=2Z.PBQ+Z.ABC=360°,

2(PBQ+(180°-Z.ADQ=360°,

:.LPBQ=90。+2DC.

23.（12分）（24-25七年级下•辽宁沈阳•期末）如图，在△力BC中，AB=BC,LABC=90°,延长4C到点

连接80，过点3作3£_L80,过点A作AEJ.AC,连接OE,点尸是DE的中点，连接力F,过点。作DG_L4?,

交AF的延长线于点G.

⑴i青说明线段AE与线段DG平行吗？并说明理由.

⑵清说明"与AGCF全等吗？并说明理由.

(3)请说明线段C。与线段DG的关系？并说明理由.

【答案】⑴线段4E与线段QG平行，理由见解解析

(2)AAE/与AG。/7全等，理由见解解析

(3)CD1DG,CD=DG,理由见解解析

【分析】此题考杳了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质与判定，熟练掌握

等股直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键.

(1)根据4E_L4C,DGLAD,点力在的延长线上即可得出答案；

(2)根据4E||0G得4产区4=4FDG,Z.FAE=Z.FGD,根据点广是DE的中点得EF=。凡由此可判定△

AEF=△GDF；

(3)根据DG14D得CD1DG,由等腰直角三角形性质得/8力。=48&4=45。，进而得=/BCD=

135°,证明〃BE=乙CBD,则可依据"ASA”判定△ABE空4CBD^AE=CD,再由(2)的结论得4E=DG,

由此得CD=DG.

【详解】(1)线段AE与线段OG平行，理由：

0/4F1AC,DG14D,点。在力C的延长线上，

^AE||DG；

(2)△力EF与△GOF全等，理由：

团4EIIDG,

^LFEA=乙FDG,LFAE=乙FDE,

13点户是。旧的中点,

0FF=DF,

在与AGO"中，

(LFEA=Z.FDG

\z-FAE=LFGD，

(EF=DF

团△4EF三△GOF(AAS)；

(3)线段CD与线段DG的关系是：CD上DG,CD=DG,理由：

团OG1ADt

0CD1DG,

在中，AB=BC,/.ABC=90°,

回乙B4C=JLBCA=45°,

团乙BCD=180°-^BCA=135°,

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