高考数学一轮复习（新高考版）平面向量基本定理及坐标表示

§5.2平面向量基本定理及坐标表示

【考试要求】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.

会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解月坐标表示的平面向量共线的条件.

知识梳理

1.平面向量基本定理

如果的，02是同一平面内的两个丕关线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有

一对实数小,22,使。=刈臼+22”

我们把不共线的向量e1,£2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作E交分解.

3.平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设〃=（即，y\）,b=（M，刈），则〃+力=（修+也，w+v。,

。一1=（k—刈，yi-'），2a=（/jcitAn）,

\a\

（2）向量坐标的求法

①若向最的起点是坐标原点，则终点坐标即为向显的坐标.

②设八（箱，yi）.B（X2,>,2）»则AB=（X2—XI."―¥1），|人B|=Y*2—X1）2+（>2—y1）2.

4.平面向量共线的坐标表示

设。=（%1，》），5=（X2，）2），其中力wo,贝I]a〃[以一切力=0.

【微思考】

1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？

提示不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直

线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.

2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？

提示不一定.两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（1）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.（X）

（2）若a。不共线，且九。+〃1〃=，2。+〃2方，则九=22，"I="2.（J）

（3）若。=（汨，yi）,b=（x2f）空），则a〃b的充要条件可表示成?=p.（X）

12y2

（4）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.（J）

题组二教材改编

2.（多选）如图所示，C,0是线段A8上的两个三等分点，则下列关系式正确的是（）

ACDB

A.eq=3ACB.eq=—2CD

C.eq+8D=0D.eq=A。

答案ABC

3.已知口ABC。的顶点A（-l,-2）,B（3,一I）,C（5,6）,则顶点。的坐标为.

答案（1,5）

解析设。a，y）,则由赢=比，得（4』）=（5一％6—5），

4=5—x,（x=l,

即I/解得U

1=6-y,ly=5.

4.如图，OA,加不共线，且崩=^（f£R）,用5A,表示而=.

答案

解析,・•布=麻，

：.OP=OA-\~AP

=OA~\~tAB

=OA+t（OB-OA）

=OA-\-tOB—tOA

题组三易错自纠

5.（多选）设0是平行四边形ABCZ）的两条对角线AC,BZ）的交点，其中可作为这一个平行

四边形所在平面的一个基底的是（）

A.eq,ABB.eq,BC

C.cq,DCD.cq,OB

答案AC

解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图,

对于A,而与油不共线，可作为基底；

对于B,法与正为共线向量，不可作为基底；

对于C,而与说是两个不共线的向量，可作为基底；

对于D,历与协在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底.

6.(多选)已知向量。=(1,-2),\b\=4\a\,a//b,则力可能是(

A.(4,8)B.(4,-8)

C.(一4,-8)D.(-4,8)

答案BD

解析设b=(x，y),依题意有

^+/=4-\/|24-(—2)2,

j+2x=0,

x=-4,

解得

y=8.

例1(1)在△4BC中，点、D,E分别在边BC,ACAL,且证)=2a7,CE=3EA,若靠=a,AC

=b,则无等于()

A.eqo+方力

答案C

解析DF.=DCA-&.

=1/?C+^CA

=!(AC—AB)—|AC

BDc

（2）（2021・郑州质检）如图，在平行四边形A8CO中，E,尸分别为边A8,8c的中点，连接CE,

DF,交于点G若而+〃油（九〃£R）,则彳=.

答案!

解析由题图可设4&=%函0<1<1）,

则Q=x（E+泥：）=«份+上初=^CD+xCB.

因为诙+4为，而与屈不共线，

所以2=}4=x,所以（=；.

思维升华（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进

行向量的加、减或数来运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向

量间的关系.

（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不

同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.

跟踪训练1如图，已知在AOCB中，4是CB的中点，。是将帅分成2：1的一个内分点，

。。和OA交丁点E,设晶=小OB=b.

⑴用。和力表示向量次7,5c：

（2）若沅:=/d,求实数％的值.

解（1）由题意知，A是3C的中点，

且而=W为，由平行四边形法则，得为+诙=2万I,

所以沆•二？—一而?=2〃一儿

—>—>-*25

DC=OC-OD=(2a-b)-jb=2a-^b.

（2）由题意知，EC//DC,故设丘1=疝乙

因为反'=无一无=(2。一切一加=(2—一乩

所以(2_»。一力=420_%).

因为。与b不共线，

所以由平面向量基本定理，

题型二平面向量的坐标运算

例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(一3,-4).设施=a,BC=b,N=c,且由=3c,CN=

-2b.

⑴求3a+b—3c；

(2)求满足a=mb-\~nc的实数m,m

(3)求M,N的坐标及向量A/N的坐标.

解由已知得。=(5,-5),力=(-6,-3),c=(l,8).

(1)3。+力-3c=3(5,—5)+(—6,-3)-3(1,8)

=(15-6-3,一15—3—24)=(6,-42).

(2)方法一mb+nc=(—6m+n,-3加+8〃)，

-6/〃+〃=5,f/M=-1,

・•・,解得

-3+8〃=-5,[〃=一].

方法二•・・a+5+c=0,

/.iz=—b-c,

又〃而+〃c,

inh-\-nc=一〃一c,

.『二f

〃=-1.

(3)设O为坐标原点，,：C!4=OM-OC=?,c,

・••痂=3c+OC=(3,24)+(—3,-4)=(0,20).

AA/(0,20).

又•・•函=而一次=一2尻

・••赤=-26+历=(12,6)+(—3,-4)=(9,2),

・・・N(9,2),・••荻=(9,-18).

■引申探究

I.本例中条件不变，如何利用向量求线段A8中点的坐冰？

解设。为坐标原点，P(;Gy)是线段A8的中点，

则成=&才1+而，

即(%，)，)=*一2,4)+(3,-1)]=&|)，

；・线段AB中点的坐标为(；，号.

2.本例中条件不变，如何利用向量求△A8C的重心G的坐标？

解设的中点为P,O为坐标原点，

VCG=|CP,

.*.dG=1oC4-|dP=15c4-1(OA+dB),

一i一f—i(1n

/.OG=^(OA-\-OB-\-OC)=5[(-2,4)+(3,-1)+(—3,—4)]=(一？，一名，

二重心G的坐标为(一|,一g.

思维升华向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线

段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用.

跟踪训练2(1)己知。为坐标原点，点C是线段相上一点，且C(2,3),|正|=2位?|,

则向量为的坐标是_______.

答案(4,7)

解析由点。是线段AB二一点，|前1=2位],

得就=一2最?.设点6为j),则(2一人3—)，)=一2(1,2),

2——21^4

即cJ解得"J所以向量为的坐标是(4,7).

[3—尸一4,b=7.

(2)如图所小，以ei，02为基底，则〃=.

答案-2ei+e2

解析以约的起点为坐标原点，幻所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则ei=(LO),e2

=(—1,1),a=(—3,1),令a=xei+ye2,即(一3/)=x(l,0)+y(—1/)，

x—v==<-3-2

则<'所以｛'即〃=—26+&.

b=i，产i，

题型三向量共线的坐标表示

命题点1利用向量共线求参数

例3(1)(2020・惠州调研)已知向量”=(2,且〃一b与5共线，则x的值为.

答案一2

解析Va=(2,l),b=(x,-1),

•»a—b=(2—x,2),

又*•a—b与方共线,

.,.(2-A)X(-l)-2,r=0,

：.x=~2.

(2)(2018・全国HI)已知向量G=(1,2),b=Q,-2),c=(l,2).若c〃(2a+b),则2=.

答案5

解析由题意得20+方=(4,2),

因为c=(l,A),且。〃(2。+力)，

所以42—2=0,即2=；.

命题点2利用向量共线求向量或点的坐标

例4在△ABC中，已知点。(0,0),40,5),倒4,3),OC=^OA,而)=；而,AI)与BC交于点

历，则点M的坐标为.

答案除2)

解析因为点0(0,0),4(0,5),8(4,3),

所以点电，同理点42,1).

设M的坐标为(x,y),

则AM=(.K,y—5),而A/)=(2,—£),

因为A,M,。三点共线，所以危与而共线，

7

所以一,丫一2。，-5)=0,即7x+4y=20,

而(5if=(x,ch=(4-0,3-5=(4,J,

因为C,M,B三点共线，所以CM与CB共线,

所以%—4(y—J=0,即7x—l6y=-20,

17

[7x+4y=20,工=亍,

由得〈7

[7x-16y=-20,[2,

所以点M的坐标为g,2).

思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若。=(即，巾)，b=(x2t”)，则。〃)

的充要条件是.盯>，2=犬2丁1”.

(2)在求与一个已知向量Q共线的向量时，可设所求向量为痴(2£R).

跟踪训练3(2020•山东省文登二中模拟)平面内给定三个向量。=(3,2),)=(-1,2),c=(4,l).

(1)若(a+h)〃(2b—a),求实数十

(2)若d满足(d—c)〃(a+b),且|d一c|=小，求d的坐标.

解(1)〃+履=(3+4*,2+4),%一〃=(一5,2),

由题意得2义(3+4人)一(一5)><(2+6=0,

解得k=一蔡.

(2)设d=(x,y),

则d—C=(K-4,y—I),

又。+4=(2,4),岭尸小,

4(x-4)-2^-l)=0,

•-

••限一4)2+()，—1)2=5,

x=3,x=5,

解得或

b=-i)'=3.

・・・d的坐标为(3,—1)或(5、3).

课时精练

《基础保分练

1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量初的坐标是()

2一

1X;

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

答案D

解析因为4(2,2),所以彳h=(-1,-1).故选D.

2.在下列向量组中，可以把向量。=(3,2)表示出来的是()

A.ei=(0,0),62=(1,2)

B.3=(—1,2),62=(5,—2)

C.ei=(3,5),e2=(6,IO)

D.3=(2,-3),62=(-2,3)

答案B

解析对于A,C,D都有ei〃e2,所以只有B成立.

3.(2020•太原模拟)设向量〃=(〃?,2),力=(1,机+1),且4与力的方向相反，则实数〃，的值为

()

A.-2B.I

C.-2或1D.的值不存在

答案A

解析向量。=(〃?,2),6=(1,加+1),因为。〃b,所以"?(〃?+1)=2X1,解得切=-2或〃?

=1.当机=1时，«=(1,2),6=(1,2),a与力的方向相同，舍去；当机=-2时，。=(-2,2),

力=(1,-1),。与力的方向相反，符合题意，故选A.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(l,0),伙0』)，。为第一象限内一点，NAOC=：,且|0。

=2,若元=/1次+〃为，则2+〃等于()

A.26B.cqB.C.2D.4观

答案A

解析因为|OC|=2,N40C=今C为第一象限内一点，

所以C(<2,5)，

又无=疝+厮，

所以(6，6)=41,0)+"(0/)=(2,"),

所以2=〃=啦，2+〃=2\5

5.(多选)已知向量后=(1,一3),OB=(2,-1),女=(〃?+1,w-2),若点4,8,。能构

成三角形，则实数〃?可以是()

B.eqB.；C.1D.—I

答案ABD

解析各选项代入验证，若4,B,。三点不共线即可构成三角形.因为矗=加一苏=(2,

—1)—(1,—3)=(1,2),AC=0C~OA=(m4-1,m—2)—(1,—3)=(〃?，zw+1).假设A,B,

。三点共线，则lX(/n+l)-2/W=0,即6=1.所以只要小Wl,A,B,C三点就可构成三角

形，故选ABD.

6.(多选)设a是已知的平面向量且“WO,关于向量a的分解，有如下四个命题(向量〃，c和

。在同一平面内且两两不共线)，则真命题是()

A.给定向量力，总存在向量。，使。=B+c

B.给定向量〃和c,总存在实数2和〃，使。=助+2

C.给定单位向量力和正数"，总存在单位向量c和实数九使0=助+”

D.给定正数2和〃，总存在单位向量力和单位向量。，使

答案AB

解析•・•向量瓦c和a在同一平面内且两两不共线，

•RWO,cWO,

给定向量。和力，只需求得其向量差。一从

即为所求的向量c,

故总存在向量c,使a=b+c,故A正确；

当向量力，。和〃在同一平面内且两两不共线时，向量力，c可作基底，

由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；

取a=(4,4),"=2,6=(1,0),

无论2取何值.向号动都平行于x轴，而向最〃c的模恒等于2・

要使。=劝+”成立，根据平行四边形法则，向量”的纵坐标一定为4,

故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；

因为2和〃为正数，所以必和4c代表与原向量同向的且有固定长度的向量，

这就使得向量。不一定能用两个单位向量的组合表示出无，

故不一定能使。=劝+”。成立，故D错误.

故选AB.

7.(2021•合肥质检)已知向量a=(l,3),6=(—2,k),且(a+2。)〃(3“一小)，则实数左=.

答案一6

解析。+2b=(—3,3+2k),

3。一》=(5,9—口，

由题意可得，—3(9T)=5(3+29,解得A=-6.

8.设向量a=(—3,4),向量。与向量a方向相反，且仍|=10,则向量〃的坐标为.

答案(6,-8)

解析不妨设向量力的坐标为b=(—3/ti,4/n)(m<0),

则俗|=y/(—3m)2-b(4m)2=10,

解得m=—2(m=2舍去)，

故)=(6,-8).

9.已知。为坐标原点，向量况=(1,2),OB=(-2,-1),若2仆=初，则|而=.

答案专

解析设。点坐标为(■y),AB=OB-OA=(-2,-l)-(l,2)=(-3,-3),AP=(x-\,y

-2),

则由2万=嬴得，2(x-l,)-2)=(—3,-3),

x=­

2x-2=-3,

所以2y-4=T,解得

1

产于

故I丽坐

10.(2021・荆门检测)在△4OB中，AC=^AB,。为08的中点，若比=7而\+〃为，则2"的

值为.

答案

解析因为尼=拗，所以充=/为一51),

因为。为08的中点，所以拉)=15及

所以OC=QO+OC=—5O8+(OA+AC)

1->—>1—>—>

=一］。3+OA+5(。4-OA)

43

-

---

5*10

则W的值为一£.

11.已知。=(l,0),b=(2,1),

⑴当左为何值时，口一方与a+2〃共线:

(2)若赢=2。+3力，证=〃+〃立且A,B,。三点共线，求用的值.

解(1)而一方=N1,0)—(2/)=(2—2,-1),

。+2)=(1.0)+2(2/)=(5,2).

9•ka~b与。+2)共线，

・・・2(2—2)一(一1)乂5=0,

即2&-4+5=0,得4=一,

(2)方法一VA,B,C三点共线，工赢=流

即2a+?>b=x(<z4~mb),

2=2,3

/J,解得机=章

3=成，2

方法二矗=2〃+3方=2(1,0)+3(2」)=(8,3),

BC=a+nib=(1,0)+/??(2,11=(2m+1,/〃)，

VA,B,C三点共线,：,AB//BC,

3

=-

；・8机一3(2加+1)=0,HP2/«-3=0,・2

12.如图，已知平面内有三个向量OA,OB,OC,其中04与。8的夹角为120°,为与。C的夹

角为30。，且15Al=|必|=1,|拉?1=2小.若5b=2a+〃无（九〃£R）,求的值.

oA

解方法一如图，作平行四边形OBiC4,

则元=西+市；，

因为后与m的夹角为120。，后与次的夹角为30。，

所以NSOC=90°.

在RtaOHiC中，NOC5i=30°,|女|=2小，

所以|西|=2,|碇|=4,

所以|而|=|而|=4,

所以历=4勿+2协，

所以2=4,〃=2,所以2—4=6.

方法二以。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,

则4(1,0),G；,坐)

C(3,^3).

由女=入后+"协,

3=2-m，

A=4,

得.r-解得

，，=2.

所以2+4=6.

R技能提升练

13.（2020•河北衡水中学质检）已知在RtZ\ABC中，NB4C=90。，43=1,AC=2,D是bABC

内一点，且NDAB=60。，设筋=力S+〃战'（九〃£R）,则;等于（）

A.eqB.eqB.C.3D.

答案A

解析如图，以4为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为），轴建立平面直角坐标系，

则3点的坐标为（1,0）,C点的坐标为（0,2）,

因为ND48=60。，所以设。点的坐标为（〃?，小川）（〃?K0）.

AD=(w,y[3rn)=2AB+/b4C=A(1,0)+/z(0,2)=(A,2/0,则〉=m,且"=坐加,

所以"一3•

14.（2020•山东省实险中学等四校联考）如图，在RtAABC中，ZABC=^,AC=2AB,ABAC

的平分线交△ABC的外接恻于点D,设俞=mAC=b,则向量好）等于（）

A.a~\~bB.eqa+b