江苏省南京市六合区名校联盟2026届第一次调研数学试题（解析版）

第1页/共1页2026届名校联盟第一次调研命题人：侯伯源审题人：张名非一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知全集，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据补集、交集的定义，即可得答案.【详解】由题意，所以.故选：A2.复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可.详解】，所以复数在复平面内对应的点为，故选：B3.已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用累加法，结合题意可得，由能推出；举出反例，可得“”推不出“”.由充分、必要条件的定义得出答案.【详解】由得：，，，……，，不等式左右两边分别相加，得，消去两边相同的项得，，所以；取数列满足，，，且对且有.满足，，但.不满足.即“”推不出“”.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知函数，则它的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得.【详解】由题设，函数的定义域为，且，所以为奇函数，排除B、D，当时，，故，排除C.故选：A5.已知抛物线，过其焦点的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义求出的坐标，然后求出直线的斜率，最后利用点斜式求解即可.【详解】由题意如图所示：抛物线的焦点为，准线方程为：，设到准线的距离为，由抛物线的定义得：，又，所以，解得：代入中得：，所以，则直线的斜率为：,所以直线的方程为：即，故选：B.6.，，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两角差的正切公式计算.【详解】．故选：D.7.等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值.【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，则：，，，外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为，故外接圆方程为：．又因为，其中，，则．将代入圆的方程得，即，，∴，解得，当且仅当时取得的最大值2．故选：B.8.已知，，则（）A. B. C. D.，但和的大小关系无法确定【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性证出且，得出结论即可.【详解】由于，所以，因此，又因为，因此，即，所以.故选：B.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知的面积为且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】运用三角形面积公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.【详解】，，因为，所以或．故选：CD10.函数满足，，则下列结论正确的是（）A.B.的周期为6C.D.的图象关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】赋值可判断A；赋值，利用递推公式可推出周期，可判断B；令，可得的范围，可判断C；举反例可判断D.【详解】由

得，代入得，A错误；令

得，用换

得，两式相加得，即，用换得，即，用换得，所以

周期为6，B正确；令

得

，即

，由于，所以，因此，故C正确；已知，，对赋值得：令得，令得，令，若关于

对称，则

，但

，，不相等，故D错误.故选：BC11.已知双曲线的两条渐近线分别为为双曲线上一点，则（

）A.越大，则双曲线的离心率越大B.过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条C.点到两渐近线的距离之积为定值D.过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点【答案】ACD【解析】【分析】本题A主要考查双曲线的离心率与渐近线的关系；B考查过双曲线上的一点的直线与渐近线的关系；C利用点到直线的距离求解即可；D根据直线与双曲线联立，求出交点坐标后，利用中点坐标验证即可。【详解】A,因为双曲线的离心率公式：,所以越大，则双曲线的离心率越大，故A正确；B，过点与双曲线仅有一个交点的直线应该有三条，一条是过点的切线，另两条是与渐近线平行的直线，故B错误；C，设为双曲线上一点,代入方程得,去分母得，又因为渐近线为,所以点到两条渐近线的距离分别是,所以距离之积,显然是定值，故C正确；D，设,所以过点的切线方程是,联立切线与渐近线方程可得交点,所以MN的中点坐标=,故D正确;故选：ACD三、填空题（每小题5分，共15分）12.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____．【答案】164【解析】【分析】运用总体样本均值公式进行求解即可.【详解】总样本的平均数为；故答案为：164.13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．【答案】【解析】【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解.【详解】由函数，可得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，又由函数，可得，设曲线的切点为，则，解得.故答案为：.14.已知数列满足，，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证；详解】由，当时，，当时，，两式相减，得，即，所以，所以，所以，由于时，不满足上式，所以.故答案为：.四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分)15.在中，角所对的边分别为，且,,．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得，结合条件求出的正弦值，利用正弦定理即可求出的值；（2）利用和角的正弦公式求出的值，再由三角形的面积公式计算即得.【小问1详解】由，得，因为，所以，所以，则，因为，所以，由正弦定理，，因为，则；【小问2详解】因为，所以，则.16.已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性．【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；（2）求导，对参数分类讨论即可.【小问1详解】若，则，，所以，，故在处的切线方程为，即．【小问2详解】因为，且，当时，时，时，所以，在上单调递减，在上单调递增；当时，时，时，时，所以，在、上分别单调递增，在上单调递减；当时，时恒成立，故在上单调递增；当时，时，时，时，所以，在、上分别单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在、上分别单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在、上分别单调递增，在上单调递减．17.在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】1）利用勾股定理证明垂直，再结合面面垂直的性质定理可证明线面垂直；（2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可.【小问1详解】在矩形中，，，为的中点，所以，所以，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．【小问2详解】取的中点，的中点，连接，则，所以平面，由题可得，所以，所以两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则，取，得，，所以．设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.设，，为数列的前项和，令，，．（1）若，求数列的前项和；（2）求证：对，方程在上有且仅有一个根；（3）求证：对，由（2）中构成的数列满足．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解；（2）求导得函数在上是增函数，结合零点存在定理即可得证；（3）一方面由结合上单调递增可得，即；另一方面通过放缩、以及裂项相消可得，由此即可得证.【小问1详解】若，，则，则，，，；【小问2详解】，，故函数在上是增函数．由于，当时，，即．又，，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足．【小问3详解】对于任意，由中构成数列，当时，，．由在上单调递增，可得，即，故数列为减数列，即对任意的、，．由于，，

，，用减去并移项，利用，可得．综上可得，对于任意，由中构成数列满足．19.有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测．若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）．（1）若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；（2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；（3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设小组中有酶的人数为X，依题意，可知，分别求出与，利用条件概率公式即可求出恰有2人有酶的概率；（2）设每组检测次数，则易得，求出其分布列和数学期望，进而可求得总