小学数学竞赛训练题库及解题思路详解

小学数学竞赛训练题库及解题思路详解即2×(1000a+100b+10c+d)=1000c+100d+10b+a。化简得：2000a+200b+20c+2d=1000c+100d+10b+a移项整理：1999a+190b=980c+98d两边可同时除以公约数（暂不细究，从首位分析）。因为两个四位数相加得到一个四位数，所以和的千位数字c只能是1或2（因为a是第一个加数的千位，a不能为0，2a可能进位也可能不进位）。若a=5，则2a=10，千位c=1，且向万位进1，但和是四位数，所以a只能小于5。尝试a=1：则2a=2，所以c=2（若不进位）或c=1（若后面有进位，但2a=2，后面最大进1，c=3？先试c=2）。此时，个位：2d的个位是a=1，所以d无解（偶数个位不可能是1）。尝试a=2：则c可能是4（2×2=4，无进位）或3（有进位）。个位：2d的个位是a=2，所以d=1或6。先取d=1：十位：2c+0（个位无进位，因为2×1=2）的个位是b。即2×2=4的个位是b，所以b=4。百位：2b+0（十位2c=4，无进位）的个位是d=1。即2×4=8的个位是1？8≠1，矛盾。再取d=6：个位：2×6=12，个位是2=a，向十位进1。十位：2c+1（进位）的个位是b。c=4（假设2a=4无进位），则2×4+1=9，所以b=9。百位：2b+十位进位（2c+1=9，9是个位数，无进位到百位）的个位是d=6。即2×9=18，个位是8，而d=6，8≠6，矛盾。所以a=2，c=4不成立。尝试c=3（即2a=4，后面有进位使c=3，则2a+进位=10+c→4+进位=10+3→进位=9，不可能）。尝试a=3：c可能是6（2×3=6）或5（有进位）。个位：2d个位是3，无解。尝试a=4：c可能是8（2×4=8）或7（有进位）。个位：2d个位是4→d=2或7。先试d=2：个位：2×2=4=a，无进位。十位：2c个位是b。c=8，2×8=16→个位6=b，向百位进1。百位：2b+1（十位进位）的个位是d=2。b=6，2×6+1=13→个位3，d=2≠3。再试d=7：个位：2×7=14→个位4=a，向十位进1。十位：2c+1的个位是b。c=8（2×4=8），2×8+1=17→个位7=b，向百位进1。百位：2b+1（十位进位）的个位是d=7。b=7，2×7+1=15→个位5，d=7≠5。若c=7（2a=8，进位1使c=7，则8+进位=10+7→进位=9，不可能）。尝试a=0：不符合首位不为0。咦，是不是哪里错了？重新梳理，当a=1时，c可能是1（2a=2，若后面相加进位1，则c=2+1=3？）a=1，c=3：个位2d个位是1→d无解。a=1，c=1：2a=2，要使c=1，需后面相加进位9，不可能。啊！我知道了，前面a=2时，c可能是3，是因为2a=4，加上百位进位1，所以c=4+1=5？对，我之前考虑进位考虑错了方向！应该是两个数相加，千位是a+a+从百位来的进位=c或者10+c（但和是四位，所以不可能是10+c）。所以c=2a+百位进位(0或1)。重新尝试a=2：c=2*2+百位进位=4+百位进位。百位进位只能是0或1，所以c=4或5。个位2d个位是2→d=1或6。取d=6，个位2*6=12，个位2，向十位进1。十位：2c+1（个位进位）的个位是b。百位：2b+十位进位的结果写在百位，并且产生向千位的进位（即百位进位，用于求c）。若c=5（即百位有进位1）：则2b+十位进位=10+百位数字（这个百位数字就是d=6）？即2b+十位进位=16。十位：2c+1=2*5+1=11→个位是1，所以b=1，向百位进位1。则百位：2b+1=2*1+1=3。要使2b+十位进位=16→3=16？不可能。若c=4（百位无进位）：十位：2*4+1=9→个位9=b，十位无进位。百位：2b+0=2*9=18→百位数字是8，即d=8，但我们取的d=6，矛盾。d=6不对。d=1：个位2*1=2，无进位。十位：2c=2*4=8→个位8=b。百位：2b=2*8=16→百位数字6=d=1？不。若c=5（百位进位1），则2*5=10→个位0=b，十位进位1。百位：2*0+1=1=d=1。哦！这个似乎可以！a=2，c=5（因为百位有进位1，所以c=2*2+1=5）。d=1：个位2*1=2=a，无进位。c=5。十位：2c=2*5=10→个位0=b，向百位进1。百位：2b+1（十位进位）=2*0+1=1=d=1。完美！所以a=2，b=0，c=5，d=1。验证：2051+2051=4102？不对啊，2051+2051=4102，而cdba应该是5102。哦！我把和的表达式写错了！和是cdba，即千位c，百位d，十位b，个位a。所以4102应该是c=4,d=1,b=0,a=2。那之前的假设c=2a+百位进位是对的（a=2，c=4）。所以，当a=