2026年高考数学专题专练专题12 解析几何中的面积与范围问题（原卷版）

专题12解析几何中的面积与范围问题目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01面积计算题型02面积取值范围（最值）题型03求线段范围（最值）题型04求斜率范围（最值）题型05求参数范围（最值）题型06存在性问题题型07探究性问题第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1.椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．

(1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据；(2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标；(3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由．2．带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑.(1)将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论.【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分；②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明．(2)将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象．3．由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比；如图1，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为A，B的椭圆；如图2，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为，的椭圆；若与相似，则称椭圆，是“相似椭圆”，三角形的相似比称为椭圆的相似比.(1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”；若是，求出相似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆的一个“相似椭圆”；(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；(3)若椭圆与椭圆相似，相似比是，直线与椭圆，交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上．01面积计算1．已知椭圆的离心率为(1)求的标准方程；(2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.2．已知双曲线的焦距为是的两个焦点.(1)若双曲线的离心率为，求的方程；(2)若双曲线的实轴长为，是上一点，使得，求三角形的面积.3．已知双曲线的右焦点为．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积．

4．有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．

(1)直接写出菜地内的分界线的方程(2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）.02面积取值范围（最值）5．如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为.

(1)当点坐标为时，求直线的方程；(2)求四边形面积S的取值范围6．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为．(1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率；(2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标；(3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值．7．已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足．(1)求该椭圆的离心率；(2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率；(3)设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围．03求线段范围（最值）8．双曲线的左焦点为．(1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k；(2)点P在双曲线上，，求的最小值．9．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点.点在椭圆上，且位于轴的上方，(1)求椭圆的方程；(2)求点的坐标；(3)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值.10．设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，(1)求椭圆的方程；(2)设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离；(3)斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.11．已知曲线C：.(1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率；(2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值；(3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值．12．已知和为椭圆上两点.(1)求的离心率；(2)若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程；(3)设过点的动直线与椭圆有两个交点、，试判断在轴上是否存在点使得向量所成角恒成立，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.04求斜率范围（最值）13．已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)求的面积的最大值；(3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围．14．已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点．(1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；(2)设点，当时，求点A的坐标；(3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围．15．已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点．（ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值；（ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值．05求参数范围（最值）16．已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的取值范围.17．已知椭圆：，点是椭圆的右顶点，点，．(1)若椭圆的右焦点为，求椭圆的离心率；(2)已知，点是椭圆上一点，且满足，求的值；(3)若直线的中垂线的斜率为2，与椭圆交于，，且为钝角，求的取值范围．18．已知椭圆的离心率为点在椭圆上，直线与x轴交于点B.

(1)求椭圆的标准方程；(2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于E，F两点，直线AC，AD的斜率记为.①求证：为定值；②点G为CF中点，若求实数的取值范围.

19．已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点.(1)若直线，求两点坐标；(2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由;(3)如果，原点到直线的距离为，求的取值范围.20．在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点.(1)若且点在第一象限，求点的坐标；(2)若的面积为，求直线的方程；(3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围.06存在性问题21．已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点．(1)求的方程；(2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标；(3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点．①若P，Q中点的横坐标为，求m的值；②已知点，直线DP，DQ与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形DMHN为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右顶点分别为､，右焦点为，且椭圆过点､，过点的直线与椭圆交于､两点（点在轴的上方）.

(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求点的坐标；(3)设直线､的斜率分别为､，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.24．已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点.(1)求双曲线的标准方程；(2)求的最大值；(3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上?若存在，求出的值:若不存在，请说明理由.25．如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且.(1)求：双曲线的离心率e；(2)若，，的面积满足，求：的值；(3)斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.07探究性问题26．已知抛物线的焦点为F，准线为l.(1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程；(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；(3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.27．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线．(1)判断点是否被直线分隔：(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直28．已知且，曲线.(1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率；(2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标；(3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由.29．双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点．(1)若，点的坐标为，求的值；(2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值；(3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立．30．如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点.(1)证明：直线是抛物线的切线；(2)已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程；(3)若分别在线段上，且交于点，求证：点是的重心.1．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点.(1)求的周长：(2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标；(3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程；2．已知椭圆：的右焦点为，上两点满足（），且.若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为.(1)求圆的标准方程；(2)求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点；(3)已知为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，试求三角形面积小值.3．已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点.(1)求抛物线的方程；(2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关；(3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式.4．已知双曲线的离心率为，点在上，直线交双曲线右支于不同的两点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线过，求的取值范围；(3)若线段的垂直平分线过点，求的取值范围；5．已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点．(1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标．(2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值．6．已知双曲线．(1)求的离心率和实轴长；(2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与的直线、与双曲线交于两点，求的面积的取值范围；(3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围．7．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程；(3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.8．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积；(3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值.9．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率．(1)求双曲线的方程；(2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标；(3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围．10．已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；(3)已知点，求证：.11．已知椭圆的左､右焦点分别为为上两个不同的点，记的周长和面积分别为和.(1)若的离心率为，求的值；(2)若满足的点有且仅有两个，求的取值范围；(3)若，是否存在点使得和同时取到最大值？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.12．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；(3)若，证明：当时，为锐角三角形．13．如图1，曲线是与组合的．(1)过点，求的渐近线方程；(2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小；(3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由．14．已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点.(1)求椭圆的焦距与的周长；(2)若，求点到轴的距离；(3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围.15．如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为.(1)求的值；(2)若时，直线与曲线有交点，求的取值范围；(3)若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围.16．如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是和.(1)求椭圆的方程；(2)设直线的斜率分别是，求证:；(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.17．已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，