2026年高考数学复习讲义专题11 数列综合问题（最值、范围、子数列与增减项等）（原卷版）

专题11数列综合问题（最值、范围、子数列与增减项等）目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点一数列的最值范围真题动向必备知识知识点1等差数列的函数特征知识点2等比数列的函数特征命题预测题型1求数列和式的最值、范围题型2求n的最值或范围题型3求数列不等式中参数的取值范围考点二子数列与增减项真题动向必备知识知识点数列求和常用方法命题预测题型1奇（偶）数项题型2两数列的公共项题型3数列插项问题题型4数列的并项问题命题轨迹透视近几年高考试题中，与数列有关的最值范围问题既有解答题，也有选择、填空题，难度中档或偏上.子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.考点一数列的最值范围1．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是．2.（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．123.（2022高考全国甲卷T17）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．1.等差数列与函数关系（1）等差数列{an}的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.（2）当d≠0时，等差数列{an}的前n项和是关于n的二次函数.2.等比数列的函数特征等比数列{an}的首项为a1，公比为q（1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；（2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；（3）当q＝1时，{an}是常数列.题型1求数列和式的最值、范围1.等差数列的前项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和的最大值.2.已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值.3.在数列中，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和的最大值.4.已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设（且），求数列的前项和的最值．题型2求n的最值或范围5.已知数列的前项和为，满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.6.（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知公差d不为0的等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式：(2)令记为数列的前n项和，若，求n的最小值．7.若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.(1)若数列为“-数列”，写出所有可能的；(2)若“-数列”中，，求的最大值.题型3求数列不等式中参数的取值范围8.已知数列满足，且．(1)求的值；(2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．9.设为数列的前项和，已知是公比为2的等比数列．(1)证明：是等比数列；(2)求的通项公式以及；(3)设，若，求的取值范围．10.设为数列的前n项和，时，，已知．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值．11.设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，．(1)求的通项公式；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．12.已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.考点二子数列与增减项1.（2020·新高考1卷T14）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为．2.（2023·新课标Ⅱ卷T18）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．3．（2024·全国甲卷T18）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．数列求和的常用方法1.公式法2.分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减；3.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解；4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和；5.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法；6.倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.题型1奇（偶）数项1.数列满足：，．(1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；(2)数列满足：，求数列的前项和．2.已知数列满足，(1)记，求，，并证明数列是等比数列；(2)记，求满足的所有正整数的值.3.已知数列满足（是常数）.(1)若，证明是等比数列；(2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和.4.若数列和满足：，，且(1)设，证明：是等比数列；(2)设，试求的前n项和．题型2两数列的公共项5.已知数列的前项和满足，，且．（1）求证：数列是常数列；（2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和．6.已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.(1)求与的通项公式；(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.7.已知数列的前项和满足，，且．（1）求证：数列是常数列；（2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和．8.已知等差数列满足，且是和的等比中项，数列的前项和为，且满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）将数列和中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列，，令，求数列的前项和.题型3数列插项问题9.已知数列是等差数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入k个相同的数，构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，求的前100项和．10.已知等比数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式．（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．11．设是各项为正的等比数列的前n项的和，且．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值．12.设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.(1)求数列的通项公式；(2)试确定的值，使得数列为等差数列；(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.题型4数列的并项问题13.记为等差数列的前项和．已知．(1)求的通项公式；(2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和．14.（2025·江苏南京·期末）已知等差数列的前和为，数列是公比为2