基本不等式及其应用（12大题型58题）解析版-高一数学上学期期末专项训练（人教A版）

专题03基本不等式及其应用

1题型归纳•内容导航］

题型1基本不等式求积的最大值（重点）题型7条件等式变形求最值（难点）

题型2基本不等式求和的最小值（重点）题型8基本不等式链的应用

题型9利用基本不等式在恒成立问题中求参数

题型3基本不等式“1”的妙用求最值（重点）

的范围（百点）

题型4二次与二次（或一次）的商式的最值题型10利用基本不等式证明不等式

题型5换元法求最值（常考点）（难点）题型11基本不等式的实际应用（常考点）

题型6两次应用基本不等式求最值（难点）题型12权方和不等式（拓展）（重点）

［题型通关•靶向提分

题型二基本不等式求积的最大值（共5小题）

1.（24-25高一上•云南昭通•期末）已知0<x<g,则函数），=M1-3%）的最大值为（）

A.—B.*7C.-D.

12432

【答案】A

【分析】根据基本不等式，可得答案.

［详解］当0<x<；时，j=Xl-3.r）=-i-3x（l-3x）<y^3，Y+^~3x>=5,

当且仅当3x=l-3x,即x时等号成立，

所以0<x<g时，y=Ml-3制的最大值为，，

故选：A.

2.（24-25高一上•甘肃天水•期末）已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】应用基本不等式求面积最大值即可.

【详解】设直角三角形两直角边分别为4〃，则〃+从=64224b="工32,

当且仅当。=力=4正时取等号，故其面积的最大值是gx（"）111ax=16.

故选：C

3.（22-23高一上•陕西商洛・期末）已知。＞1力＞1,且就=25,则1。&。1。&匕的最大值为（）

A.1B.2C.5D.10

【答案】A

【分析】根据对数函数单调性可判断logW.log，两数均为正数，再由基本不等式计算可求得结果.

【详解】由2＞1可得log4＞0,log，＞0,

所以可得iogaiogj”j=(3署j=(竽j=],

，°gw[og，当且仅当。=〃=5时等号成立;

所以log’alogs〃的最大值为1.

故选：A

4.（24-25高一上•河南郑州•期末）已知。＞0,〃＞。，且3。+7〃=10,则（力的最大值为.

【答案】Q天

【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值.

【详解】由基本不等式可得3a+7b=1022x/^l%,即他4五，

L1

当且仅当〃5=力=15时等号成立，故曲的最大值为2全5

故答案为：言95.

5.（24-25高一上•吉林四平•期末）用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角

的弧度数为.

【答案】2

【分析】根据已知条件及基本不等式，利用弧长公式及扇形的面积公式即可求解.

【详解】设扇形的弧长为/,半径为「，贝U2=2r+/,2=2r+lN2国,

则当且仅当2「=/时，等号成立，

所以扇形面积

当2r=/时，扇形面积取得最大为

4

所以圆心角的弧度数为，=2=2.

rr

故答案为：2.

题型二基本不等式求和的最小值（共3小题）

6.（24-25高一下•内蒙古•期末）看¥的最小值为（）

A.瓜B.2C.6D.24

【答案】B

【分析】将与变形为/+£■，再利用基本不等式求其最小值即可.

1TX~

【详解】因为£芋=/+222而，

x-x

当且仅当一=乌，即x=±逐时，等号成立.

X

所以上W的最小值为2#,

X

故选：B.

2

7.（24-25高一下•广东汕头•期末）己知x>l,%+——的最小值为（）

x-1

A.3B.4C.2\/2+1D.5

【答案】C

【分析】由题意有x+上7=X-1-上v+l,利用均值不等式即可求解.

x-\x-\

【详解】由x>lnx-l>0,所以x+-?-=x-i+_?_+i之2）（x一1）?^-+1=2夜+1,

x-1x-\Vfx-\

当且仅当X-l=M；nx=l+&时等号成立，所以x+2的最小值为2夜+1.

x-\X-I

故选:C.

9

8.（24-25高一上•内蒙古乌兰察布•期末）己知,v>0,贝iJx-3+—的最小值是（）

x

A.4B.5C.3D.2

【答案】C

【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可.

【详解】由题设x-3+\之2H-3=3,当且仅当x=3时取等号，故原式的最小值为3.

故选:C

4

9（24-25高一上•山西大同•期末）函数=h+《>3）的最小值是（）

A.7B.1C.5D.-1

【答案】A

44

【分析】先将/（X）=—；+“变为/x）=—；+x-3+3,然后利用基本不等式求解最小值即可.

x-3x-3

【详解】因为x>3,所以1-3>0,

44/4

所以“%）=——=——+X-3+322J----（x-3）+3=7.

x-3+xx-3Vx-3

4

当且仅当一-=x-3,即x=5时等号成立，所以/*）的最小值是7.

x-3

故选：A

10.（24-25高一上•河南周口•期末）若x>2,则3-1-一二的最大值为______.

x-2

【答案】-1

【分析】变形得到3-%—一==-（x-2）+—1]+1,由基本不等式求出最值.

x-2[_x-2

【详解】3-x一一^=一（工一2）-一^+1=一]（%一2）+」]+1,

x-2x-2Lx-2

x>2,由基本不等式得（x—2）+Tz2j（x—2）-Jw=2,

当且仅当x-2二工，即x=3时，等号成立，

x-2

故3-4———=-（x-2）+———1<-2+1=-1.

x-2Lx-2]

故答案为：-1

题型三基本不等式“1”的妙用求最值（共10小题）

41

11.（24-25高一上呐蒙占呼伦贝尔•期末）若正数〃/满足〃+幼=2,则一+丁的最小值为（）

ah

A.—B.3+25/2C.6D.—!•\/2

22

【答案】B

【分析】利用等量关系和基本不等式可求答案.

【详解】由。+3=2得W+b=l,故±+;=信+!）住+。=3+丝+93+2也,

2abb八2）a2b

当且仅当竺二三，即a=2x/^=4-2上时，等号成立，

a2b

41

所以*+：的最小值为3+2夜.

ab

故选:B.

14v

12.（24-25高一上・贵州遵义・期天）已知任意正实数x,y满足一+-=1,则工+5的最小值是（）

xy2

A.3+272B.4x/2C.5D.3+五

【答案】A

【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式即可求最值.

[详解]因为'+±=1,所以工+§=|^+51（'+3]=[+*+4+2,

x卜2（2人xy）y2x

又x>0,），>。，所以%则由基本不等式可得：

y2x

/£=竺+2+3乜区N+3=3+2及，

2y2xNy2x

当且仅当竺二；,即X=&+1,Y=4+2>/5时，等号成立.

y2x

因此，x+微的最小值是3+2忘.

故选：A.

13.（24-25高一上•浙江杭州•期天）已知。>0,6>0且。+。=1,则16"：油的最小值是（）

an

A.49B.50C.51D.52

【答案】A

【分析】利用基本不等式“1"的妙用方法计算可得.

【详解】因为">0,人>0且〃+6=1,

所一以「b16〃+96016十厂9（壮16+9便Y+325《+方16〃+了9b之25+2行116a+9b=49,

当且仅当?=丝，即〃=3，"==时取等号.

ba77

故选:A

12

14.（24-25高一上•新疆伊犁•期末）已知x>0,y>0,x+2y=2,则一+一的最小值是（）

%V

9

A.-B.9C.4D.5

2

【答案】A

【分析】根据基本不等式求最值口J可得解.

【详解】因为x>0,y>0,x+2j=2,

121/oJ12)1仁2y2x)、1|\。12y9

所以一+_=二(彳+2力—+—=—5+—+——>-5+2/---------=—,

xy2yxy)2\xyJ2(\xy)2

2\，2(o

当旦仅当二二一，即x=y=；时，等号成立，

xy3

故选：A

15.(24-25高一上•江西景德镇•期末)已知函数/(司=2024丫-2024一,+2,若(〃+1)。+1)>0,且

71

f(a-\)+f(b)=4,则告+丁■的最小值为()

a+\b+\

A।2拉,x/3,x/3,242

A.I--------B.I+DCr.I-------nD.I+------

3223

【答案】D

【分析】设g(x)=2024X-2024T,则g(力为奇函数且是增函数，由〃。-1)+/9)=4可得〃+〃=1，即

a+\+b+\=3,再利用基本不等式可得答案.

【详解】设g(x)=2024*-2024-',定义域为R,关于原点对称，

J.(-x)=2024--2024'=-g(x),故g(x)为奇函数:

则f(x)=g(x)+2,

/(口一1)十/(〃)=g(a_l)十g(〃)十4=4,故

g(a-l)=-g(Z?)=g(—Z?)；

因为g(x)为增函数,故。-1=4,即。+6=1,

。+1+〃+1=3;

（。+1）（。+1）＞0,故。+1与〃+1同号，显然它们都是正数

(cz+1+^+l)

a+1b+\3(“+1b+\；

12(b+\)a+\

=-2+1+a+\+^+T

3

=1+亚

3

当且仅当坐士11="1,即匕=3&-4,〃=5-3夜时等号成立；

。+1h+\

故选：D.

16.（24-25高一上•浙江杭州•期末）已知正实数。力满足，+：=2,则为+力的最小值为.

ab

【答案】6

【分析】应用〃1〃的代换及基本不等式求初+〃的最小值，注意取值条件.

【详解】由题设34+。=』（34+加（‘+3）='（6+2+%）2」（6+2、^^）=6,

2ab2ab2Nab

当且仅当a=1/=3时取等号，即3a+〃的最小值为6.

故答案为：6

41

17.（24-25高一上•湖北武汉•期末）己知x>O,y>O,x+y=l,则一;+一的最小值为

x+\y—

【答案】彳9/4.5

【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式得解.

【详解】由x+y=l可得x+l+y=2,

所以士+L4+-,)(2生+区］

X4-I)，2'\x+\y)2(x+1y)

>19

25+2行2

当且仅当4一二2一A+1,即x=1=37时等号成立,

x+1y33

9

故答案为：—

母（24-25高一上•上海金山•期E已知正实数〃，/，满足2"皿，则察的最小值为

【答案】6+4无

【分析】化简可得牛斗二」7+2,结合基本不等式求其最小值.

a+aba+ba

【详解】因为正实数”，力满足2“+〃=a+a+Z?=l,

6a+2b4a+2(a+〃)42「/,、”42、

F----=——厂】一一二----+—=(a+3+a-----+-

a'^-aba(a+b)a+baL\a+ba)

=4++^-+226+2痒6+4在

aa+b

当且仅当(a+4=2/且2a+b=l时，即〃=J5-1,力=3-2应时取等号.

故答案为；6十4夜.

19.（23-24高一上•天津•期末）若实数b>2,且满足2〃+b-5=0,则」■；+丁工的最小值

a-\b-2

为.

【答案】3+2&/2a+3

【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值.

【详解】因为为+〃一5=（）,所以2（〃-1）+9-2）=1,

又实数a>l,b>2,所以4—1>0,〃一2>0

所以-U，=p_+-q[2（af+e-2小2+廿+Q+1

a-\b-2{a-\b-2^v7v）」a-\b-2

=3+小+坐+2、户亘=3+2夜，

fl-1b-2\a-lb-2

b-2_2(a-l)_显

当口仅当(=T=b-2即“22时.等号成立,

2〃+力一5=0b=4i+\

故答案为：3+2&.

20.（23-24高一上•天津•期末）函数），=/-*（。>0,且。制）的图象恒过定点从，若点4在函数

7T14

y=2wsin;x+〃的图象上，加则一+一的最小值为________.

4mn

【答案】6+4案

【分析】由指数函数的性质，确定定点坐标，再代入三角函数，可得2机+〃=1,再利用基本不等式，即可

求解.

【详解】函数y=/T（々>0且〃工1）横过定点（2,1）,

由题意可知,2msin—+n=l,即2〃?+〃=1,

2

14(\41小、/〃.In8/zz

则mil—+—=—+—x(2/〃+〃)=6+—H>6+2.-----=6+4^2,

)nn\mn)mn\tnn

当2上时，即卜2勺,得吁”2-&时，等号成立,

ina2m+n=\2

所以工+士的最小值为6+4上.

mn

故答案为：6+4&

题型四二次与二次（或一次）的商式的最值（共3小题）

21.（24-25高一上•广东江门・期大）若x>0,则21—3工+1的最小值是

x

【答案】2&-3/-3+2夜

【分析】依题意利用基本不等式计算可得.

【详解】因为x>0,

所以2A~-3.V+1=2x+L-3>2j2x---3=2y/2-3，

xxHx

当且仅当2x=-,即x=—时取等号，

x2

故答案为：2&-3

22.（25-26高一上•江西,月考）已知x<-l,则『7+14的最大值是（）.

x+\

A.-11B.-8C.5D.8

【答案】A

【分析】化简变形利用基本不等式计算即可.

【详解】易知金7+14=（»1）2-3"+1）+16i+-_3.

X+\X+lX+1

因为xv-1,所以X+1V0,所以一（x+1）>o,

则川+鲁=+（他+卜焉卜，

当且仅当一（4+1）=-至，即大=一5时，等号成立，

X+I

故工+1+二-34-11,则---+14的最大值是_1].

x+1X+1

故选：A

23.（23-24高一下•重庆沙坪坝•月考）已知正数KN满足犬+2），=1,则二±2的最小值为（）

肛

A.&B.2及C.+D.2及+1

【答案】D

【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.

【详解】正2=立空吆1=立更1空.=,+2+1,因为x>0,y>0,故土>0,幺>0,

xy肛岁yxyx

则三十包+藤2，反豆+1=2a+1,当且仅当土=空/+2丁=1,也即工=&-1,），=1—也取得等号,

yx\yXyX2

2

故12的最小值为2人+1.

故选：D.

题型五换元法求量值（共8小题）

32

24.（23-24高二下•浙江丽水・期天）已知—，—--=«，则2f的最小值为

【答案】y

31

【分析】设x+y=",x-y=bf再根据=+结合基本不等式求解即可.

【详解】设x+y=〃，x-y=〃，则4=竽。=4，

因为x>y>0,故。,力>0,1/11]2x4-y=«+/?+

222

G2,31.I.,/323b6cl]

故z1+

40ab)

[li+6>/2

>-11+2

22

当且仅当子午即缶=力，结合污=1可得4=3+0，八3夜+2,

即工+），=3+&,x-y=3x/2+2,户如抖，），=匕普时我等号.

故答案为：U1逑

2

25.（25-26高一上•重庆•期中）已知正实数a,b满足5a2+4ab=1+b2,则12,+8/-〃的最小值

是.7

【答案】；

m+n

a=----

【分析】先对已知条件变形因式分解，令〃i=5a—b,n=a+b,解出’然后换元化简利用基本不等

,5/1-tn

b=-----

6

式求其最值.

【详解】对已知变形有5/+4H-/印因式分解得设54—》=〃?,〃+》=〃，则〃〃7=1,

因为。，〃都是正实数,

m+〃

a=----_

所以">O,〃?=L>o,联立方程组.5。一/?二m,6,因为人〉。所以&p>o,故〃>7%

,解得

II,5/1-m65

b=-----

6

所以1248*/=]2（*丫

I6）66I6J

r（r+2mn+n2-2m'+Smn+1On2m2-1Omn+25n~3m'+66mn+271

=-------------1----------------------------------=-----------------

393636

=近包+与坦亘+]=2+以工当且仅当吁6〃=立时取最小值.

36636636633

故答案为：!

26.（2025•浙江•一模）已知实数。力,c满足〃+8+c=l./+从+/=|,则的取值范围是________

+1

【答案】

【分析】由题干中的等量关系化蔺所求代数式，根据参数的取值范围，可得答案.

【详解一】一但士—一,则告=芸=|一%，

2。一+1〃一+1a~+\

又从+°2之^£11,得—wavi,

23

设4+l=fw|,2,由函数y=x+2在停,也）上单调递减，在（加,2）上单调递增，

则/+2e[2夜由原式为，则所求范围为，=叵[.

t3/+--225

/LJ

故答案为：上咨].

27.（25-26高一上•上海•期中）已知对任意实数%二次函数/（司=加+云+建0恒成立，且。<〃，则

的最小值为____.

b-a

【答案】3

【分析】先由二次函数恒成立得到少，再令&二1，将所求分式变成关于/的分式，然后利用基本不等

4。a

式可求.

【洋解】因为对任意实数1，二次函数/（”=依2+小+。20恒成立，

,2

贝ij〃>0,且△=/-4（/c<0=>c>—,

贝ija+b+c>"+"+4"_4+4/+J1(-)+2+6

N3'

b-aat-a4(/-1)417t-\

当且仅当"1='97=，=4=h2=4时取等号.

t-\a

故答案为：3.

28.（25-26高一上•重庆•期中）已知正实数。、〃满足：a+3+c出=6,则必的最大值为,若实数

c>0,则互+丝£+Mc+」色的最小值为____.

。+2b+\c+\

【答案】212

【分析】对于第一空，利用基本不等式，再利用换无法令，=，石，再解一元二次不等式即可得解：对于

第二空，先将乃+a〃=6整理为（a+2）S+l）=8,再利用换元法令、=a+2,y=〃+1,将

心+丝+〃机•整理为（±+2+2）C,再利用基本不等式求得该式的最小值为4c,再运用配凑法与基本不

。+2b+\x>'

等式求得4c+」之的最小值即可得解.

c+1

【详解】对于第一空：6=«+2/?+ab>2\!2ab+ab>当且仅当〃=2/?时等号成立.

令，=疝1>0,则622x/i^+ab可化为“+2及/一640,

解得0<区&，则/正K&，ab<2,当且仅当。=2力=1时等号成立，故他的最大值为2；

对干第二空：。+»+，〃=6可整理为（。+2）（力+1）=8,

令〃+2=_r(x>2)./?+1=)，()>I),贝1」岁=8.〃=工一2,〃=y-1.

a2c2b2c,(x-2)22(v-1)2,……

----++abc=c[r+—:-----+(x-2)(>'-l)]

4+2〃+1-----------xy

=c(x+—4+2y-4+—+x)?-x-2y+2)=c(­+-+2)>(2+2)c=4c,

xyxy孙

42x=4(a=2

当且仅当一=一，即r时，即八।时，等号成立，

xy[y=2[/?=1

a2clb2c,।.a2c2b2c.16、“16

即nn----+----+abc淑s小值为4c,即nn----+----+abc+---->4(?+----

a+2b+\4+28+1c+1c+1

又因为4。+-^-=49+1)+至-422/4((：+1).至-4=12,

c+1c+1Vc+l

当且仅当4(c+l)=二，即c=l时，等号成立.

c+1

a=2,,

综上，当且仅当卜=1时，立+迫+Hc+也取到最小值12.

.a+2b+]c+1

c=1

故答案为：①2；②12.

21

29.（25-26高一上・江苏扬州•期口）已知实数0＜a＜2,则士的最大值是_________,

a-2a

需6的最小值是.

【答案】■-近4

2

21f?IA

【分析】空一：化简「--=--+一，再利用“1〃的代换结合基本不等式求解即可；

a-2aaJ

/+8a+161।/1jx

空二：令，=a+4（4＜f＜6）,换元可得（]+2a）（3—a）=_2+且_49，再令工=；（不＜犬＜工），可得

tr

/+8+161_______

（l+2a）（3i）=_491T结合二次函数的性质求解即可・

【详解】由0＜。＜2,则2-。＞0.〃＞。,

当且仅当者-二三，即。=26一2时等号成立,

2-〃a

则2—1.的最大值是一1—正；

a-2a2

.2+84+16_(4+4「

”(l+2a)(3-a)(1+2^)(3-«)

令/=〃+4(4<i<6),则〃=/一4,

,+84+16=("4)2=)

(l+2a)(3-a)(1+2.)(3-a)(1+2.8)(3T+4)

_z2_1

一一2八+21/—49-/上2149,

一乙十-----T-

/、/+8a+16111

2

令x=_7<x<_,则（1+2〃）（3_。）_2+2l_49-49X+2IX-213V1»

八6纭~77+4

所以工=三时，；：七:6取得最小值）

故答案为：4.

30.（25-26高一上・安徽六安・期口）已知〃，力>0,“+〃=1,则」1+产二的最大值为.

【答案】|

••

【分析】利用条件将「二+一1变形为令t=3—2ab（^<r<3）,则原式可化为

_1_5「5）

-5利用对勾函数y=f+±在/£不3上的单调性求出最小值，即可得解.

/4---Zf\_2）

11a2+\+b2+\a2+b2+2

【详解】cJ+1Z?2+1(f/2+1)(Z?2+1)a)/+(/+〃)+l①，

由4+〃=1得(“+6产=。2+方；!+2〃。=1,jlllja2+b2=1-lab@»

将②代入①可得士+Q=③.

a-+\/?'+1a~b2-2ab+2

令l=3-2ab,则岫=

因为土？=土吆］=i（当且仅当〃=〃=:时等号成立），所以

2{2J422

/_4/_4

=

所以③可化为（3一）［,-『-力+5=/+5_2,

―（3-r）+2t

5「5、

由对勾函数的性质可知函数>=/+'在飞不3上单调递增,

t2

55l+-=-

所以函数）在f时取到最小值252,

/25

4,448

-------s-----=—=—

11Q

所以"+后的最大值为，

故答案为：5

31.（25-26高一上•湖北武汉•期口）已知'=则一二一4的最大值为_______.

Xy2x-\2x

【答案】1

【分析】消去丁后借助换元法可用/表示「二-三，再对/分类讨论后利用基本不等式计算即可得解.

2x-l2X

1|Jjv=I="

【详解】由一+—=1,则一=1一一，即〉，1~x-\,

xyyxI——

x

4_y_418x-8-2x+1_6x-7

则2x-\~2x~2x-\~2x-2~（2A-1）（2X-2）-（2x-l）（2x-2）'

1X八

.v=---=---->0…一

由".1x-\»x>（）,故人一1>0,即x>l,

1--

令1=6工-7>-1,则工=上乙

6

4y_6x-7_t9/

有2x-l2「（2x-l）（2x-2）［殍r+5t+4,

当一1<闫）时，-------<0；

V+51+4

9t9,99

1

当00时，产+夕+4+旧+54+59

当且仅当，=2,即X=1,y=3时，等号成立；

综上可得，的最大值为1.

2,v-12x

故答案为：1.

题型六两次应用基本不等式求最值（共2小题）

32.（25-26高一上•江苏扬州•期口）若正实数x,y,Z满足2尸+_/+z~一4,则的最小值为（）

xyz

A.2B.2V2C.2比\D.3

【答案】B

2

【分析】由条件可得2+z=生土上，可以得到出2r+v

「，再根据基本不等式求解即可.

2-2xyz（2-z）xyz

【详解】由条件可得2X2+J2=4-Z2=>2X2+/=(2+z)(2-z),

222x2+y2

所以zw2,所以2+Z=2『])L,所以z+2_二.2.5+2,

2-zXyzxyz(2-z)xyz

所以新芳二之喜平毕二=言与，所以(2—Z)Z”「(2_Z)+ZT=2&,

(2-z)xyz(2-z)xyz(2-z)xyz(2-z)z---^―

当且仅当夜x=y,且2-z=z,即尸等，y4,z=l等号成立.

故选:B.

33.(25-26高二上•陕西西安•期内)已知正数m人满足〃+。=1,ceR,则丁上++4c2的最

bc~+babc+ab

小值为.

【答案】8V2-4

【分析】由。>0,b>0,。+〃=1平方得到/+2c加+从=|,代入目标式化简变形通过两次运用基本不等

式计算即可求出最小值.

【详解】解：由。+〃=1,+2ab+b2=1>

因为。>0,/?>0,

]a2+2ab+b2

所以++4c2

abc2+abab

舟+4d+l)-4N2j岛x41+l)-4=8&-4,

9ab

“"，即b=3。

当且仅当《=0时取"等号

-=4(C2+1)

c'+1'

所以当向时送r嬴%+它的最小值为8向4.

故答案为：8人-4.

题型七条件等式变形求最值（共7小题）

34.（25-26高一上•广东深圳•期口）若正数凡〃满足2"=。+〃+12,则帅的最小值为（）

A.9B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】由为〃=a+力+12得到为〃-12=a+〃，直接利用基本不等式a+）22疝求解即可.

【详解】•,•勿〃=。+〃+12,«>0,ZJ>0,：.2ab-\2=a+b之2荻,;.2ab—2疝一12之。，

ab—\[ab—6S0»•,•（x/^-3）（\/cib+2）>0,/.\Jab>3»,

当且仅当。=〃时取等号，叩人口，解得a=〃=3,

二.曲的最小值为9.

故选:A.

35.（25-26高一上•辽宁沈阳・期口）己知x>l,>>1,且p-x=y+l,则x+2），的最小值是（）

A.2上+3B.5C.472D.7

【答案】D

【分析】先根据已知条件得出X，）的关系，代入％+2），后变形构造基本不等式;，最后利用基本不等式求和

的最小值.

【详解】Qx>i,y>l,且Ay-x=），+l,

:.x+2y=^-+2y=^y~^+2+2y=3+—+2（y-\）>3+2/--2（y-l）=3+4=7,

y-\y-\y-\yy-1

当且仅当二7=2（y-l）,即x=3,y=2等号成立，

+的最小值为7.

故选：D.

36.（25-26高一上•河北邯郸•期口）已知且V+V+t+yn*则x+y的最小值与最大值之和

为（）

A.-5B.-4C.-3D.-2

【答案】D

【分析】应用基本不等式得（x+y）2+2（x+），）-840求X+），的范围，注意端点值的取值条件，即可得.

【详解】由9+丁之!£!2^,有（£L±+（X+）,）K4,有（x+J+2（x+），）—8K0,得-4"+），W2,

22

当x=y=l时,x+y=2,

当光=），=-2时，x+>'=-4,

所以x+y的最小值为T,最大值为2,

所以x+y的最小值与最大值之和为-4+2=-2.

故选：D

37.（25-26高三上•安徽•月考）已知实数小儿c满足5/+6+。2=4,则。（2"+。）的最大值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】灵活应用基本不等式即可求解.

【详解】由基本不等式可得：。（28+c）=2"+“C«4"+"+=5'厂+"+1=2,

222

当且仅当2a=b,a=c时等号成立，可取a…叵,b=,

55

所以a（2b+c）的