2026年高考数学复习讲义专题09 正余弦定理在解三角形中的综合应用（解析版）

专题09正余弦定理在解三角形中的综合应用目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点正余弦定理在解三角形中的综合应用真题动向必备知识知识点1正弦定理知识点2余弦定理知识点3三角形面积公式命题预测题型1正、余弦定理解三角形题型2三角形解个数问题题型3判断三角形形状题型4三角形面积问题题型5三角形边长最值问题题型6三角形角度最值问题题型7三角形中线问题题型8三角形角平分线问题题型9三角形中四心问题题型10解三角形实际应用命题轨迹透视解三角形是上海卷数学的核心考点，每年必考1题，主要以选择题、中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。考点频次总结考点2025年2024年2023年正余弦定理在解三角形中的综合应用上海卷T11，5分上海卷T8，5分2026命题预测预计在2026年高考中，运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题仍是考查的重点。结合三角恒等变换与三角函数图象与性质、解三角形的题目多以解答题形式出现，分值为10分。考点正余弦定理在解三角形中的综合应用1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则(精确到0.1度)【答案】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.2．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则．【答案】【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得.【详解】，A为的内角，.知识点1正弦定理1正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有2正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①；；；③④⑤，，（可实现边到角的转化）⑥，，（可实现角到边的转化）知识点2余弦定理1余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：；2余弦定理的推论；；知识点3三角形面积公式①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).【易错提醒】常用结论在三角形中的三角函数关系①②③④⑤⑥若⑦若或题型1正、余弦定理解三角形1．的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理可求出的值.【详解】在中，，，，由正弦定理，可得.故选：B.2．在中，角所对的边分别为，，，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由余弦定理计算求解即可.【详解】在中，，，，由余弦定理得，所以.故选：B.3．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小.【详解】在中，因为，，，且，故，由正弦定理可得，又因为，故或.故选：D.题型2三角形解个数问题4．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况.【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错；B选项，，所以三角形无解，故B错；C选项，，所以三角形有两个解，故C正确；D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错.故选：C.5．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围.【详解】如图：三角形中，，，则有两解的充要条件为：，即.故选：D.6．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案.【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意；对于B，，满足，只有一解，B不符合题意；对于C，，则，故，结合，故B有两解，分别在以及之间，C符合题意；对于D，，则，故，此时无解，D不符合题意，故选：C7．在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围.【详解】根据正弦定理可得：，所以，且.因为，有两解，所以.所以.故选：C.题型3判断三角形形状8．在中，，则的形状是（

）.A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形【答案】B【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论.【详解】由余弦定理可得，整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形.故选：B.9．在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由可得，无法判断，由此即可判断.【详解】由，可得：，又角为三角形内角，所以，此时无法判断角，所以无法判断为等边三角形，由为等边三角形，可得，即，可得，所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件，故选：B10．在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形【答案】A【分析】根据条件，利用倍角公式及正弦定理计算即可得.【详解】，则，即，则，由，则，故，即的形状为直角三角形.故选：A.11．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式.【详解】因为，由余弦定理知，所以，整理得，即的形状是直角三角形.故选：B.题型4三角形面积问题12．在中，角的对边分别为.已知是函数的一个零点，，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】A【分析】由函数的零点得，利用余弦定理化简可得，根据三角形面积公式计算即可.【详解】由，解得或，因为，所以，由得，由余弦定理得，因为，角为内角，所以，故.故选：A13．在中，已知，，则的面积为（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得.【详解】由，，则，，，所以，因，故，则，所以的面积为.故选：A.14．在中，，，，则的面积为（

）．A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【分析】先根据平方关系求得，再结合三角形的面积公式求解.【详解】在中，因，则是锐角，，所以的面积为.故选：C.15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（

）A． B． C．9 D．18【答案】A【分析】先根据同角基本关系式计算出，的值，再利用正弦定理得到，进而得到b，c分别的值，最后带入得到答案【详解】∵，，且，，∴，，∴，即.∵，∴，.∵，∴，则的面积是.故选：A题型5三角形边长最值问题16．在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可.【详解】根据三角形面积公式可得：，则有，化简得，即.所以，当且仅当即时等号成立，此时取最小值为.故选：C.

17．在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角的三角关系以及正弦定理得出，再利用面积得出，最后利用基本不等式即可.【详解】因，则，即，由正弦定理可得，，即为直角三角形，则的面积为，即，则，等号成立时，故周长的最小值为.故选：A18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理结合条件得到关于边的一元二次方程，由有两解可得该方程有两个不等正根，列出关于的不等式组，求解即得.【详解】在中，由余弦定理得，代入，，可得，由有两解，可得关于b的方程有两个不等正根，则，由①解得．由②可解得，故可得.故选：C．19．在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答.【详解】在中，，因角B的内角平分线的长为1，由得：，即，因此，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：B题型6三角形角度最值问题20．在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得到，再结合余弦定理、基本不等式即可求解.【详解】由题意可得：，所以，又，所以，故选：B21．在中，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量数量积的定义结合余弦定理得，再根据余弦定理求解，结合基本不等式即可得最值.【详解】由，可得，由余弦定理得，整理得，则，当且仅当时取等，所以的最小值为.故选：D22．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，得到，求得，利用正弦定理，得到，进而求得，化简，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】设的三边对的三角分别为，因为向量与向量垂直，可得，即,可得，所以，又因为，可得，即，所以，可得，因为，所以，所以，又因为，所以，所以当，即时，取得最大值.故选：A.23．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由余弦定理得，，再利用，得到，继而得到，接着利用基本不等式求解即可．【详解】设，因为D为的中点，，所以，由三角形的三边关系，可知且，解得．在中，由余弦定理得；①在中，由余弦定理得．②因为，所以，所以，解得，则，当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件，所以的最小值为．故选：A．24．在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理化简已知条件.结合正弦定理可得，结合两角和差的正弦公式化简可得：即可求解.【详解】由已知及余弦定理，得，即.由正弦定理，得，则，即，即，所以，或,即或（舍去）.因为角A，B，C都为锐角，则，且，所以.故选：B题型7三角形中线问题25．在中，，是的平分线，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出.【详解】因为为的平分线，且，在中，根据正弦定理可知，在中，根据正弦定理可知，而，，故将上述两个等式相除可得，又，所以，则在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，则.故选：A.26．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度.【详解】在中，根据余弦定理，已知，，，设，则有：解得或（边长不能为负舍去），所以.因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得.又因为，所以.在中，再根据余弦定理，将，，代入可得：所以.的长度为故选：D.27．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解.【详解】，则，设，则，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，因，两式相比，可得，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以，化简得，所以或（舍去），又，所以，所以.故选：C题型8三角形角平分线问题28．在中，的角平分线交于，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意作图，根据三角形的面积公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意可作图如下：因为的角平分线为，则，由，则，代入数据可得，化简可得，解得.故选：B29．在中，，是的平分线，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出.【详解】因为为的平分线，且，在中，根据正弦定理可知，在中，根据正弦定理可知，而，，故将上述两个等式相除可得，又，所以，则在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，则.故选：A.30．在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可.【详解】根据三角形面积公式可得：，则有，化简得，即.所以，当且仅当即时等号成立，此时取最小值为.故选：C.

31．在中，的平分线交BC于点，若，则（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】设，由三角形的角平分线定理求得，在中，由余弦定理建立方程，求解即得.【详解】如图，设，由AD是的角平分线，可得，则，由，可知，由余弦定理得，解得或，当时，，则，因，产生矛盾，故.故选：D题型9解三角形与三角恒等变换32．记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围.【详解】由，可得，所以，即，因为，可得，所以或，当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去；当时，可得且，由正弦定理得，则，又由，可得，所以，即的取值范围.故选：B.33．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，整理得到，即，由于余弦定理，得，又因为，可得，如图所示，取的中点，连接，可得，所以，设的外接圆的半径为，可得，由正弦定理可得，所以且，设，则则，因为，可得，所以，可得，所以，所以的取值范围是.故选：C.34．已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知得，利用余弦边角关系可得，结合角的范围求目标式的范围.【详解】由题设，则，，所以，而，所以.故选：C35．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理和余弦定理可得，再由三角恒等变换可得，由的范围可得的范围，令，，利用导数得出函数的单调性，从而可得出答案.【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合题意舍去），∴，∴，设，∵是锐角三角形，∴，∴，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递增，故，∴.故选：C．36．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】先根据条件可得，然后把化为，结合角的范围可得的取值范围.【详解】由和余弦定理得，又，∴．因为三角形为锐角三角形，则，即，解得．，∵，即，所以，则，因此，的取值范围是．故选：