四川绵阳南山中学2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含解析）

数学试题本试卷满分150分,考试时间120分钟注意事项:1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第1卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣x2A.{−2}B.−2,2.已知命题p:∀x∈R,x+A.p和q都是真命题B.¬p和qC.p和¬q都是真命题D.¬p和¬3.在空间中,下列命题正确的是()A.垂直于同一直线的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直D.若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行4.若m,n,p,q∈ℕ∗且m+n=pA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.已知二项式1x−ax5的展开式中所有项的系数和为32,若X∼Nμ,4,且A.-1B.326.已知三个平面向量a,b,c两两的夹角相等,且满足a=b=c=1A.−cB.2cC.c或−2cD.−7.若fx=xA.a+b<0B.ab8.已知a∈R,不等式tan2π4x−2a+2tanπ4x+a2+A.1014B.1013C.507D.0二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设函数fx=13x3−A.fB.fxC.fxD.若fx在−2,a10.设A,B分别为随机事件A,A.PB=PAPB∣AC.PABC=11.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:xxA.曲线C是某个函数的图象B.过点0,1可作两条直线与曲线CC.过曲线C上一点P作y=x与y=−x的垂线,垂足分别为A,B,则四边形D.曲线C上存在两个不同的点M、N,使得线段MN被点E第II卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知i是虚数单位,复数1z=2+i13.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,若α∈π3,2π314.已知直线l:x−1=0与圆O:x2+y2=1相切于点T,A是圆O上一动点,点P满足PO⊥ OA,且以P四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求b的值；(2)若D是BC边的中点,求AD的值.16.(本小题满分15分)在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时,导演对机器人下达了7个动作指令,机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析,以ξ表示抽取的指令中成功完成的个数.(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为p,若该机器人成功完成指令的概率为0.8,求p的值;(3)在排练过程中，记录了机器人完成某个特定动作的练习次数与所需时间(秒)的数据，如下表:练习次数x24568完成时间y87654且y关于x的线性回归方程为y=a−0.7x17.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线E:x2+my2=mm≠0(1)判断曲线E与直线l的位置关系,并证明;(2)当m=2时,直线l与直线y=2,y=−2分别交于A,B两点.设△OAM与ΔOBM的面积分别为18.(本小题满分17分)已知函数fx=x−(1)当n=1时,求函数fx的单调区间及曲线y=fx(2)当n≥2(i)证明:fx在R(ii)设极小值点是yn,证明:k19.(本小题满分17分)在如图所示的圆柱中,AB,DC分别是下底面圆O1、上底面圆O2的直径,AD,BC是圆柱的母线,AB=4,BC=2.过直线BD且与平面ABCD垂直的平面记为α,平面(1)求点A到平面α的距离；(2)如图，设E为底面弧AB上的动点，求平面DO1E与平面(3)将圆柱沿母线BC剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中，以D为原点，以C1C2,AD的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,求数学参考答案一、选择题题号1234567891011答案DBCBCDDAABDABCAD1.D.∁RA={x∣x2−2x2.B.当x=0时x+1>1不成立,所以命题p是假命题,显然命题3.C.(成都一诊第6题)对于A:空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行、相交或异面,错;对于B:空间中平行于同一直线的两个平面,可能平行或相交,错;对于C:若一个平面经过另一个平面的一条垂线,根据面面垂直的判定定理知这两个平面互相垂直,对;对于D:在长方体ABCD−A1B1C1D1中,A1,B1,C三点到平面AB4.B.由等差数列的性质知必要性成立,数列:1,5,3,7满足a1+a4=5.C.令x=1,得1−a5=32,解得a=−1,所以X∼Nμ,6.D.(必修第二册P61第13(6)题改编)当三个平面向量a,b,c两两夹角都为0时，显然a+b在当三个平面向量a,b,c两两夹角都为2π3时，因a=则a+b在c上的投影向量为a+b⋅7.D.令gx=x−1所以gx在0,+∞上单调递增,注意到g1=1−11−ln1=0,因此gx在0,1内,gx<令hx=aex−1+b−1x>0,则hx在所以hx在x=1处取得零点,即h1=又因为a<0,那么由a+b=对于A:因为a+b=1>对于B:a<0,b对于C、D:因为a2+b2=a2+1−a2=2a2−2a+1=2a−18.A.因为tanπ4x−a因为函数y=tanπ4x的周期为4,先考虑一条直线注意到在一个周期(0,4]内,可能存在的整点有1,3,4,可得①当t=−1时，x=3+4k，②当t=0时，x=4+4k，③当t=1时，x=1+4k，再考虑直线y=a与y=a+2当−2<a<0时,则可能−1也可能0,1∈a,a+2,就有506当−3<a≤−2时,−1∈a,a+2,就有故C可能;而当a≤−3或a≥1时,{−1,0,1}中没有元素∈a,a9.ABD.对于A:由fx=13x令x=−2,得f′−2=对于B:由A知fx=13x3−12x2−2x,则f′x=x2−x−2=x+1x−2.所以,当x∈(−∞,−1)和2,+∞时,f′对于C:fx=1由2x2−3x−12=0⇒x对于D:f−1=13×−13−12×−12−2×−1=76,令76=13x10.ABC.(选择性必修第三册P53第6、10题改编)对于由全概率公式得,PB=PAPB对于B,PB∣A=那么PA∣B=PAB对于C,PA⋅PB对于D,PB∣A表示在A发生的条件下B发生的概率,PB∣A表示在A发生的条件下B发生的概率，两者之和不一定为1，例如:设A为“掷骰子点数为偶数”，A为“掷骰子点数为奇数”，B为“掷骰子点数大于2”,则PB∣A11.AD.xx−yy=4⇒x点0,1没有与曲线C当点P在一、三象限时,点Px,y到y=x与y=−x的距离之积为x−y2×x+y2=x2−y22=2,则四边形OAPB面积为2.当点存在过E3,2的直线l:y=32x−52与C在一象限交于故选AD.二、填空题12.1513.114.P−1,12.15.因为113.1.由单位圆可知,当α与角β的终边关于y轴对称时,cosβ因为α∈π3,2π3,所以α2∈π所以cosα那么cosα2+cosβ在t∈1214.P−1,2设Px,y,则x≠0,直线l:x=1与圆O以P为圆心,PA为半径的圆恰与l相切,则可得x−化简可得y2=−2x,且再设Px0,y0则cos∠PTO=由于对勾函数y=x+1xx<0在x∈−∞,−1上单调递增,在x∈−1,0上单调递减,所以当x0=−1时,x0+1x三、解答题15.(1)已知asinB=3bcos得asinB=bsinA得tanA=3，由0<A<π，得因为c=6,a=则7b2=b2+62−(2)因为2AD所以4AD16.(1)由题意知随机变量ξ服从超几何分布,其中N=7,M=5,n=4,且ξξ234P2471解法一所以ξ的数学期望Eξ解法二根据超几何分布的期望公式知Eξ(2)(一轮《创新设计》大本P271例2改编)记“下达的动作指令表述清晰”为事件A，记“下达的动作指令表述模糊”为事件B，记“机器人成功完成指令”为事件C.由已知得,PC因为PC所以0.9−(3)x=因为y=a−0.7x经过点5,6,所以当x=10时,y=9.5−717.(1)由x0因为x02+my所以Δ=4m2y02−4m2(2)解法一设Ax易知,当x1=x2当x1≠x2时,不访设x2联立x0x+2y0y−2=联立x0x+2y0y−2所以S1OA故S1综上:S1解法二不妨设Ax易知,当x1=x2当x1≠x2联立x0x+2y0联立x0x+2y0y−2若x1=0,则tan∠AOM=2,tan∠BOMtan∠AOM=2,tan∠BOM同理,当x2=0时,当x1x2≠0时,则kOA=y1x所以tan∠AOM=kOA−kOM1+kOA⋅kOM=x018.(1)当n=1时，可得当x>0时ex−1>0;当x<0时ex−1<0因f0=−1,f′0=0,曲线y(2)(i)f′令f′′′x=x+3−nex>0⇒x>n−3当x→−∞时,f′′x→−1,所以存在x0∈n−2,n−1使得f又因为f′n−1=−n−1<0,f′n=en−又因为f′0=1−n<0,当x→−∞时,f′x→+∞,于是f′x综上:fx在R上有两个极值点xn,yn(ii)由上知,yn>n−1k19.(一轮《创新设计》大本P197典例改编)(1)过A作AH垂直于DB,垂足为H,由平面ABCD⊥α,知AH⊥α,则AH为点A到平面α的距离.在RtΔDAB中,AB=4,AD=2⇒BD=25(2)以A为原点，AB为y轴，AD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A0,0,0,O10O1E=2sinθ,−2cosθ由m⋅由(1)知AH⊥α,可得AH=0,45,8令平面DO1E与平面α所成角为β,则因为1+1sin2θ≥2,所以所以,当E为弧AB的中点时,平面DO1E与平面α所成角的余弦值取到最大值(3)将圆柱沿母线BC剪开并展开成平面图形，以D为原点，C1C2方向(水平向右)为x轴