高考数学综合复习：函数的概念

高中数学高考综合复习专题三函数的概念

一.知识网络

近

代

定

义

史

定

映

义重点问题：

射

用解析法表出的

域1.

函数中对应法则

、

值“仔的意义；

城2.由上述的意义

引出的函数问题

特有的代换一一

“同位替换”的感

定符

悟与认知.

义□

二.高考考点

1.映射中的象与原象的概念；

2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;

3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题；

4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.

三.知识要点

（一）函数的定义

1、传统定义:设在某一变化过程中芍两个变量X和y,如果对于某一范围内X的每一个值,y都有唯一的值和它对应，那

么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量（函数）.

2、现代定义:设A、B是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中

都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：ATB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）,x£A.其在x叫做自变量,x

的取值他围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值，函I数值的集合｛f（x）|x£A｝叫做函数的值域.

3、认知：

①注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此，今后若求得函数定义域或值域为（p,则此困数不存在.

②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素，缺一不可.在函数的三要素中，对应关系是核心，定义域是基础,当函数

的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.

（二）.映射的概念

将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合，便得到映射概念.

1、定义1：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和

它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A-B

2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射f：A—B,且a®A,b£B.如果在此映射之卜.元素a和元素b对应，则将元素

b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a-b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.

3、认知：

映时定义的精髓在于“任一（元素）对应唯一（元素）''，即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可乘IJ,允许

B中有剩余：不可“一对多”，允许“多对一「因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.

集合A到集合B的映射f：A-B是一个整体,具有方向性；f：ATB与f：B-A一般情况下是不同的映射.

（三）、函数的表示法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.

1、解析法:把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的，多是理论或实际生活中偏干实用的函数.

3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.

图象法直现形象地表示出函数的变化情况，是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.

认知:函数符号的意义

在函数的概念中我们用符号"y=Rx「表示"y是x的函数”这句话.

其中,对于运用解析法给出的函数y=f（x）,其对应法则“「表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”，即一

套运算的框架.

具体地，对于函数f（x）=5无-2x+3（x>l）①

对应法则表示这样一套运算的框架:5()-2()+3,()>1.

即f:5(/-2()+3,()>!.

据此，我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析：

f⑶:对自变量x的取值a实施上述运算后的结果，故有f(a)=5«2-2a+3(a>l);

f(x):对自变量x实施上述运算后的结果，故有f(x)=5,-2x+3(x>l);

f(g[x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有

2

f(g(x))=5且(x)-2g(x)।3(g(x)>i)②

感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别，有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②，不难从中

悟出这样的代换规律：

凡是x的位置上均换以g&)(包括范围中的X)〉

凡是g(x)的位置上均换以区(包括范围中的g(x))

f(x)的解析式f[g(x)]的表达式

我们将上述替换形象地称之为“同位替换

显然，同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换,

在两式不可能相等的条件下仍可操作实施，这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+l)的解析式，便是辩析两

种替换的一个很好的范例.

四.经典例题

例1.如右图，在直角梯形OABC中,AB〃OC,BCJ_OCJ1AB=I.OC=BC=2,直线l:x=t，截此梯形所得位于1左方的图形

面积为S,则函数S=f⑴的大致图象是以下图形中

()

分析1:立足于f⑴在te[(),l]上的函数式.直线OA的方程为y=2x,

1

i(2t)t=t20

故当0<t<l时，s=2,，由此否定A.B.D,应选C.

分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化

而变化的状态.

当I在0.D之间运动时,S随着I的增加而增力II,并且增加的速度越来越快，

即ASI,AS2…,ASn是递增的(ASi是单位时间内面积的增量)，故排除A和B,对于C

和D,由时f(t)一尸的凹凸性可。除D,故应选C.

例2.如图所示，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(()0),A(60),

B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线1从点0开始作平行移动倒点A为止.设直线1与x轴的交点为M,OM=x，并记梯形

被直线1截得的在左侧的图形面积为y,求函数y=f(x)的解析式，定义域及值域.

分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同，故需要分类讨论，注意到决定1左侧图形形状的关键点,

故以x=2,4分划讨论的区间.

解：

112

-xxy=-x

⑴当0WXW2时，上述图形是一等腰Rt△，此时，y=2，即2;

⑵当2<x"时，上述图形是一直角梯形.注意到它可分割为一个等腰Ri△(确定的)和一个矩形，此时

V=」X2X2+2*-2)

2，即y=2x-2;

(3)当4<xW6时，上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等接直角三角形(位于直线1右侧)』匕时

11010

^=-(6+2)x2--(6-x)2—%2+6X-10

22,即2

因此，综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为

-X2,0<X<2;

2

=,

7=/W2x-2f2<x<4;

--X2+6x-10,4<x<6

2

由此可知,f(x)的定义域为[0,2]u(2,4]U(46]=[0,6].

0MLM2

又当0<x<2时，2，即此时0<y<2;

当2<x<4时,2<2x-2W6,即此时2<y<6;

--x2+6x-10

当4<x<6时.6<2<8,即此时6<y<8.

，函数f(x)的值域为[0,2]u(2,6]u(6,8]=©8]

点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研九综合结论.不过，在研究由实际问题产生的函数及其两域时，必须具体问

题具体分析，必须考虑所给问题的实际情况.

例3.

⑴已知f(x)=x2+2x-l(x>2),^f(2x+l)的解析式；

(2)已知/(«+1)='+2近，求f(x+l)的解析式.

解:⑴

Vf(x)=x2+2x-l(x>2)

・•.以2x+1替代上式中的x得

f(2x+l)=(2x+l)2+2(2x+1)-1(2x+l>2)

Af(2x+1)-4A2+8X+2(A>2)

(2)由已知得£('反+1)=(4+("+121)

・••以x替代上式中的4+1得

f(x)=x2-l(x>l)

r.f(x+i)=(x+i)2-i(x+i>i)

BPf(x+l)=x2+2x(x>0)

点评:上述求解也可运用换元法，但是，不论是“换元法”，还是上面实施的“同位替换''，它们都包括两个方面的替换：

(I)解析式中的替换；

(2)取值范围中的替换.

根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺•不可.

例4.设y=f(2x+l)的定义域为[[l],f(x-l)=x2,试求不等式f(l-x)vx的解集.

分析:为将不等式f(x+l)<x具体化，根据“同位替换”法则冼求f(l-x)的表达式.

解油题设知，在y=f(2x+l)中有-1W烂1=-1W2X+1W3,

工运用“同位替换”的思想

在f(x-l)中应有-1WX-1S3①

又由题设知f(x-l)=(x-l)2+2(x-l)+l②

・•・由①、②得f(x-l)=(x・l)2+2(x・l)+l(-l<x-l<3)

/.f(l-x)=(l-x)2+2(l-x)+l(-1<1-x<3)

即f(l-x)=x2-4x+4(-2<x<2)

于是有f(l-x)vx=x2"x+/1vx(-2<x<2)

=x2-5x+4<0(-2<x<2)

=(x-l)(x-4)<0(-2<x<2)

=l<x<4(-2<x<2)

=l<x<2

因此，所求不等式f(i-x)<x的解集为(L2].

点评:在这里，三个不同函数f(2x+l),f(x-l),f(x+l)均以x为自变量,x是“一仆三主”.因此在探求函数解析式或定义域吐

一定要注意“两方替换''，双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.

例5.⑴设A={a,b.c}.B={-l,OJ),映射f：ATB

①若映射f满足值)>f(b)叫c),则映射f的个数为:

②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=O,则映射f的个数为:

③若映射f满足f(a)-f(b)=f(c),则映射f的个数为.

(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足

df(2Hf(3)Sf(4)£f(5),则映射f的个数为.

分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A-B之下A中元素a的象，故有f(a),f(b),f(c)£B.为便于梳理思跟解答这类题经常

运用列表法或分类讨论的方法.

解:⑴由已知得f(a),f(b),f(c)GB

①列表法：

Vf(a)>f(b)>f{c)

，f(a)只能取0或l,f(c)只能取-I或0.

根据映射的定义，以f(a)取值从大到小的次序列表考察：

f(a)f(b)f(c)

100

10-1

111

0-1-1

由此可知符合条件的映射是4个.

②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小

到大)为主线列表考察

f(a)f(b)f(c)

000

01-1

0-11

10-1

1-10

-110

-101

由此可知符合条件的映射有7个.

③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c)=f(a)=f(b)+f(c)

即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.

(i)当象集合为单元素集合时，只有象集{0}满足已知条件，此时符合条件的映射f只有1个.

(ii)当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为｛-1,0｝或｛1,0｝

｛-1,0｝:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;｛1,0｝:1=0+1,1=1+0

此时符合条件的映射有4个.

(iii)当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为

｛-1,0,1｝：0=1+(-1),0=(-1)+1

・•・此时符合条件的映射f有2个

于是综合⑴、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.

(2)分类讨论:以象集合中兀素的个数(从小到大)为主线展开讨论.

⑴当象集合为单元素集时,象集为｛6｝或｛7｝或｛8｝,故此时满足条件的映射f有3个；

(ii)当象集合为双元素集时，先将A中元素分为两组，有°；种分法，又每两组的象有3种情形，故此时符合条件的映射f

有Ix3=12个；

(iii)当象集合为三元素集时，先将A中元素分为3组，有种分法，又等三组的象只有1种情形，故此时符合条件的映

射f有C：xl=6个。

于是综合⑴、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.

点评:在认知心)(入£人)的意义以及题设条件的意义的基础上，以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论，是解决此

类映射问题的通用方法(通性通法)，请同学们在今后的解题中注意应用.

例6.已知函数f(。对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,11f(-2)=-2.

⑴求f⑴的值;

(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.

分析:这是未给出具体的函数解析式，只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性，循着“一般”与“特殊”之间的

辩证关系,想到从“特殊”(特殊取值或特殊关系)入手去破解“一般”,以寻出目标.

解:(1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=l,y=-l得f(0)=f(l)+f(-l)①

又令x=0,y=0得f(0)=-l②

令x=-1,y=-1得f(-2)=2f(-l)+2

Vf(-2)=-2,Af(-l)=-2③

.••将②、③代入①得f(1)=1.

(2)为利用f(l)=l,在上述恒等式中令x=l得

f(y+1)=f(y)+y+2^^f(y+1)-f(y)=y+2

・••当t£Z时，有f(t+l)-f(t)=t+2④

根据④，运用阶差法得

f(t)=f(i)4-[f(2)-n1)]]+...+[f(t)-f(t-i)]

二.f(t)=I+(1+2)+(2+2)+...+[(t-l)+2]

纯T)

=14-2(t-l)+2

即f(t)=22

1231

-r+-/-l=z

；.f(t)=t=22

t2+t-2=0

0(t-l)(t+2)=0

=t=l或t=-2

于是可知，满足f(t)=t的整数t只有两个：t=-2户1.

点评：函数f（x）当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以，这里运用（或借鉴）了数列求和的思想或方法（阶差法或分

项法）.看透问题，把握本质,解题时方能联想顺畅，入手准确.这是我们始终所追求的境界.

五.高考真题

（一）选择题

八再+/）>/（々）+/（乙）

1.（2005•湖北卷）在y=2',y=log2X,y=x?,y=cos2x这四个函数中，当O<X|<X2<1时，22恒成立

的函数的个数是（）.

A.OB.lC.2D.3

分析:运用数形结合思想，考察各函数的图象.注意到对任意X1,X2£I,且XKX2,当f（x）总满足

/（为+巧）>/（小/每）

22时，函数f（x）在区间I上的图象是“上凸”的，由此否定y=2、,y=x2,y=cos2x,本题应选B

l-x

/（：---）=；--T

2.（2004•湖北卷）已知1+X1+X，则f（x）的解析式可取为（）

x2x2xx

A.1+X2B.1+X2C.l+/D.1+'

分析:运用直接法.

1-X1-t

令1+x=t,则x=l+2("4),

1+(匕)2l+『

Af(t)="

2x

Af(x)=1+X(x^-1)应诜C

.A-x1-x2

j(---)-------

说明:注意到对于1+X，有1+x=-1+1+才#-1,・・・对于以)应有洋-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义

域入手筛选为上乘解法.

J/+尿+c,x=O

3.(2004•湖南卷)设闲数f(x尸，若f(-4尸f(0),f(-2尸-2,则关于x的方程f(x尸x的解的个数为().

A.lB.2C.3D.4

分析：从确定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得

16-4Z?+c=c0=4

4-28+c=2c=2

\>0[x<0[z<0

,<

・•・方程f(x)=x=〔五=/(力=2或|/+4X+2=XQ[?+3x+2=0或x=2

x<0

=5"-1或'=-2或乂=2,故本题应选c

4+1)2,x<l

4.(2004♦全国卷C)设函数f(x)=14-怀，爪之1,则使得以巨1的自变量x的取值范围为()

A.(9'-2]u[0,10]B.(r,一2[50,1]

-00-

C.(，2]U[1W]D.[-2,0]U[l,10]

分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究，综合结论.

fx<l彳21

。心10l(x+l)‘Nl或=1<^x<-2或1WXW10,故应选A

运用特取法:取'-5，则"万"(5)*，由此否定C,D;取x=2,得/Q)=4-4>1，由此否定B,故本题应选A

(二)填空题

1.(2005•江苏卷)己知a.b为常数，若f(x)=x?+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24厕5a-b=,

分析：由f(x)=x2+4x+3得

f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,

由已知条件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24

,2ab+4a=10«=[1fa=-l

刎

故有的+3=24=b=3b=-l

.\5a-b=2

2.(2005・北京卷)对于函数定义域中任意的X1,X2(XMX2),有如下结论：

①f(Xi+X2)=f(Xi)-f(X2)

②f(X|-X2)=f(X))+f(X2)

—(孙)>0

③Xi—；

“玉+%>/(小：每)

®-2-2.

当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是.

分析:根据对数的运算法则知②正确，①不正确；

借助f(X尸Igx的图象，考察XrX2的几何意义;经过点(XI,f(X1)),(X2,f(X2))的直线的斜率，可知③正确;注意到

f(X)=lgX的图象“上凸”，可知④正确.故本四应填②、③、④.

3.(2004•浙江)己知[T，X<U•，则不等式x+(x+2)-f(x+2)<5的解集是

分析：注意到原不等式中之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体，故从x+2的符号或取值入手进行讨论

和等价转化.

x

原不等式=1+2+内5或以一。+2)工50"Eg或x420-2

(31

—00,—

・•・原不等式的解集为I'2..

(三)解答题

1.(2005•浙江卷)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x.

(I)求函数g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)>f(x)-|x-l|.

分析：求“对称曲线”的函数式或方程，基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式在运用公式或平

方去掉绝对值不能实现时，“分类讨论”乃是解题取胜的杀手铜.

解：⑴设点Q(xo,y())为y=f(x)图象上任意一•点，点Q关于原点的对称点为P(x,y),则

有

3=0

.2o/o=f

Z±A=0辰=-7

、2一①

,:点、Q(x°,yo)在函数y=f(x)图象上

**«yo=xo2+2xo②

，①代入②得-y=(-x)2+2(-x)

即y=-x2+2x

故有g(x)=-x2+2x

(2)g(x)Nf(x)・|x・1|Q2x2-|x-l|<O

当x多时,2x2-x+lW0,此不等式无解；

当x<l时,2x2+x-lW0=2.

・•・原不等式的解集为L2」.

点评:以“点对称”入手破解对称问题，以“绝对值的零值''分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.

2.(2005•上海卷)已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,AB=2,+2j(i,J分别是与x、y

轴正半地同方向的单位向量)，函数g(x)=x2-x-6

(I)求k、b的值；

g(x)+l

(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数/W的最小值.

分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中，故从探求A、B点坐标切入,利用虚=2?+2J建立方程或方程组;

对于(2)、则要注意立足于不等式f(x)>g(x)的解集，探求所给函数的最小值.

匹2i

b_b_ap=i

解:⑴由已知得A(・E,o),B(o.b),从而AB=(k白)、又AB=Q,2),故得9=209=2

■所求k=l,b=2.

(2)f(x)>g(x)QX+2>X2-X-6QX2-2X-8〈()Q-2<X<4①

g(x)+l(X+2)2-5(X+2)+1

/(x)=x+2=x+2

1

=(x+2)+x+2-5(分离整式项)②

又由①知0<x+2<6③

咒）1>2k+2）—

，由②得/WV工+2_5=-3

当且仅当X+2=X+2即x=J(满足①式)时等号成立.

g(x)+l

，函数/W的最小值为-3.

点评:在这里，运用不等式求所给函数的最小值，函数式的分离整式项的变形至关重要.一般地，当分子次数等于分母次

数时,分式可分离出一个常数项;当分子次数大十分及次数时，分式可分离出一个整式项.“分离”整式项的手法，是在分子实施

“配凑”，将分子表示为分母的函数式.

3.(2005•江西卷)已知函数f(x)=(a.b为常数),且方程f(x)-x+l2=0有两个实根为XI=3,X2=4.

⑴求函数f(x)的解析式；

(2)设k>l,解关x的不等式2-x.

分析：对于(I),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项一通分一分解因式一

转化(为整式不等式)一求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.

解：

（l）f（x）-x+12=0=以X+B-X+I2=3

［上…

3a+b

.上=.8

将X,=3,X2=4代入方程得〔4。+8

a=-1

《

解得〔5=2

（加2）

，f（x）=2-x

（+l）i<Q

（2）原不等式0f（x）-2-X

\2（上+l）x+尢（0

=2-x

=(2-x)[X?-(上+1)工+勺<0

=(x-2)(x-l)(x-k)>0

(I)当l<k<2时，由你)解得l<x<k或x>2;

(II)当k=2时，由(派)得(x-2)2(x-l)>0=l<x<2或x>2;

(III)当k>2时，由(※阀l<x<2或x>k.

于是可知，当1<k<2时，原不等式的解集为(l,k)U(2,+8)；

当k>2时，原不等式的解集为(1,2)U(k,+8).

点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时，若采用叶艮轴法”，则可使解答更为快捷准确，请同

学们一试.

4.(2005•上海卷)对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数

/(x)g(x)当XcDf且XeDf

%0)=</(x)当xeD月x2Dg

g(x)当且xw%

1

(1)若函数f(x)=X-I,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;

(2)求问题(1)中函数h(x)的值域；

(3)若g(x)=f(x+d)，其中&是常数，且。」。，力，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个比的值，使得

h(x)=cos4x,并予以证明.

分析：对于(1),注意到h(x)为分段函数，探求函数解析式要立足于“分段探求，综合结论”的基本策略.对于(3),这里

g(x)=f(x+a)，又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R.可得h(x)=f(x)・f(x+&)，又

h(x)=cos4x,于是可由f(x)・f(x+a)=cos4x入手展开联想与探求，这里的探求自然是从cos4x的“一分为二”的变形入手.

解：

(I)这里Df=(-oo,l)U(l,+oo)Dg=R

当x£Df且xWDg,即x£(-8,l)U(l,+8)时，X-l；

当建Df且xWD.即x=l时,h(x)=g(x)=l：

[#1

u、I—

%a)=<x-i

乂x£Df且x2Dg的x不存在，故得=L

1

双X)=

(2)当x*时,X-l=(x-l)+X-l+2

,若x>l,则x-l>0,h(x)沙，当且仅当x=2时等号成立;

若x<l,则x-l<0,故有h(x)0O,当且仅当x=0时等号成立.

又当x=l时,h(x)=l.

..・函数h(x)的值域为(一8刈

(3)由题意得h(x)=f(x)・f(x+&)

又注意到cos4x=cos22x-sin22x

=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)

7T7V

cos2(x+—)+sin2(x+—)

=(cos2x+sin2x)44②

7T

，由①、②知，令f(x)=cos2x+sin2x(xER)a=4

7T7F

cos2(x4--)4-sin2(x+—)

则有g(x)=f(x+。)=44

=cos2x-sin2x

于是有h(x)=f(x),于+&)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)

=cos22x-sin22x=cos4x.

点评：

(I)对于(1),务必要注意逐段考察，不可忽略

(II)既要注意(3)中g(x)=f(x+a)，又要注意大前提下的h(x)的表达式,双方结合推出h(x)=f(x)・f(x+比).至此，解题的

难点得以突破，问题便归结为将cos4x化为互有关联的两式之积的三角变换.

5.(2004•上海卷)已知二次函数y=gx)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交

点间的距离为8,f(x)=fi(x)+f2(x)

(I)求函数f(x)的表达式；

(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.

分析：由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用“待定系数法"探求fi(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x