广东省广州市三校2025-2026学年高二年级上册期中联考数学试题（解析版）

广东省广州市三校2025-2026学年高二上学期

期中联考数学试题

一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的.

3

1.经过点（1,—1）且一个方向向量为（1,——)的直线/的方程是（）

2

A.3x+2y—1=0B.3x+2y+\=0

C.Zv+3)M-1=0D.x-2y-3=0

【答案】A

3

【解析】直线/的一个方向向量为（1,一一）,且经过(1,-1),

2

33

故直线/的斜率4=-5,故直线方程为：），+i一(A—1),即3.1+2)，­1=0,

2

故选：A.

2.若忖,瓦w构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（）

Ac+a,c,c-aB.b,h+c,b-c

C.b+c,a+b+c,aD.b+c,b-c,a

【答案】D

【解析】对A：因为十万）十（1一日）=2^,所以向量^十。1一"滓共面，

所以3+M忑一反5不能构成空间向后的基底；

对B：因为伍+/+伍一*2尻所以向量/；+机6—己5共面，所以/；+己/；—己5不能

构成空间向量的基底；

对c：因为（6+3）+〃=万+6+1,所以石+乙&+5+B。共面，所以5+乙〃+6+乙〃

不能构成空间向量的基底；

对D：因为不存在x,ytR,使得己=邛+@+乂5-，，所以石+口5-己万不共面，

所以B+己5-*万可以作为空间的另一组基底.

故选：D.

（S3、

3.若椭圆的两焦点为（-N0）和（2,0）,且椭圆过点不、一不，则椭圆方程是（）

IN乙）

，2

B.——厂+—y=1,

4106

)广,.1匚三二1

Cr.---H----=1D.

48106

【答案】B

22

【解析】根据题意可设椭圆的标准方程为：二十[=1,（。〉力＞0）.

矿lr

c=2

259v2

则〈/+R=1,解得：从=6，/=10,所以椭圆的方程为二+菅=1.

^a-4lr10

a~=b~+c~

故选：B.

4.两圆工2+）,2+4工一4）,=0与/+/2+2工-12=0的公共弦长等于（)

A.4B.4>/2C.2名D.3、历

【答案】B

【解析】•.•两圆为丁+产+以一今二。①，x2+y2+2x-\2=0@

①一②可得：x-2y+6=0.

•••两圆的公共弦所在直线的方程是x-2），+6=0,

•.112+），2+4,1-4），=0的圆心坐标为（-2,2）,半径为2近，

・•・圆心到公共弦的距离为d=0,

••・公共弦长=40.

故选：B.

5.在平行六面体ABCO-aqCQ中，AB=AD=AAi=ltZBAD=ZBAA,=^DAA,=60,

B.x/6

C.3D.6

【答案】B

【解析】依题意，阳=而+布+耐,

所以属2二印+而+砚?=而：府+丽屋2（福布+福福+而同

=l+l+l+2x|Ixlx—+lxlx—+lxlx—1=6.

I222j

所以卜G|二布.

故选:B.

6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放

在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P（x,y）是阴影部分（包

【答案】c

【解析】记A（2,0）,则七=--为直线AP的斜率，

故当直线AP与半圆V+（）,-1）2=1,X>（）相切时，斜率攵最小，

设/”：）=%（1一2）,则/、=1,解得攵二一一或％=0（舍去），

\Jk~+\3

y4

即」一的最小值为一-.

x-23

故选：C.

7.在四棱锥P—ABCZ）中，福=（覃,一1）,AD=（1,0,2）,AP=（-5,1,1）,则此四棱锥

的高为（）

A.V3B.75C.373D.714

【答案】D

（解析】设平面ABCD的法向量为3=（芭y,z）,

\nAB=O__

则〈_，又丽=(1,1,—1),4。=(1,0,2),

/i-AD=0

x+y-z=0

所以《

x+2z=0

令戈=2,可得y=-3,z=-b

所以3=(2,—3,—1)为平面43co的一个法向量，

又入户=(一5』』)，

所以向量而在法向量3=(2,—3,—1)上的投影向量的大小为

叱才卜5)；2+以(-3)+叫-明什

所以四楂锥P-ABCD的高为V14.

故选：D.

8.阅读下面材料：在空间直角坐标系Ox”中，过点尸(X。,为，Z。)且一个法向量为

比=(a,〃,c)的平面。的方程为a(x-Xo)+〃()，-%)+c(z-Zo)=。,过点

。(%,尢*。)且方向向量为〃=(〃,匕卬)(〃口卬00)的直线/的方程为

土二%=匕&=三二包.根据上述材料，解决下面问题：已知平面。的方程为

UVW

2x-y+z-7=0,直线/是两个平面x—y+2=0与2x—z+l=0的交线，则直线

/与平面。所成角的余弦值为()

A.1B.-C.—D.-

2332

【答案】D

【解析】因为平面〃的方程为2x—y+z—7=0,

所以平面。的一个法向量为点=(2,-1,1).

同理可知，尾=(1,-1,0)与瓶=(2,0,-1)分别为平面x-y+2=()与2x—z+l=0的

一个法向量.

—碗%=x-y=O

设直线/的方向向量为%=",)，,z),则，,2,

[tn2-n()=2x-z=0

不妨取x=l,则京=(1,1,2).设直线/与平面a所成的角为凡

2-1+2|£

则sin0=

2

所以cos0=Jl-sin*=

2

故选：D.

二、多选题.本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，错

选不得分，漏选得部分分

9.已知直线/：y=&E-a+l,下列说法正确的是（）

A.直线/过定点（一1,1）

B.当时，/关于X轴的对称直线为x+），=。

C.直线/一定经过第四象限

D.点P（3,-1）到直线/最大距离为2近

【答案】BD

【解析】对于A,直线/:y=or-a+l=a（x—l）+l,所以直线/过定点Q（l,l）,故A错

误:

对于B.当。=1时，直线方程为y=x,/关于X轴的对称直线为x+y=。，故B正确;

对于C,当4=1时，直线方程为）'=X,直线/不经过第四象限，故C错误;

设PHJJ,由图象知：俨。之归”|,点?（3,-1）到直线/的最大距离为

J=^(3-l)2+(-l-l)2=2x/2>故D正确;

故选：BD.

22

10.已知椭圆C：5+5=1的左右两个焦点分别为玛、鸟，左右两个顶点分别为4、4,

尸点是椭圆上任意一点（与A，4不重合），Af（l,I）,则下列命题中，正确的命题是（)

A.kp、.kpA,=——B.aP6^的最大面积为2后

C.存在点P,使得两•所=0D.aPM耳的周长最大值是

6+Vm+V2

【答案】ABD

【解析】对A,由题知，。=3/=6,。=2,

则4（一3,0），4（3,0）,耳（一2,0）,鸟（2,0）,

设p（%，%），£+段=lny；=［（片-9）,

7J7

、--（X2-91

则*,k二%）‘。二）♦二卢”：5,A正确；

必必马+3%-3x--9x；-99

对B,易知当点P为短轴端点时，△尸"居的面积最大，最大值为gx2m=2逐，BIE

确；

对C,而=（-2-与，-

则两.%=1-4+北=*一4一：（片一9）=9片+拒1,C错误；

对D,由椭圆定义可知，|产制=6—|尸闾,

所以1PMl+|尸周=6+1尸闾一归国《6+|〃用,

又忻叼=J（1+2）2十（1-0）2=V10,|M^|=Q（1-2丫+（if=y/2，

所以1PM+归制+忻河区6+|5|+|耳凹=6+痴+夜,

当用，鸟,产三点共线，且K在线段上时，等号成立，D正确.

11.如图，已知正方体A8CO-AMGA的棱长为2,点M为CQ的中点，点尸为正方形

AIIGA上的动点，则（）

DiCi

A.满足MQ〃平面BO%的点尸的轨迹长度为0

B.满足〃P_LAM的点P的轨迹长度为建

3

71

C.存在唯一的点P满足/4PM二一

2

D.存在点/＞满足以+P历=4

【答案】AC

【解析】对于A,取向G的中点。，AG的中点N,又点M为CG的中点，

由正方体的性质知MQ〃A。，NQ//BD,MQRNQ=Q,A,DnBD=Dt

所以平面MQN//平面8DA，又MPu平面MQN,「.MQ〃平面

故点P的轨迹为线段MQ=JTR=逐，故A正确；

以。为原点，分别以OAOC,。。I为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0),M(0,2,l),设P*,y,2),且04JV42,0<y<2,

AP=(x-2,y,2),=AA/=(-2,2J)

_______3

对于B,AM-A/P=-2A+2(3,-2)+1=-2x+2y-3=0,即y=x+],

又0GW2,0<y<2,则点尸的轨迹为线段所，《0,|,2),呜,2,2

且£F=口[=也，故B错误；

V442

对于C,/\PMP=(x-2)x+(y-2)y+2=x2-2x+/-2>'+2=(x-l)2+(y-l)2,

7T

显然，只有x=i，y=i时，QMP=O,即丽,而，故存在唯一的点尸满足N4PM=-，

2

故C正确；

对于D,点M关于平面48cA的对称点的为M'(0,2,3),三点共线时线段和最短，

故QA+PAf2AA，=J?15rm=>/万>4，故不存在点夕满足A4+PM=4，故

D错误.

故选：AC.

三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若圆G：(x-2『+y2=i与圆&：/+),2+4]+6>+〃7=0有且仅有一条公切线,

【答案】-23

【解析】由G：J+>2+4x+6y+〃？=0=>(x+2)“+(j?+3)2=13—,

显然13〉〃Z，G(2,0)C(-2,-3),

又G，q只有一条公切线，所以G，G相内切，

将G点坐标代入圆c,方程知(_2-2)2+(—3)2>1,即在圆a外部，

所以圆G内切于圆。2，

则有IGC2I_J(_2_2、+(_3—0)2=5=713-W-1，

解之得加=—23.

故答案为：-23

13.设椭圆［+与=的两焦点为£,居.若椭圆上存在点P,使

a~b~

8=120。，则椭圆的向心率e的取值范围为.

【答案】件,1)

【解析】设归用=6，|P6|=〃，则加+〃=加，4c2=nr+n2-2mncos120°»

即4c2=(/〃+〃)“一mn,

2a=m+n>2ylmn»即mn<a2»当且仅当，〃=n=。时等号成立，

故4c*=(/〃+〃1一〃〃223at即/之:，<e<\

故答案为：

14.设mwR,过定点A的动直线4：x-my=0与过定点8的动直线

/2:心+y-2m-3=0的交点为P,\M\PA\­\PB\的最大值为.

13

【答案】—

2

【解析】・••直线4：x-〃7y=。过定点4(0,0),

直线4：，〃/+)'—2〃7—3=0,即加(工一2)+)，-3=0,

经过定点8(2,3),

当机=0时，直线4：x=()；

直线/2：)'=3,交点P(0,3),

当〃2Ko时，它们的斜率之积等于1,两条直线垂直，

.•.P4_LPB，•二点户是以A3为直径的圆上，

••.|喇+附2=|4同2=13,

.•.13之2|叫|叫

当且仅当|胡|二|叫时，等号成立，

・•・附•网。

综上可得，|24|・|。3的最大值为一.

2

13

故答案为：—.

2

四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知圆C的圆心在直线工+2〉，-7=。上，且经过点A（l,2）,5（3,0）.

（1）求圆。的标准方程：

（2）求经过点P0,6）且与圆。相切的直线方程.

解：（1）线段的中点（2,1）,直线的斜率阳8=^=—1，

3—1

则线段A8的中垂线方程为丁-1=工-2,即y=x-l,

y=x-\

由广crZ解得X=3,y=2,

x+2y-7=0

因此圆。的圆心C（3,2）,半径〃=2,

所以圆C的标准方程为（1—3『+（y-2『=4.

（2）点C（3,2）到直线冗=1的距离为2,即直线工=1与圆。相切；

当切线斜率存在时，设切线方程为y—6=A（x—1）,即日一y+6-&=0,

由^~、：2,解得左=一二，因此方程为3x+4y—27=0,

J/+14

所以经过点P（l,6）且与圆。相切的直线方程为/=1或3x+4），-27=0.

16.如图，在四棱锥P—48CZ）中，底面A8CQ是直角梯形，NABC=N84O=9（T，

API平面ABC。，A5=BC=2AP=2AD=2,点M、N分别为线段3c和PO的

中点.

（1）求证：AN_L平面/W；

（2）求平面PDW与平面夹角的余弦值;

（3）求点N到平面PBM的距离.

（1）证明：因为底面ABC。是直角梯形，N43C=NB4O=90，所以AD//BC,

因为2AD,M为8C中点，则AO=8W,

乂因为A£>=8M，AD!IBM,且NA8C=NBA。=90，

所以四边形是矩形，则M0_LAr>，

因为AP_L平面A8CD,M£）u平面A3CO，所以AP_LA/O，

又因为AE>cAP=A,AD,4Pu平面PA。，所以MD_1_平面24。，

又ANu平面尸A。，所以AN_LA/£>,

又因为AP=A。，N为PO中点，所以4N_LPO,

又PDcMD=D,且PD,M£）u平面PA〃）,

所以4V_L平面PMD.

（2）解：以A点为坐标原点，A氏人所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐

标系，

A（0,0,0）F（0,0,1）,£>（0,1,0）,8（2,0,0）,M（2J,0）,

丽二（2,1,一1）,而二（（）J0）,A^=l

由（1）知AN_L平面夕所以标=为平面RW。的一个法向量,

设平面PBM的一个法向量为n=（芭y,z）,

nPM=2x+y-z=0z、

则一,令x=l,则z=2,所以无=(1,0,2),

n-BM=y=0

设平面PDM与平面PBM夹角为9,

所以“

xAo

则平面PDW与平面PBM央角的余弦值为

—I11

（3）解：由（2）得BN=—2,—,—

[22

则点N到平面PBM

0,

17.已知椭圆E：三+二=l(f/>Z?>0)的左焦点为F(-2,0),。为坐标原点，过点尸的

a?M

直线/交后于知，2两点，当/与x轴垂直时，|MN|=2&.

(1)求椭圆£的方程；

(2)若直线/的斜率存在且不为0,线段MV的垂直平分线与x轴交于点尸，求点尸横坐

标的取值范围.

解.：(1)由题意知，半焦距c=2,

当/与x轴垂直时，设点”在工轴的上方,

将x=-c•代入方程E：厂4厂=1（〃>Z?>0）得M

所以=殳-二2五，

则2(1-4)=20〃，

解得4=2无或4=一加(舍)，

所以Z?=2,

X2V2

故椭圆E的方程为土+乙=1.

84

(2)如图：

设直线I的方程为x=fny-2(m彳0),

22

与］+、-=1联立得（也2+2））/-4“），-4二0,

J=32（W2+1）＞0,

设点A^（x2,y2）,MN的中点为G（七,%），

4

由根与系数的关系可得，y+K=一一，x%=

m+2m:+2

所以犷晋

4

而=抽）—2二

nr+2

直线MN的垂直平分线GP的方程为y-%=,

令y=。，则Xp=Xo+&=—>

tnm~+2

2/、

因为mwO,所以--e（-l,O）,

即点〃横坐标的取值范围是（-1,0）.

18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架48cO,AOEF的边长都是1,且它们所

在平面互相垂直，活动弹了〃，N分别在正方形对角线AE和80上移动，且EM和DN

的长度保持相等，记£M=ON=a（0<a<0）,活动弹子。在族上移动.

（1）求证：直线MN//平面COE；

（2）。为何值时，MN的长最小？

（3）。为所上的点，求砂与平面QC。所成角的正弦值的最大值.

（1）证明：如图1，在平面尸内，过点M作MG//DE,交AO于点G,连接

NG、MN,

AMAG

因为MG//DE,所以——二一£.

MEGD

E

AM_BN

所以AM=BN,

,~ME~~ND

一一AGBNAM

所以，——=——=-----

GDNDME

所以，GN!/AB.

又ABHCD,所以GN//CD.

因为"Ga平面COE,MGUDE.OEu平面COE，

所以，MG//平面COE.

同理可得，GN//平面CDE.

因为MGu平面MNG,GNu平面MNG,MG\GN=G,

所以，平面MNG//平面CDE.

因为MVu平面MNG,所以直线MN//平面CQE.

（2）解：由（1）可知，MG//DE,AM=AE-EM=五一。，

所以箓二笔‘所以的=AMED6-a

AE

…DNABa

同理可得，GN==F,

DBV2

又平面ABCD±平面ADEF，平面ABC。。平面ADEF=AD，

EDLADfE£）u平面A/）所，所以，平面ABCO.

因为COu平面ABC。，所以EDJLCD.

因为MG//DE,GN//CD,所以MG_LGN.

所以，△MGN是直角三角形,

所以，MN2=MG2+GN2=

V2Y1

a2-6a+\=a-----+一.

22

又Ovav血，所以。=①，即M,N为线段中点时，MN?有最小值;,

22

所以，当4=变时，MN的长度最小，最小值为也

22

如图2,以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则。（0,0,0）,C（0,l,0）,七（0,0,1）,B（l,l,o）,设°伽0,1）,0</2<1,

所以,丽=（1,1,一1）,DC=（0,1,0）,Dg=（Z?,0,l）.

设力=（尤y,z）是平面QCD的一个法向量,

n-DC=y=0

则〈,取x=l,则7=（1,0,-3是平面QC。的一个法向量.

n-DQ=bx+z=0

因为cos（EB,〃）=EB-nh+\

阿M「6X〃2+]

设E8与平面QC。所成的角为巴

则sin。卡s例林石恭

当〃=0时，sin<9=—;

3

、2

〃+1b2+2b+\

当0<人41时，有sin20二

（导Jb、l）3（/?2+1）

2b1_2

=+

3（^+i）r3^+ip.

因为〃+[22，4=2,当且仅当b=即〃=1时等号成立，

10<——<-

所以，/?+->2,入1—2，

b加工

2J/72

sin2<9=

所以，~7r3323-3.

3b+-

lb

因为sin。〉。，所以sinOV.R=巫.

V33

综上所述，所与平面QCD所成角的正弦值的最大值为".

3

19.圆暴是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的

圆，则两圆圆塞相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆C：."2x

+产=o与圆M:（X_3）2+（）」41=9.

（1）求圆。与圆M的根轴/；

（2）已知点。为根轴/上的一动点，过点。作圆C的切线PAP8,切点为A,B,当

俨（.|明最小时,求直线八3的方程；

（3）给出定点G（0,3）,设N,Q分别为根轴和网M上的动点，求|GN|十|NQ|的最小值

及此时点N的坐标.

解：（1）由题圆。的圆心为。（一1,0）,半径为々=1；

圆M圆