2026年高考数学二轮复习专题15 立体几何截面及动点压轴小题（题型）（天津）（原卷版）

专题15立体几何截面及动点压轴小题目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01立体几何中的轨迹问题题型02球与各类截面面积问题题型03体积、面积、周长、角度、距离定值范围问题题型04空间线段以及线段之和最值问题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01立体几何中的轨迹问题【例1-1】（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【例1-2】（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（

）A． B． C． D．（1）线面平行转化为面面平行得轨迹（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹（3）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹（4）利用空间坐标运算求轨迹（5）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹（6）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹（7）利用空间坐标计算求轨迹(8)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面.【变式1-1】（2025·天津武清·月考）已知正方体的棱长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为．【变式1-2】（2023·天津河东·一模）在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2025·天津南开·调研）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题：①平面；②三棱锥的体积为定值；③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型02球与各类截面面积问题【例2-1】（2024·天津和平·一模）如图，棱长为1的正方体中，、分别在棱、上，，，，且，过、、三点的平面截正方体得到截面多边形，有下列四个说法：

①时，截面一定为等腰梯形；②时，截面一定为矩形且面积最大值为；③存在，使截面为六边形；④存在，使与截面平行．其中，正确说法的序号有．【例2-2】（2025·天津·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥作截面的几种方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.截面的类型(1)正方体的基本斜截面：正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．(2)圆柱体的基本截面：(3)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；结合线、面垂直的判定定理与性质定理求截面问题．【变式2-1】（2025·天津西青·调研）下列说法正确的个数为（

）①用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台；②在中，“若则；③平面向量，若则；④若非零向量满足则与的夹角为锐角.A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-2】（2026·天津·月考）如图，由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成，上、下截面间的距离为．天津一中学数学兴趣小组对该几何体进行了探究后得出下列四个结论，其中正确结论的个数是（

）①截口曲线的离心率为

②③该几何体的体积为

④该几何体的侧面积为A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-3】（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（

）A．若在线段上，则的最小值为B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为题型03体积、面积、周长、角度、距离定值范围问题【例3-1】（2025·天津滨海新·调研）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球的球心为，点是侧棱上的一动点．下列说法正确的个数是（

）

①直线与直线是异面直线；②若，则与一定不垂直；③若，则三棱锥的体积为；④三棱柱外接球的表面积的最大值为．A．1 B．2 C．3 D．4【例3-2】（2025·天津南开·二模）如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（

）．A． B． C． D．1.

基础计算类（体积、面积、周长）体积：优先用等体积法（换底换高），尤其适合三棱锥；柱体直接用“底面积×高”，台体记住“大锥减小锥”公式。面积：表面积要注意“重叠面扣除”，侧面积优先找母线、高、底面半径的关系（圆柱、圆锥）；不规则图形用“割补法”拆成三角形、四边形。周长：多为空间线段长度之和，需通过线面垂直、勾股定理转化为平面线段计算。2.

位置关系类（角度、距离）角度：异面直线角用平移法转化为相交直线角；线面角找“直线与投影的夹角”；二面角优先用向量法（找两个面的法向量夹角），或几何法（找棱的垂面、作二面角的平面角）。距离：点到面的距离是核心，用等体积法；线面距、面面距转化为点到面的距离；异面直线距离用“公垂线段法”或向量法。3.

动态探究类（定值、范围）定值问题：消参法是关键，设动点坐标（如在棱上设比例参数\lambda），代入表达式化简，证明结果与参数无关；或找“特殊位置验证+一般情况证明”。范围问题：用函数法（将所求量表示为单变量函数，求值域）或几何约束法（利用线面垂直、三角形两边之和大于第三边等限制条件）；天津高考常结合空间向量的模长、数量积构建不等式求解。【变式3-1】（2025·天津·二模）如图，在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②三棱锥的体积为定值；③存在一点，使；④若，则面积的最大值为，其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2024·天津武清·模拟预测）四棱锥的底面为正方形，，动点在线段上，则下列结论正确的是（

）A．四棱锥的体积为B．四棱锥的表面积为C．在中，当时，D．四棱锥的外接球表面积为【变式3-3】（2026·天津滨海新·月考）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则下列正确的个数为（

）

①当时，EP平面AB₁C②当时，|PE|取得最小值，其值为③|PA|+|PC|的最小值为④当平面CEP时，A．0 B．1 C．2 D．3题型04空间线段以及线段之和最值问题【例4-1】（2026·天津西青·月考）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（

）A．当时，点一定在线段上B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为C．当点在棱上运动时，的最小值为D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为【例4-2】如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（

）A． B． C． D．一、空间线段长度的计算方法1.

直接建系法（天津高考高频）遇到长方体、直棱柱、有垂直面的几何体，优先建立空间直角坐标系，设出线段端点坐标，用空间两点间距离公式直接计算。适用场景：线段端点固定，或在坐标轴/坐标平面上运动。2.

几何转化法无垂直条件时，通过线面垂直、勾股定理转化为平面线段计算：找线段在某一平面内的投影，利用“线面垂直→线段与投影垂直”构建直角三角形；不规则线段用割补法拆成多段可计算的线段，再求和。二、线段之和最值问题的核心技巧核心思想：将空间折线转化为平面直线，利用“两点之间线段最短”求解1.

侧面展开法（最常用）适用场景：线段端点在多面体的表面上运动（如正方体、长方体、棱柱的侧面）。操作步骤：①把多面体的两个相关侧面沿棱展开，拼成一个平面；②连接两个端点，得到的直线段长度即为线段之和的最小值；③若有多条棱可展开，需分类讨论不同展开方式，比较最小值。天津高考常考：正方体表面上两点间的最短路径（需考虑3组对面的展开情况）。2.

对称点法适用场景：线段端点在两个平行平面/相交平面上，或涉及“点到面再到点”的折线最值。操作步骤：①作其中一个端点关于目标平面/棱的对称点；②连接对称点与另一个端点，线段与平面/棱的交点即为折点，此时线段之和最小。3.

函数求最值法适用场景：线段端点在空间曲线/直线上运动（如球面上、某条棱上）。操作步骤：①设参数，表示出端点坐标；②写出线段之和的函数表达式，转化为二次函数、三角函数或利用基本不等式求最值。【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．14【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2025·天津·一模）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论：①存在唯一的点，使得，，，四点共面；②的最小值为；③存在点，使得；④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为.其中所有正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．41．（2025·天津和平·二模）粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（

）

A． B．C．的最小值为 D．的最小值为2．（2025·天津南开·模拟预测）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解几章算术・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第一、二层的每一个球均分别与其下一层相邻的三个球相切．现将“三角垛”放置在地面上，若每个球的半径均为1，则第一层的球的表面上的点到地面的最大距离为（

）．A． B． C． D．3．（2025·天津和平·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（

）A． B． C． D．4．（2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（

）A． B． C． D．5．在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（

）A．为 B．为的中点C．的轨迹长度为 D．为的中点6．（2025·全国·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），是线段上的两个动点，且，是的中点，则下列说法中不正确的是（

）

A．三棱锥的体积为定值B．在线段上存在一点，使得平面C．存在点，使得平面D．若，那么点的轨迹长度为7．某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，cm，且，则下列说法错误的是（

）A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的高为1cmC．该圆台的侧面积为6 D．该圆台的体积为8．已知正方体的体积为1，点在棱上（点异于，两点），为的中点，若平面截正方体所得的