专题15 圆锥曲线中的二级结论（培优高频考点专练）（原卷版及解析）

专题15圆锥曲线中的二级结论目录高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型一焦点弦与焦半径问题（）题型二焦点三角形面积问题（）题型三中点弦与斜率关系（垂径定理+第三定义）（）题型四离心率求解问题（）题型五切线与切点弦方程问题（）实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）高考中题型分布：保持“小题+大题”组合，小题侧重离心率、焦半径、切线方程等结论应用，大题聚焦焦点弦、中点弦与最值/范围综合问题。基础知识必备：掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及核心性质（a,b,c,e的关系、渐近线、准线等）。熟记五大题型核心二级结论：焦点弦与焦半径公式、焦点三角形面积公式、中点弦斜率关系（垂径定理+第三定义）、离心率求解公式、切线与切点弦方程。熟练运用代数工具：韦达定理、点差法、参数法、判别式，几何工具：正弦定理、基本不等式、曲线光学性质。2026高考预测：核心考向：二级结论与代数运算结合（如韦达定理快速求解焦点弦定值）、跨模块融合（与向量垂直、三角函数、函数最值联动）。创新趋势：新定义曲线（如双纽线、相似椭圆）、隐蔽性二级结论应用（如椭圆第三定义的定点问题）、双曲线渐近线与圆/直线位置关系。重点侧重：离心率求解仍是高频考点，切线与切点弦方程考查概率上升，焦点三角形面积与角度结合问题需重点关注。重难知识汇总：焦点弦与焦半径椭圆：焦半径|PF1|=a+ex0、|PF2|=a−ex0，焦点弦长|AB|=2ab2a2−c2cos2α。双曲线：同支焦半径|PF1|=|a+ex0|，焦点弦长|AB|=2ab2|常用技巧方法：点差法：快速推导中点弦斜率关系，避免联立方程的复杂运算。结论优先：涉及倾斜角用焦半径/焦点弦角度式，涉及坐标用韦达定理+定值结论。几何转化：焦点三角形问题结合正弦定理、椭圆光学性质简化计算。分类讨论：双曲线需区分同支/异支，直线需考虑斜率为0或不存在的特殊情况。最值求解：利用基本不等式（如焦点弦相关最值）、二次函数值域（如椭圆上点到定点距离）易错避坑提效：公式混淆：双曲线同支与异支的焦半径公式符号不同，椭圆焦点位置影响斜率乘积符号。特殊情况遗漏：忽略直线斜率为0（水平弦）、斜率不存在（垂直弦）的极端情况。概念模糊：误将双曲线焦点到渐近线距离记为a（实际为b），混淆“圆上点切线”与“圆外点切点弦”的应用场景。计算失误：离心率求解时忽略a,b,c的齐次关系，焦点三角形面积公式中误将θ2写为θ。范围错误：双曲线离心率e>1题型一焦点弦与焦半径问题方法点拨：椭圆（焦点在x轴）：焦半径：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0；角度式|PF|=b2a−ccosα（α为直线与x轴夹角）。焦点弦长：|AB|=2ab【典例01】（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例02】（2025高三·全国·专题练习）抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（

）A． B． C． D．【变式01】（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）(多选题)已知椭圆，其左右顶点分别为，左右焦点分别为．是椭圆上一点，的离心率为，则（

）A．若在上只存在2处点的位置，使得的面积为，那么B．直线的斜率为，那么C．若为内切圆圆心，那么直线的斜率之积为D．延长交于，若，，那么【变式02】（多选）（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．【变式03】（2025·重庆九龙坡·三模）(多选题)在平面直角坐标系中，点是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点，直线与椭圆相交于两点，则（

）A．若直线经过点，则的最小值为1B．若线段的中点坐标为，则直线的斜率为C．若直线经过坐标原点，则D．若点在椭圆上(点与不重合)，且，则题型二焦点三角形面积问题方法点拨：椭圆：S△PF1F2=b2tanθ2（θ=∠F1PF2）。双曲线：S△PF1F【典例01】（多选）（2025·浙江·一模）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（

）A．的周长为B．的面积为C．若是上的动点，则D．若是上的动点，则【典例02】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）(多选题)已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与椭圆切于点的切线方程为D．若直线的斜率存在，则【变式01】（多选）（2025·广西柳州·一模）(多选)已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（

）A．的周长为6 B．的最小值为1C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为【变式02】（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（

）A．若，则；B．记，则的面积；C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.【变式03】(多选题)（2025·浙江·一模）(多选题)已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（

）A．的周长为B．的面积为C．若是上的动点，则D．若是上的动点，则题型三中点弦与斜率关系方法点拨：椭圆（焦点在x轴）：垂径定理：弦AB中点为M，则kAB⋅kOM=−b2a2=e2−1。第三定义：A、B为长轴端点，P为椭圆上异于A、B的点，则kPA⋅kPB=−b2a2。双曲线（焦点在x轴）：垂径定理：弦中点弦问题优先用“点差法”推导斜率关系，步骤为：设点代入方程→两式相减→因式分解→结合中点坐标。第三定义可快速解决定点、定值问题，需注意曲线焦点位置对斜率乘积符号的影响。未知中点时，通过斜率关系反推中点特征，避免联立方程的复杂运算。【典例01】（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例02】（2025·湖南邵阳·二模）(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（

）A．直线与恰有两个公共点B．双曲线的离心率为C．当时，的面积为D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，【变式01】（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（

）A．B．C．D．若点为抛物线上一点，则周长的最小值为【变式02】（2025·河南·三模）(多选)已知曲线是实轴、虚轴分别在直线和直线上的双曲线，其焦点分别为，点是上的两个动点，则（

）A．的实轴长为B．的离心率为C．若，则的面积为8D．若线段的中点为为坐标原点，则直线的斜率之积为定值【变式03】（2025·湖南·一模）(多选)如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（）A．与是相似椭圆 B．为中点C． D．为定值题型四离心率求解问题方法点拨：椭圆：焦点三角形：e=sinθsinA+sinB（θ=∠F1PF2，A、B为另外两角）。焦点弦比例：【典例01】（2025·河北邯郸·一模）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【典例02】（2025·辽宁大连·一模）已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A的方程为圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（

）A． B．或 C． D．【变式01】（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【变式02】（2025·云南·一模）(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（

）A．若点P在双曲线C的右支上，且，则B．若双曲线C的渐近线方程为，则其离心率为C．若，直线与双曲线C有且仅有一个交点，则满足条件的k值有2个D．若双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则的面积为【变式03】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与椭圆切于点的切线方程为D．若直线的斜率存在，则题型五切线与切点弦方程问题方法点拨：椭圆x2a2+y2b2=1：圆上点P(x0,y0)的切线方程：x0xa2+y0yb2=1。圆外点P(x0,y0【典例01】（2025高三·全国·专题练习）[多选]已知椭圆，O为原点，则下列说法中正确的是（

）A．椭圆C的蒙日圆方程为B．过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N，当为直角时，直线OP的斜率为C．若P为C的蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦MN．D．若O，P到MN的距离分别为，则．【典例02】（2025·福建福州·模拟预测）(多选)在平面直角坐标系中，，为两个定点，为动点，且，，成等比数列，记点的轨迹为，过作的切线，则下列说法正确的是（

）A．是双曲线 B．若，则的斜率为C．存在点，使得 D．不存在区间，当时，【变式01】（2025·河北秦皇岛·三模）(多选)如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（

）A．B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则【变式02】（2025·山东聊城·三模）(多选)已知曲线，，，为曲线上的动点，则（

）A．若在第一象限，则B．若在第二象限，则在轴上存在两点，，使为定值C．若在第三象限，过点向直线作垂线，垂足分别为，则D．直线是曲线的一条切线【变式03】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知分别为椭圆的上、下焦点，，点为椭圆C上一点．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点．（i）当点M运动时，求点的轨迹方程；（ii）已知以椭圆上一点为切点的切线方程为，若直线l交直线于点由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点.（限时训练：15分钟）1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆其右焦点F与上顶点A和左顶点B构成的三角形中，则椭圆的离心率为（

）．A． B． C． D．2.（2025·四川达州·一模）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（）A． B． C．2 D．3.（2025·湖南长沙·一模）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2025·甘肃·模拟预测）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（

）A． B． C． D．5．（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（

）A． B． C． D．6（2025·湖南邵阳·模拟预测）(多选题)已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（

）A．点纵坐标为 B．的周长为C． D．的内切圆半径为7.（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（

）A．，，三点共线 B．直线斜率存在时，C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是8.（2025·河北·模拟预测）(多选)已知椭圆的左、右顶点分别为，且的离心率为，点在直线上，点为直线上的动点，直线与的另一个交点为，记线段的中点为，则下列说法正确的是（

）A．B．当时，的面积为C．当变化时，直线与直线的斜率之积恒为定值D．存在，满足

专题15圆锥曲线中的二级结论目录高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型一焦点弦与焦半径问题（）题型二焦点三角形面积问题（）题型三中点弦与斜率关系（垂径定理+第三定义）（）题型四离心率求解问题（）题型五切线与切点弦方程问题（）实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）高考中题型分布：保持“小题+大题”组合，小题侧重离心率、焦半径、切线方程等结论应用，大题聚焦焦点弦、中点弦与最值/范围综合问题。基础知识必备：掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及核心性质（a,b,c,e的关系、渐近线、准线等）。熟记五大题型核心二级结论：焦点弦与焦半径公式、焦点三角形面积公式、中点弦斜率关系（垂径定理+第三定义）、离心率求解公式、切线与切点弦方程。熟练运用代数工具：韦达定理、点差法、参数法、判别式，几何工具：正弦定理、基本不等式、曲线光学性质。2026高考预测：核心考向：二级结论与代数运算结合（如韦达定理快速求解焦点弦定值）、跨模块融合（与向量垂直、三角函数、函数最值联动）。创新趋势：新定义曲线（如双纽线、相似椭圆）、隐蔽性二级结论应用（如椭圆第三定义的定点问题）、双曲线渐近线与圆/直线位置关系。重点侧重：离心率求解仍是高频考点，切线与切点弦方程考查概率上升，焦点三角形面积与角度结合问题需重点关注。重难知识汇总：焦点弦与焦半径椭圆：焦半径|PF1|=a+ex0、|PF2|=a−ex0，焦点弦长|AB|=2ab2a2−c2cos2α。双曲线：同支焦半径|PF1|=|a+ex0|，焦点弦长|AB|=2ab2|常用技巧方法：点差法：快速推导中点弦斜率关系，避免联立方程的复杂运算。结论优先：涉及倾斜角用焦半径/焦点弦角度式，涉及坐标用韦达定理+定值结论。几何转化：焦点三角形问题结合正弦定理、椭圆光学性质简化计算。分类讨论：双曲线需区分同支/异支，直线需考虑斜率为0或不存在的特殊情况。最值求解：利用基本不等式（如焦点弦相关最值）、二次函数值域（如椭圆上点到定点距离）易错避坑提效：公式混淆：双曲线同支与异支的焦半径公式符号不同，椭圆焦点位置影响斜率乘积符号。特殊情况遗漏：忽略直线斜率为0（水平弦）、斜率不存在（垂直弦）的极端情况。概念模糊：误将双曲线焦点到渐近线距离记为a（实际为b），混淆“圆上点切线”与“圆外点切点弦”的应用场景。计算失误：离心率求解时忽略a,b,c的齐次关系，焦点三角形面积公式中误将θ2写为θ。范围错误：双曲线离心率e>1题型一焦点弦与焦半径问题方法点拨：椭圆（焦点在x轴）：焦半径：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0；角度式|PF|=b2a−ccosα（α为直线与x轴夹角）。焦点弦长：|AB|=2ab【典例01】（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长【分析】根据给定条件，求出过的右焦点的最短弦长，再建立不等式求出离心率的范围.【详解】设的右焦点坐标为，长轴是过的右焦点的最长弦，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由消去得，设，，则，当且仅当时取等号，依题意，，解得，则的离心率.故选：D【典例02】（2025高三·全国·专题练习）抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当直线的斜率为0时，直接求出，当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为，设，，利用焦半径公式结合韦达定理可得结论.【详解】由题意可知，且当直线的斜率为0时，，，则；当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为，由消去，整理得，设，，所以，，由得，，，，，即，．故选：B．【变式01】（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）(多选题)已知椭圆，其左右顶点分别为，左右焦点分别为．是椭圆上一点，的离心率为，则（

）A．若在上只存在2处点的位置，使得的面积为，那么B．直线的斜率为，那么C．若为内切圆圆心，那么直线的斜率之积为D．延长交于，若，，那么【答案】ABD【分析】利用特殊位置的点来求解即可判断A，利用坐标法来表示斜率即可判断B，利用举反例来判断C，利用椭圆的第二定义来求焦半径可判断D.【详解】在上只存在2处点的位置，使得的面积为，则点必为椭圆的上下顶点，即此时面积为：，由椭圆方程可知：，所以，则，即，故A正确；‘是椭圆上一点，则，由直线的斜率为，，又因为，所以，故B正确；举例，当，所以，，且取，利用等面积法来表示内切圆半径，即，则圆心，则此时的直线的斜率之积为,而此时的，显然此时的直线的斜率之积不为，故C错误；因为，所以，即准线方程为，，根据椭圆的第二定义：，焦点到准线的距离为，作出椭圆的准线，再过点作准线的垂线，垂足分别为，再过点作垂线，垂足为，解直角梯形可得：，又因为，所以解得，同理可得：，即，故D正确；故选：ABD．【变式02】（多选）（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．【答案】AD【知识点】椭圆定义及辨析、数量积的坐标表示、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】利用椭圆的定义及函数给定区间上的值域求法，可对A,C,D进行判断，利用数量积的坐标表示及二次函数值域求解可判断B选项.【详解】解：由椭圆，得，，，且，，即.A选项：,当时，取得最大值；当或时，取得最小值1.所以.所以A选项正确.B选项:设为椭圆上一点.由题知.则,因为,所以,即.所以B选项错误.C选项：因为为短轴的一个端点，所以或.由椭圆的对称性，不妨设.设，则.因为，所以，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以.所以C选项错误.D选项：设，又，所以，.又.又.所以成立，故D正确.方法二：因为,所以,所以.因为即，所以,即.所以.所以D选项正确.故选：AD.【变式03】（2025·重庆九龙坡·三模）(多选题)在平面直角坐标系中，点是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点，直线与椭圆相交于两点，则（

）A．若直线经过点，则的最小值为1B．若线段的中点坐标为，则直线的斜率为C．若直线经过坐标原点，则D．若点在椭圆上(点与不重合)，且，则【答案】ACD【分析】对A，过左焦点的弦长最小值为通径长；对B，利用中点弦斜率点差法可求；对C，利用椭圆对称性可得，根据基本不等式即可求解；对D，通过角度关系得到斜率的关系，再与椭圆方程联立可求点，利用可求.【详解】对A，过左焦点的弦长最小值为通径长，此时，代入，解得，，故A正确；对B，设，在椭圆上，则，，两式相减得，∵的中点坐标为，∴，∴，故B错误；对C，直线经过坐标原点，椭圆，，，由椭圆对称性，所以，，当且仅当，，故C正确；对D，设，根据对称性不妨取点在第一象限，，，∵，∴，即，整理得，又，代入得，解得，∴，，，故D正确，故选：ACD题型二焦点三角形面积问题方法点拨：椭圆：S△PF1F2=b2tanθ2（θ=∠F1PF2）。双曲线：S△PF1F【典例01】（多选）（2025·浙江·一模）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（

）A．的周长为B．的面积为C．若是上的动点，则D．若是上的动点，则【答案】AD【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、椭圆中焦点三角形的周长问题、基本不等式求和的最小值、椭圆中焦点三角形的面积问题【分析】应用椭圆定义得出周长判断A，应用焦点三角形计算求解判断B，应用两角差正切公式结合不等式判断C，应用点到直线距离计算判断D.【详解】的周长为，A正确；根据椭圆的光学性质，与直线所成角的大小也是，从而，则的面积为，B错误；设在第一象限，则，由得，于是，得，设，当时，，则，当且仅当时取最大角，C错误；由C选项，根据点到直线的距离公式，D正确.故选：AD.【典例02】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）(多选题)已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与椭圆切于点的切线方程为D．若直线的斜率存在，则【答案】ACD【分析】利用椭圆定义及正弦定理推理判断A；利用椭圆定义、余弦定理、三角形面积公式及二倍角公式求解判断B；设出切线方程并现椭圆方程联立，借助判别式求出切线斜率判断C；设出直线方程并与椭圆方程联立推理判断D.【详解】令椭圆的半焦距为，则，对于A，在中，由正弦定理，得，因此，A正确；对于B，在中，由余弦定理，得，则，，B错误；对于C，与椭圆切于点的切线斜率存在，设方程为，由消去得：，，整理得，而，则，即，解得，因此切线方程为，整理得，C正确；对于D，设直线的方程为，点，由消去得，，，，D正确.故选：ACD【变式01】（多选）（2025·广西柳州·一模）(多选)已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（

）A．的周长为6 B．的最小值为1C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为【答案】ACD【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性.【详解】如图：依题意，，所以的周长为，A选项正确；若为椭圆上任意点，则，即，当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B选项错误；当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，为，C选项正确；椭圆的离心率为，D选项正确.故选：ACD【变式02】（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（

）A．若，则；B．记，则的面积；C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.【答案】AD【分析】根据双曲线的定义和基本性质可判断选项A；根据双曲线焦点三角形面积公式可判断选项B；对于选项C，过某一定点的直线与双曲线有两个交点，则联立直线与双曲线方程，根据判别式求出k的取值范围；对于选项D，将三角形内切圆面积问题转化为内切圆的半径问题，再结合图形分析三角形内切圆半径与双曲线中线段之间的关系，从而得出两内切圆面积之和的最小值.【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，所以，，，，双曲线的方程为：，若，则，所以，故A正确；对于B，因为的面积，故B错误；对于C，若，则，，，双曲线的方程为，直线的方程为，联立，消得，则，解得且，故C错误；对于D，若，则，，，双曲线的方程为，如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，，由切线长定理得，而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为，同理可求得的横坐标为，则，设直线的倾斜角为，则，在，中有，，设，所以，显然，当，即，即取得最小值8，记的内切圆面积为，的内切圆面积为，故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确.故选：BD.【变式03】(多选题)（2025·浙江·一模）(多选题)已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（

）A．的周长为B．的面积为C．若是上的动点，则D．若是上的动点，则【答案】AD【分析】应用椭圆定义得出周长判断A，应用焦点三角形计算求解判断B，应用两角差正切公式结合不等式判断C，应用点到直线距离计算判断D.【详解】的周长为，A正确；根据椭圆的光学性质，与直线所成角的大小也是，从而，则的面积为，B错误；设在第一象限，则，由得，于是，得，设，当时，，则，当且仅当时取最大角，C错误；由C选项，根据点到直线的距离公式，D正确.故选：AD.

题型三中点弦与斜率关系方法点拨：椭圆（焦点在x轴）：垂径定理：弦AB中点为M，则kAB⋅kOM=−b2a2=e2−1。第三定义：A、B为长轴端点，P为椭圆上异于A、B的点，则kPA⋅kPB=−b2a2。双曲线（焦点在x轴）：垂径定理：弦中点弦问题优先用“点差法”推导斜率关系，步骤为：设点代入方程→两式相减→因式分解→结合中点坐标。第三定义可快速解决定点、定值问题，需注意曲线焦点位置对斜率乘积符号的影响。未知中点时，通过斜率关系反推中点特征，避免联立方程的复杂运算。【典例01】（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解．【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得，假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，，则，，由点，在双曲线上，得，两式作差得，所以，因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，则，也即，所以，则．故选：C．【典例02】（2025·湖南邵阳·二模）(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（

）A．直线与恰有两个公共点B．双曲线的离心率为C．当时，的面积为D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，【答案】BC【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项.【详解】对于A选项，联立可得，所以，直线与恰有只有一个公共点，A错；对于B选项，对于双曲线，则，，，所以，双曲线的离心率为，B对；对于C选项，设，，由双曲线的定义可得，由余弦定理可得，可得，则，C对；对于D选项，设点、，线段的中点为，则，，则，由题意可得，所以，，则，D错.故选：BC.【变式01】（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（

）A．B．C．D．若点为抛物线上一点，则周长的最小值为【答案】ABD【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定义即可逐一判断.【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为，即，解得，故A正确；对于B，所以抛物线，所以焦点为，设，因为为线段的中点，所以，即，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，由的坐标可知，所以的周长为，当且仅当P为与抛物线的交点时，等号成立，所以周长的最小值为，D正确.故选：ABD.【变式02】（2025·河南·三模）(多选)已知曲线是实轴、虚轴分别在直线和直线上的双曲线，其焦点分别为，点是上的两个动点，则（

）A．的实轴长为B．的离心率为C．若，则的面积为8D．若线段的中点为为坐标原点，则直线的斜率之积为定值【答案】BC【分析】A联立方程组，，即可求出双曲线的顶点坐标，再计算顶点间距离即可；B由轴，轴为渐近线，可知双曲线为等轴双曲线；C利用双曲线的定义以及勾股定理可计算；D设点坐标，再利用斜率公式化简即可.【详解】设的实轴长为，虚轴长为，联立，解得或，因为实轴在直线上，则双曲线的两个顶点分别为，所以，即实轴长，故A错误；易知曲线的渐近线分别为轴，轴，两渐近线的夹角为，所以，所以的离心率为，故B正确；由双曲线的定义得，两边平方得，因，则，则，因，则，故，所以，故C正确；设，则，所以，故，不是定值，故D错误.故选：BC.【变式03】（2025·湖南·一模）(多选)如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（）A．与是相似椭圆 B．为中点C． D．为定值【答案】ABC【分析】求两椭圆的离心率，可判断A；设，写出过点的切线方程，与方程联立，利用韦达定理求出弦的中点并与坐标比较，即可判断B；利用B的结论，结合平面向量数量积的定义，可判断C；举特例说明D是错误的.【详解】对于A，，故与是相似椭圆．故A正确；对于B，设，则，与联立，消去得，所以，由于，代入化简得，又点为直线与的切点，故为的中点．故B正确；对于C，由可知为中点，同理为中点，故且和相似，所以，因为，而，故．故C正确；对于D，如下左图，若取，则易得为上、下顶点，不妨取，此时；若取，则易得为左、右顶点，不妨取，此时，即；如下右图，再取，此时围成一个矩形，其中，有，即不是定值．故D错误.故选：ABC题型四离心率求解问题方法点拨：椭圆：焦点三角形：e=sinθsinA+sinB（θ=∠F1PF2，A、B为另外两角）。焦点弦比例：【典例01】（2025·河北邯郸·一模）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论.【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线，所以，圆的圆心的坐标为，半径，所以点到直线的距离，因为与圆交于两点（为坐标原点），所以，因为的面积为，所以，所以，又，所以或，若，则点到直线的距离，所以，所以，所以，所以，此时双曲线的离心率，若，则点到直线的距离，所以，所以，所以，与矛盾，舍去，所以双曲线的离心率，故选：C

【典例02】（2025·辽宁大连·一模）已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A的方程为圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】先由椭圆的离心率求出渐近线方程为，再由点到直线距离公式解关于方程即可.【详解】由题意得则则所以渐近线方程为又因为圆的圆心为恒在直线上，半径为2，

由圆与渐近线相切可得解得故选：B.【变式01】（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设，，由已知和双曲线的定义得出，，，再在直角三角形和中，利用勾股定理可求得和的关系，从而可求双曲线的离心率．【详解】如图，设，，由双曲线定义可知：，，，，即；在直角中，，即，解得：，则，；在直角中，，即，即，所以.故选：A.

【变式02】（2025·云南·一模）(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（

）A．若点P在双曲线C的右支上，且，则B．若双曲线C的渐近线方程为，则其离心率为C．若，直线与双曲线C有且仅有一个交点，则满足条件的k值有2个D．若双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则的面积为【答案】ABD【分析】根据双曲线的定义以及渐近线、离心率的相关运算可判断A,B，根据直线方程可得直线过定点，分类讨论并分析直线与渐近线平行和不平行两种情况下满足题意的直线条数，即可判断C，根据题意作图，结合双曲线的性质以及三角形面积计算，可判断D.【详解】对于A，因为点P在双曲线C的右支上，所以，又，解得，故A正确；对于B，因为双曲线的渐近线方程为且焦点在x轴上，所以，又，所以离心率，故B正确；对于C，因为直线方程为：，所以直线恒过点，当直线与渐近线平行时，满足题意的直线有两条；当直线与渐近线不平行且与双曲线相切时，满足题意的直线也有两条．综上，满足条件的直线有4条，即k的值也有4个，故C错误；对于D，如图，因为垂直于渐近线，所以，又因为，所以．在中，，所以，所以，又因为，即，所以，所以，故D正确．故选：ABD．【变式03】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与椭圆切于点的切线方程为D．若直线的斜率存在，则【答案】ACD【分析】利用椭圆定义及正弦定理推理判断A；利用椭圆定义、余弦定理、三角形面积公式及二倍角公式求解判断B；设出切线方程并现椭圆方程联立，借助判别式求出切线斜率判断C；设出直线方程并与椭圆方程联立推理判断D.【详解】令椭圆的半焦距为，则，对于A，在中，由正弦定理，得，因此，A正确；对于B，在中，由余弦定理，得，则，，B错误；对于C，与椭圆切于点的切线斜率存在，设方程为，由消去得：，，整理得，而，则，即，解得，因此切线方程为，整理得，C正确；对于D，设直线的方程为，点，由消去得，，，，D正确.故选：ACD题型五切线与切点弦方程问题方法点拨：椭圆x2a2+y2b2=1：圆上点P(x0,y0)的切线方程：x0xa2+y0yb2=1。圆外点P(x0,y0【典例01】（2025高三·全国·专题练习）[多选]已知椭圆，O为原点，则下列说法中正确的是（

）A．椭圆C的蒙日圆方程为B．过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N，当为直角时，直线OP的斜率为C．若P为C的蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦MN．D．若O，P到MN的距离分别为，则．【答案】ACD【分析】根据给定条件，结合蒙日圆的特征求出蒙日圆的方程判断A；求出直线l与蒙日圆的交点坐标，计算斜率判断B；设P点坐标，由由切点弦公式得到MN方程，由点差法即可判断C；利用圆的参数方程设点，借助于切点弦方程分别计算出即可判断D．【详解】对于A，由椭圆可得，故其蒙日圆方程为，A正确；对于B，依题意，点P是直线l与蒙日圆的交点，则，解得或，故直线OP的斜率为或0，B错误；对于C，设P点坐标，直线OP斜率，由切点弦公式得到MN方程为，则，，由点差法可知，OP平分，C正确；对于D，由点P为C的蒙日圆上一点，可设，则切点弦MN所在直线的方程为，则原点O到直线MN的距离为，点P到直线MN的距离为．D正确．故答案为：ACD.【典例02】（2025·福建福州·模拟预测）(多选)在平面直角坐标系中，，为两个定点，为动点，且，，成等比数列，记点的轨迹为，过作的切线，则下列说法正确的是（

）A．是双曲线 B．若，则的斜率为C．存在点，使得 D．不存在区间，当时，【答案】ABC【分析】利用等比中项列等式并化简求C的轨迹方程可判断A；求出M点的横坐标，利用导数的几何意义求切线的斜率判断B；当M是顶点时切线斜率不存在但满足，当M点不是顶点时求出切线的斜率，由两直线垂直斜率之积为列方程求解M，方程无解，此时不满足条件，判断C；将代入不等式求出的范围，再结合双曲线上点的坐标的范围即可求得的取值范围，判断D.【详解】因为，，成等比数列，所以，即，，进一步化简可得：，所以点的轨迹C为双曲线，A正确；若，则，将C的方程转化为：，求导得：，令得，即过点M的切线的斜率为，B正确；若，则过点M的切线l为，此时满足；若，则过点的切线l的方程为：，切线l的斜率为，如果，则，等式不成立.所以存在点，使得，C正确；将代入不等式得，解得，结合双曲线得，D错误.故选：ABC【变式01】（2025·河北秦皇岛·三模）(多选)如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（

）A．B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则【答案】ABD【分析】A，根据在两定点，的距离之积得到；B，设曲线上的任意一点，根据得到方程，求出轨迹方程，以坐标原点为圆心的圆的方程为，联立计算出；C，在第一象限时，，令，变形得到，故当，取得最大值，最大值为，从而得到曲线上的点的纵坐标的最大值；D，设，则，直线为，求出直线的方程为，联立求出直线与的交点坐标为，代入曲线中，求出.【详解】A选项，从图中可以看出在两定点，的距离之积为定常数，其中，所以，A正确；B选项，设曲线上的任意一点，则，化简得，即，，设以坐标原点为圆心的圆的方程为，又，故，，故，所以，则交点必在某等轴双曲线上，B正确；C选项，在第一象限时，，，令，则，故，故当，即时，取得最大值，最大值为，所以的最大值为，曲线上的点的纵坐标的最大值为，C错误；D选项，切点为的切线方程为，切点为的切线方程为，设，则，直线为，在切线和上，故，故直线的方程为，联立与得，解得，故，故直线与的交点坐标为，又在曲线上，故，即，又，故，因为，则，D正确故选：ABD【变式02】（2025·山东聊城·三模）(多选)已知曲线，，，为曲线上的动点，则（

）A．若在第一象限，则B．若在第二象限，则在轴上存在两点，，使为定值C．若在第三象限，过点向直线作垂线，垂足分别为，则D．直线是曲线的一条切线【答案】BCD【分析】求出的表达式，进而求出的范围判断A；利用椭圆的定义判断B；利用点到直线距离判断C；联立方程组，借助判别式计算判断D.【详解】对于A，设点，，，同理，则，而，因此，故A错误；对于B，当在第二象限时，曲线是椭圆在第二象限的部分，该椭圆的焦点为，长轴长为4，由椭圆定义得，故B正确；对于C，设，，则，故C正确；对于D，当在第二象限时，由消去得，，因此直线与椭圆相切于点，即直线是曲线的一条切线，故D正确.故选：BCD.【变式03】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知分别为椭圆的上、下焦点，，点为椭圆C上一点．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点．（i）当点M运动时，求点的轨迹方程；（ii）已知以椭圆上一点为切点的切线方程为，若直线l交直线于点由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点.【答案】(1)；(2)（i），（ii）.【分析】（1）由得到，将代入椭圆，联立方程组求解即可；（2）（i）直线和椭圆联立方程组，消去，整理得到，由椭圆C与直线有唯一公共点M，得到，即得，同时从方程中解出，将其代入解得，从而得到的坐标，求出过点M且与l垂直的直线方程，从而得到点的坐标，则点中的和分别为点的横纵坐标，通过计算得到和的方程，即为所求；（ii）分别求出，为切点的切线方程，又这两条切线都过，将代入这两条切线方程得到直线的方程，将代入直线得到，代入直线的方程从而求出直线过的定点.【详解】（1），，，为椭圆上一点，，联立方程组，解得，椭圆C的方程为；（2）（i）直线和椭圆联立方程组，消去，（3）（4）整理得到，椭圆C与直线有唯一公共点M，，，，且的解为，代入解得，则，，，，过点M且与l垂直的直线方程为，设，则，则，设，则，则，中的，，，，，，；（ii）椭圆C的方程为，引椭圆C的另一条切线，切点为N，设，则为切点的切线方程为，则为切点的切线方程为，这两条切线都过，，直线的方程为，在直线上，，，直线的方程为，，，，，直线过定点.

（限时训练：15分钟）1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆其右焦点F与上顶点A和左顶点B构成的三角形中，则椭圆的离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】结合图形表示出，列方程求出，利用离心率公式计算即可.【详解】由可得，因为,由正弦定理可得，所以，则椭圆的离心率为.故选：C.2.（2025·四川达州·一模）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先通过双曲线的渐近线方程及已知直线求出斜率，再根据垂直关系进而得出与b的关系，最后利用离心率公式及计算离心率即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，因为直线，整理得，其斜率为，因为两直线垂直，所以，即，又因为，代入，得，所以,故离心率.故选：A.3.（2025·湖南长沙·一模）椭圆具有光学性质：从椭圆的