概率论与数理统计 教案 2.3多维离散型随机变量及其联合分布列

《概率论与数理统计》教学设计方案PAGE理论2课时2.3多维离散型随机变量及其联合分布律1.知识与技能目标（1）理解多维离散型随机变量的概念；（2）能理解多维离散型随机变量分布列的概念。2.能力与思维目标（1）通过案例导入，使学生明白为什么要学习多维离散型随机变量；（2）通过典型案例的探究与讲解，使学生掌握多维离散型随机变量联合分布律的计算；（3）将二维离散型随机变量与一维离散型随机变量进行比较，让学生能理解知识之间的关系，更好的构建知识体系（4）通过对典型案例的探究，使学生掌握用统计软件Python实现计算多维离散型随机变量联合分布列。3.情感态度与价值观目标通过具体的例子，使学生体会到随机变量及其分布函数来源于实践又服务于实践，培养学生运用随机变量解决实际问题的能力，从而增强其学习本课程的兴趣。二维离散型随机变量的联合分布函数；二维离散型随机变量的联合分布列；多维离散型随机变量的联合分布列思政元素融入[情景与案例1]引例某汽车公司在汽车生产过程中平均1分钟生产1辆汽车，其一次良品率为95%，每条生产线的产品质量相互独立，其中三条关键零部件生产线的次品率如下：表2.1汽车关键零部件生产数据零部件发动机变速箱轮胎生产速度1台/分1台/分4条/分次品率0.2%0.1%0.3%思考：1.影响汽车良品率的因素有哪些？2.如何衡量多因素对结果的概率影响？基本概念：知识点一（数字人视频脚本）二维随机变量定义及其分类：在上一节同学们详细学习了一维随机变量，但往往生活中很多现象所受到的影响因素不止一个，这时我们就需要多维随机变量来帮助描述。比如说：人们的体感温度不仅会受到天气温度的影响，还有空气湿度的影响，此时温度和湿度就成了在统一样本空间的两个随机变量。由此，我们给出二维随机变量的定义：定义2.8.设E是一个随机试验，其样本空间为，若与是定义在同一样本空间上的两个随机变量，则称为上的二维随机变量或二维随即向量，简记为（X,Y）。知识点二：二维离散型随机变量与一维随机变量一样，二维随机变量也有两种类型：离散型和连续型。由一位离散型随机变量的定义类比可得二维离散型随机变量的定义。定义2.9若二维随机变量（X,Y）的所有可能取值是有限对或可列无穷多对，则称（X,Y）为二维离散型随机变量。设（X,Y）的所有可能取值为，则称取各对可能值的概率，为的联合分布律或联合分布列．也常用表格来表示：XYX…………由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个基本性质：非负性：，；规范性：．知识点三：多维随机变量的定义定义2.10由二维随机变量的定义可以类比得出n维随机变量的定义（n>2）设E是一个随机试验，其样本空间为，若,,…，是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称(,,…，)为上的n维随机变量或n维随即向量，简记为（X1,X2,…，Xn）。学生在学习通上观看视频，思考知识点一：二维随机变量的定义知识点二：二维离散型随机变量的概念及其分布列。知识点三：多维随机变量的定义与分类教学环节主要教学内容学生活动安排一、反转课堂，帮助学生绘制知识线（共85分钟）1.二维随机变量2.二维离散型随机变量分布列3.二维随机变量分布函数概念与性质4.二维离散型随机变量的分布函数向学生展示[情景与问题1]案例，结合案例，提问学生：[情景与案例1]引例某汽车公司在汽车生产过程中平均1分钟生产1辆汽车，其一次良品率为95%，每条生产线的产品质量相互独立，其中三条关键零部件生产线的次品率如下：表2.1汽车关键零部件生产数据零部件发动机变速箱轮胎生产速度1台/分1台/分4条/分次品率0.2%0.1%0.3%1.你能举出其中所蕴含的一些二维随机变量吗？（课前知识点一）2.你能求出以生产两分钟（发动机次品个数X，变速箱次品个数Y）为二维随机变量的概率分布吗？（课前知识点二）3.你能求出第二问中？4.你能举出其中所蕴含的一些多维随机变量吗？（课前知识点三）5.你能求出生产1分钟（发动机次品个数X，变速箱次品个数Y,轮胎次品个数Z）为三维随机变量的概率分布吗？1.根据案例与定义，我们可以发现：（每分钟生产的发动机是否合格，每分钟生产的变速箱是否合格）可以看成是一个二维随机变量，可记为（X，Y），其中X=0,1（0代表发动机不合格，1代表发动机合格），Y=0,1（0代表变速箱不合格，1代表变速箱合格）。还有很多，请同学们积极举例回答。2.要求生产两分钟（发动机的次品数X，变速箱的次品数Y）这个二维随机变量得分布列，首先要确定（X,Y）的所有取值。可知（X,Y）的取值是有限个，可列出为（0,0），（0,1），（0,2），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）共9对，所以（X.Y）为二维离散型随机变量。要想写出其分布列，那就得求出每一对可能值对应的概率。因为每条生产线的产品质量相互独立，根据独立性可知P(AB)=P(A)P(B)，所以P(X=0，Y=O)=P(X=O)P(Y=O)=0.99820.9992=0.994012988004；P(X=0，Y=1)=P(X=O)P(Y=1)=0.99820.9990.001=0.001990015992；P(X=0，Y=2)=P(X=O)P(Y=2)=0.99820.0012=0.000000996004；P(X=1，Y=O)=P(X=1)P(Y=O)=0.9980.0020.9992=0.003984019992；P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=0.9980.0020.9990.001=0.000007976016；P(X=1，Y=2)=P(X=1)P(Y=2)=0.9980.0020.0012=0.000000003992P(X=2，Y=O)=P(X=2)P(Y=O)=0.00220.9992=0.000003992004P(X=2，Y=1)=P(X=2)P(Y=1)=0.00220.9990.001=0.000000007992P(X=2，Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=0.00220.0012=0.000000000004用表格表示即：XYX01200.9940129880040.0019900159920.00000099600410.0039840199920.0000079760160.00000000399220.0000039920040.0000000079920.0000000000043.由分布列可知，=P(X=0，Y=O)+P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=O)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=O)+P(X=2，Y=1)，即分布列的前两列。跟一维随机变量一样，我们也可类比得出二维随机变量的分布函数。定义2.11对任意实数，，两个事件与同时发生的概率称为二维随机变量的联合分布函数．联合分布函数的几何意义：联合分布函数的值就是随机点落在区域D内的概率。定理2.3任一二维联合分布函数必具有如下四条基本性质：单调性分别对或是单调不减的，即对于任意固定的y，当时，有；对于任意固定的x，当时，有．有界性对任意的和，有，且对于任意固定的y，，对于任意固定的x，，，．右连续性对变量x，y都是右连续的，即，．非负性对任意的，，有对于二维离散型随机变量而言，设二维离散随机变量的分布列为，则有二维离散型随机变量的分布函数为，其中和式是对一切满足，的，来求和的．练习1：已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4件,（1）求其中一等品件数X与二等品件数Y的联合分布列。（2）求F(2.5，1)解：(1)由于二维随机变量每个概率值均为两个事件同时发生的概率，所以通常情况下需要用乘法公式进行计算：（2）4.案例中的每分钟生产的（发动机次品个数，变速箱次品个数，轮胎次品个数）这就是一个三维随机变量，若还有其他因素，则可以构成更多维的随机变量。5.你能求出生产1分钟（发动机次品个数X，变速箱次品个数Y,轮胎次品个数Z）为三维随机变量的概率分布吗？生产一分钟，则X的取值为0或1，Y的取值为0或1，Z的取值为0,1,2,3,4。因为三条生产线之间相互独立，且每一个变量均服从二项分布，所以（X,Y,Z）的联合分布列为：其中i=0,1;j=0,1;k=0,1,2,3,4实操Python实现计算统计量、可视化数据分布学生通过学习通抢答问题1-3。教师引导学生思考问题4-5学生通过学习通抢答问题，教师判断学生的回答是否正确，并对学生的回答进