平面解析几何初步（易错必刷60题12种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点复习（湘教版选择性必修第一册）解析版

专题02平面解析几何初步（易错必刷60题12种题型专项训练）

题型一已知两点求斜率、已知斜率求参数题型二直线与线段相交关系求斜率范围

题型三五大直线方程题型四中点坐标公式及直线所过定点

题型五过两条直线交点的直线系方程题型六对称问题

题型七三类距离公式题型八线段和与差的最值问题

题型九圆的两种方程题型十点与圆的位置关系

题型十一切线与切线长弦长问题

题型十二由直线与圆的位置关系及圆的位置关系确定参数

题型一已知两点求斜率、已知斜率求参数

1.（23-24高一上•湖南♦阶段练习）若直线/：），=6-6与直线x+y-3=0相交，且交点在第一象限，则直

线/的倾斜角。的取值范围是（）

A.{0|0。<0<60。}B.{0|30。<0<60。}

C.{例3O°vOv9O。}D.{19|60°<^<93°}

【答案】C

结合交点位置关系解得心拳再根据倾斜角与斜率的关系运算求解.

【分析】根据题意求交点坐标,

【详解】由题可知女工-1,

3+6

x=---------

广，即两直线的交点坐标为3+5/33&-⑸

联立方程解得，1+”

3k->J3\+k\+k

y=-----------

1+k

M>0

\+k解得Q日

因为两直线的交点在第一象限，则

上与。

\+k

且直线/的倾斜角为则tan”立，且0。“<180。，解得30。<。<90。,

3

所以直线/的倾斜角0的取值范围为{〃|30。<0<90°}.

故选：C.

2.（22-23高二上.河北保定.期末）直线房y3=0的倾斜角为（）

【答案】A

【分析】先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解.

【详解】设直线的、心-），-3=0的倾斜角为且。«0.兀），

直线6%-丁一3=0的斜率％=lana=6，所以a=g,

故选：A

3.（22-23高一上•陕西宝鸡•期末）下列说法中正确的是（）

A.两条平行直线的斜率一定相等B,两条平行直线的倾斜角一定相等

C.垂直的两直线的斜率之积为-1D.互相垂直的两直线的倾斜角互补

【答案】B

【分析】根据育线平行与垂直满足的关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,若两条直线平行，但没有斜率，故A错误，

对于B,两条直线平行，则倾斜角相等，故B正确，

对于C,若两条直线分别与坐标轴平行，则此时有一条直线没有斜率，故C错误，

对于D,若两条直线分别与坐标轴平行，则两条直线的倾斜角分别为0和90,则倾斜角不互补，故D错误,

故选:B

4.（23-24高二下•广西贵港•期末）已知双曲线C:*■-£=1（。＞0力＞0）的一条渐近线的倾斜角小于4则

5的取值范围为（）

A.（6司B.（0,6）

【答案】B

【分析1运用渐近线的斜率公式结合倾斜角与斜率之间的关系，即可解决.

【详解】由题意得C的渐近线方程为），=±2x,则。＜2＜tan?=VJ.

aa3

故选:B.

5.（23-24高二下•重庆•期末）函数），=限'+1的图象在点（01+6）处的切线的倾斜角为（）

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义计算即可求解.

【详解】根据题意，函数），=限,+1,

当工=0时，y=75,

设该切线的倾斜角为a（0«。<冗），则lana=6,

所以a寸,

即函数尸居+1在点（0,1+@处的切线斜率为5.

故选：C.

题型二直线与线段相交关系求斜率范围

6.（22-23高一下・甘肃兰州•期末）过点P（3,3）的直线/与线段MN相交，A/（2,-3）,7V（-3,-2）,则/的斜率左

的取值范围为（）

A.B.—<^<6C.k<—^k>6D.火4,或人

656565

【答案】B

【分析】根据斜率的计算公式求相应的斜率，结合图形分析斜率的取值范围.

【详解】如图所示：

若过点P（3,3）的直线/与线段相交，所以三&K6.

O

故选:B.

7.（23-24高一下•江苏无锡•期末）已知点&L3）,4（-2,-1）,若直线l：y=A（x-2）+1与线段AB相交，则实数

我的取值范围是（）

「1[「c1]

A.万，+8）B.-2,-

C.(-oo,-2)Ug，+8

D.(f-2]

【答案】B

【分析】由直线方程可知直线过定点c（2J）,画图连接力/3,直线l：y=k*-2）+l绕定点旋转，即可求得实

数2的取值范围.

【详解】由直线方程可知，直线l：y=%（x-2）+l过定点C（2,l）,则要使直线1:尸如-2）+1与线段A8相交,

所以实数上的取值范围是-2,1.

故选：B

8.（23-24高二上•山东威海•期末）已知点4-2,4）,5（-1,-3）,若直线y=依与线段A8有公共点，则（）

A.&W(Y,-2]<J[3,+O>)B.

C.%8,-g]5§,+8)

【答案】B

【分析】作出图像，求斜率范围即可.

分析y=心必过(0,0),且％=-2,kOR=3,则攵0―2,3].

故选：B

9.（23-24高二上•四川凉山・期末）己知两点A（-l,5）,8（0,0）,若直线/：（%+1卜一（2攵-2力+2A-6=0与线

段A4有公共点，则直线/斜率的取值范围为（）

A.[—1,1]B.

C.1]D.[-l,0]u[l,+8）

【答案】A

【分析】先求出直线所过的定点P，再分别求出PAP8的斜率，结合图象即可得解.

【详解】直线/：（攵+1）%一（2攵-2）y+2Z-6=0化为（工一2），+2）攵+%+2》-6=0,

今卜2"2解得仁;

|x+2y-6=0

所以直线/过定点仪2,2）,

因为直线/：（2+1八一（2左一2）y+2k-6=0与线段A8有公共点，

结合图象可得直线/斜率的取值范围为卜1』].

故选:A.

10.（23-24高二上.安徽六安.期末）已知“8。的顶点4（1,-1）,成-11）。3,7）,点尸在线段8。上运动，若

直线AP的斜率4存在，则A的取值范围为（）

A.（^o,-l]u[4,+oo）B.[-1,4]

C.（-oo,4]D.[-1,2）

【答案】A

【分析】根据斜率的计算公式求解即可.

【详解】因为左谊二一;--=-1»k=――=4,故★之4或&KT.

-1—1AC3—1

故选：A.

题型三五大直线方程

11.（23-24高二上.河南河河•期末）直线/：3x-4y+12=0在y轴上的截距为（）

A.4B.-4C.3D.-3

【答案】C

【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果.

【详解】直线/的方程化为截距式方程为三+5=1,因此，直线/在y轴上的截距为3.

-43

故选：C.

12.（22-23高二下•河北石家庄•期末）过点A（4,-l）与8（0,7）的直线的斜截式方程是（）

A._v=-2x+7B.y=-2.v-lC..v=2x+7D.y=-2x+4

【答案】A

【分析】根据题意可知直线的斜率和纵截距，即可得截距式方程.

【详解】由题意可知：直线的斜率为女=三二二-2,且纵截距为7,

4-0

所以直线的斜截式方程是y=-2x+7.

故选:A.

13.（22-23高二下•河北石家庄•期末）过点。（-1/），且与直线工-V-3=。平行的直线方程是（）

A.x-y+2=0B.x-y-2=0

C.x+y+2=0D.x+y-2=0

【答案】A

【分析】根据平行直线的斜率关系，利用待定系数法求出直线方程即可.

【详解】直线工一）」3=0的斜率占=-占=1,

过点Q（-l,1）的直线与直线x--3=0平行，

所以该直线的斜率A=K=1,

设该直线的方程为y=x+〃，

且该直线过点

则1=-1+/,得6=2,

所以该直线的方程为＞=%+2,即x_y+2=O.

故选：A.

14.(23-24高二上•江苏南京•期末)方程(，Ll)x-y+2a+l=0(“eR)所表示的直线()

A.恒过点(-2.3)B.恒过点(2,3)

C.恒过点(2,—3)和点(2,3)D.恒过点(-2,3)和点(3,2)

【答案】A

【分析】将方程(4—1)工一)，+24+1=0(〃£1^)化为3+2)“-1-)，+1=。(4£区)，令。的系数等于0,即可得到

答案.

【详解】(0-O-V-y+2a+\=0(aGR),.1.(x+2)a-x-y+1=0,

lx+2=O

z，解得

|-r-^+l=O[y=3

即方程(a-l)x-)，+2a+l=()(acR)所表示的直线恒过定点(-2,3).

故选：A.

15.(23-24高二上•上海奉贤・期末)直线3x-y+l=O的法向量可以为()

A.w=(3,l)B./i=(l,3)

C.??=(-1,3)D./?=(3,-1)

【答案】D

【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可.

【详解】由标-)，+1=0,可得)，=3x+l,所以直线的斜率2=3,

所以直线3%-y+1=0的方向向量为面=(1,3),

当万=(3,1)时，有示正=1X3+3X1=6HO,所以，"=(3,1)不是直线的法向量，故A不正确；

当况=(1,3)时,有乐而=IX3+1X3WO,所以，”=(1,3)不是直线的法向量，故B不正确;

当月=(一1,3)时.有示肩=1X(-1)43X3W0.所以.乃=(3,-1)不是直线的法向量,故C不正确：

当*=(3,-1)时，有率方=1x3+3、(-1)=O,所以，月二(3,-1)是直线的法向量，故D正确.

故选:D.

题型四中点坐标公式及直线所过定点

16.(23-24高二下•甘肃白银•期末)已知直线/：ar+y_a+2=0与圆C:(x-2)2+(y+l)2=9交亍两点,

则当弦最短时，直线/的方程为()

A.3x+y+l=0B.x+2y4-3=0C.2x+），=0D.x+y+l=0

【答案】D

【分析】直线/恒过定点。(1,-2),可得。点在圆。内，可得当DC时弦A8最短，利用直线的点斜式方程

可得答案.

【详解】/:«(x-l)+y+2=0,所以直线/恒过定点0(1,-2),C(2,-l),

因为(1一2『+(—2+1)2=2<9,所以。点在圆。内，

所以当Z>C_U时，弦4s最短，

,I2-1.

设直线/的斜率为底则&=2)，

所以直线/的方程为)，+2=-(X-1),即x+)，+1=0.

故选：D.

17.(2024・北京•三模)已知A(-1,0),4(1,()),若点尸满足E4J.PB,则点P到直线/:〃?(.・6)+心，-1)=()的

距离的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先确定P的轨迹以及直线/过的定点，再根据圆的性质特点求最值.

【详解】由可得点〃的轨迹为以线段A8为直线的圆，圆心为(0,0),半径为I,

又直线/:〃心-6)+/?()」1)=0，其过定点(百」)，

故距离的最大值为+l=3.

故答案为：c

18.(23-24高二上•福建福州.期末)直线/：米-)」2左+2=0(壮R)过定点Q,若尸为圆C:(x-2)2+(y-3)2=4

上任意一点，则IPQI的最大值为()

A.IB.3C.4D.2

【答案】B

【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点02,2)与圆。:*-2)2+()，-3/二4的圆心之间的距

离加半径求解

【详角翠］由/：京一)，一2女+2-0(46阳，得)，-2=A(x-2),

所以直线过定点Q（2,2）,

由C:（X—2）2+（），—3）2=4,知圆心坐标（2,3）,半径为2,

所以。到圆心的距离为d=小（2一2『+（2一3『=1<2,则。在圆内，

贝IJIPQI的最大值为d+2=3,

故选：B

19.（23-24高二上•贵州毕节•期末）若直线研1=0的斜率小于0,那么该直线不经过（）

A.笫一象限B.笫二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据直线过定点、且斜率小于。可得答案.

【详解】直线皿x4）iy1=0过定点（4,1）,

且斜率女=一根<0,

故该直线不经过第三象限.

故选：C.

20.（23-24高二上四川南充•期末）直线aL），+2=0（〃eR）与圆/+）「6y=0交于A4两点，则丛回的最

小值是（）.

A.3B.6C.2ybD.472

【答案】D

【分析】首先求出直线所过定点，再求出圆心到直线的距离的最大值，最后利用弦长公式即可得到答案.

【详解】当x=0,y=2,则直线过定点（0,2）,代入圆的方程得02+22—6x2=—8<0,则该定点在圆内，

丁+），2_6）'=0即/+（）,_3）2=9,则圆心为（0,3）,半径为/*=3,设圆心到百线的距离为d,

d的最大值为该定点到圆心的距离，即，（3-2）』=1,

=2\]r2-d~=2也-d?>因为4皿=1，

所以I"L=2M^=4J5,

故选：D.

题型五过两条直线交点的直线系方程

21.（23-24高二上•河南南阳•期末）点。为两条直线2x-3y+l=O和x+y-2=0的交点，则点P到直线/：

"_y+%+2=0的距离最大为（）

6

A.当B.75Lr•--亚---D.5

5

【答案】B

【分析】求出/）点坐标，且直线/过定点A（T,2）,当直线A/，与直线，垂直时，此时点/,到直线/的距离最大,

利用两点间的距离公式计算可得答案.

2x-3y+l=0

【详解】由，，即P(U),

x+y-2=0

直线/：虫+1）+2-），=0,所以直线过定点A（-1,2）,

所以当直线AP与直线/垂直时，此时点P到直线/的距离最大，

且最大值为|AP|=+=x/5.

故选：B.

22.（23-24高二上四川凉山•期末）经过两条直线2“一3），+10=0和3.r+4），-2=（）的交点，且垂直于直线

2x-y-l=0的直线方程为（）

A.x-2y-6=0B.x+2y-2=0

C.2x-y-3=0D.2x+y-2=0

【答案】B

【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.

f2x-3y+10=0[x=-2

【详解】由题知：二二c八，解得：°，交点（-2,2）.

直线2x-y-l=。的斜率为2,所求直线斜率为-；.

所求直线为：y-2=-l（x+2）,即x+2y-2=0.

故选:B.

23.（23・24高二上•湖南•期末）若三条不同的直线4：奴+严2=0,/2：*+广1=0,4"7+3=0不能围成

一个三角形，则a的取值集合为（）

A.{-1,1}B.{4,1}C.D.{4,-1,1）

【答案】D

【分析】分线线平行和三线共点讨论即可.

【详解】若，/〃2,则一。二一1,解得。=1.若"〃3,则一4二1，解得〃二一1.

y-1=0

若4，儿4交于一点，联立方程组《二+33解得可

代入ax+y+2=。，得一a+2+2=0,解得〃=4,故〃的取值集合为{4,一11}.

故选：D.

24.（23-24高二上•广西期末）己知两直线），=工+2%与）=-刈勺交点在圆/+）,2=8的内部，则实数%的取

值范围是（）

A.B.-2<k<2

C.-3<k<3D.-41<k<41

【答案】B

【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.

y-x+2kx=_k

【详解】由，得，,则两直线y=x+2%与y=-x的交点为（―太攵）,

[y=­xy=k

依题意得公+（-%）-<8,解得一24<2.

故选：B.

25.（23-24高二上•重庆•期末）已知直线《：〃“一y-2"?+4=0（"?wR）与直线4：工+冲一2〃7-4=0（/〃£叼相

交干点2，则产到直线x+y=o的距离d的取值范围是（）

A.[2&,4夜]B.[26,46)C.(2©4何D.[2&,3何

【答案】C

【分析】求出尸点坐标，利用点到直线的距离公式可得

4=2011+4^，再根据〃产的范围可得答案.

【W4-U

2trr-2m+4

x=------；--------

inx-y-2m+4=0in~+1

【详解】由g，町，-2,1=。’解得

2/n2+2m+4

〉'二痴+i

2m2-2m+42m2+2m+4y

可得P

nr+1nr+1

2ni2-2m+42nr+2m+4

；h

则P到直线x+'=0的距离〃-nr~+~1-----------m-~-+712闾1+2|

a=

m2+1八总L

因为1+121,所以所以

故选：C.

题型六对称问题

26.(22-23高二上•河南开封•期末)已知圆。1：“2+)，2=4与圆6关于直线2工+)，+5=()对称，则圆G的标

准方程为()

2222

A.(x+4)+(y+2)=4B.(x-4)+(y-2)=4

C.(x+2)2+(y+4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=4

【答案】A

【分析】根据题意，求得圆心Ci关于直线2x+)，+5=。的对称点，即可得到结果.

【详解】由题意可得，圆G的圆心坐标为(0,0),圆Ci和圆G的半径均为2,

设圆心G(0,0)关于直线2x+)，+5=0的对称点为C?(«〃)，

)

—ax(-2=-la.=-4

则,，解得八

、abucb=-2

2x—+—+5=0

22

所以圆G的标准方程为(x+4)2+(y+2)2=4.

故选:A

27.(23-24高二上•山东泰安・期末)点P(2,3)关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为()

A.(-3,-2)B.(-2,-3)C.(—5,-4)D.(-4,-5)

【答案】C

【分析】求出垂直于直线工+)-2=。且过点尸的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.

【详解】由题意，

在直线x+y+2=o中，斜率为—I,

垂直于直线x+y+2=0且过点P(2,3)的直线方程为y-3=lx(."2),即产x+l,

设两直线交点为A,

3

x=-

V=X+12

由，\），+2=。'解得:

>'=-

2

VW

x+y+2=。的对称点的坐标为尸(一■|x2-2,-gx2-3

・••点P(2,3)关于直线

即产（-5,f,

故选：C.

28.(23-24高二上•四川成都・期末)圆C:(kl)2+(y-l『=2关于直线，：y=x-l对称后的方程为()

A.(x-2)2+y2=2B.(X+2)2+/=2C.x2+(y-2)2=2D.x2+(y+l)2=2

【答案】A

【分析】根据J知圆的圆心求出关于直线/：y=x-i对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果.

【详解】因为圆c：a-i『+(y—「r=2,所以圆。的圆心为半径为,•=&.

设点(1,1)关于直线/：y=x-1对称的点为伍,为),

1+为=1+X0]

所以J2।2，解得：=八2，

Az!xi=-1u=o

X。-1

所以所求圆的圆心为(2,0),半径为,,=加.

故所求圆的方程为：(1-2)2+9=2.

故选:A.

29.(22-23高二上•云南临沧・期末)已知半径为3的圆C的圆心与点尸(-2,1)关于直线x-y+l=0对称，则

圆C的标准方程为()

A.(x+l)2+(y-l)2=9B.(x-l)2+(y-l)2=81

C.x2+(y+l)2=9D.x2+y2=9

【答案】C

【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3,即可求解.

【详解】设圆心坐标C(〃,力)，由圆心C与点P关于直线)，=x+l对称，

得到直线CP与y=x+i垂直，

结合y=x+l的斜率为1,得直线W的斜率为-

1

所以-----=-1,化简得。+〃+1=0①

-2-a

再由CP的中点在直线y=x+i上，¥==+屋化简得。一。T=()②

22

联立①②，可得，=0/=-1,

所以圆心C的坐标为

所以半径为3的|员IC的标准方程为f+(),+if=9.

故选：C

30.(23-24高二上•安徽黄山•期末)I员|例：*-2)2+()，-11=1与员［N关于直线x-y=0对称，则圆N的方程

为()

A.(x+l)2+(y+2)2=lB.(jr-2)2+(y+l)2=l

C.(x+2)2+(y+l)2=lD.(x-l)2+(y-2)2=l

【答案】D

【分析】根据对称性求得圆”的圆心和半径，进而求得圆N的方程.

【详解】圆M：(x-2)2+(y-l)2=l的圆心为(2,1),半径为1，

(2,1)关于直线x-»，=0的对称点是(1,2),

所以圆N的圆心是(1,2),半径是1,

所以圆N的方程为(XT)?+(>-2)2=1.

故选：D

题型七三类距离公式

31.（22-23高二下•浙江温刑期末）已知圆C：/+/=4，点。为直线工+丁-4=0上一动点，过点夕向圆C

引两条切线抬，PB,A,B为切点，则线段A8长度的最小值为（）

A.2拒B.3X/2C.4D.4上

【答案】A

41PAI________

【分析】依题作出图形，从四边形的面积分析考虑得出［4例=-^，利用|B4|=J|PCT-4将其化为

1^1=4要使|A8|最小，需使|PC|最小，即|尸。|为圆心C到直线/"+），-4=°的距离时，利

用点到直线的距离公式计算即得.

【详解】

如图，易得19=1。8|,"_1.尸0,则四边形丛圆的面积为「皿=2'3|尸人区6|=女八4冈。。|.

1^1=77^7，在Rt△尸AC中,

化衡得,代入整理得,

II

要使线段AB长度最小，只需使线段PC长度最小，而IPCI是圆心到直线/：x+y-4=0上任意点的距离,

故当且仅当尸CJL/时,即IPCI为圆心C到直线/：x+y-4=0的到离时,故例最小,

此时IPCL.哧=2壶,\AB\n,=4=20.

故选：A.

32.（23-24高二上•新疆・期末）点M（l,2）至IJ直线3x+4），-6=0的距离为（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.

【详解】点“（1，2）到直线3x+4），-6=。的距离d='二2一='

故选：D

33.（23-24高二上.江苏南京.期末）已知A8为圆。：/+）,2=4上两动点，且C4_LCB,则弦48的中点M

到直线x+y-4=0距离的最大值为（）.

A.也B.2&C.3拉D.4

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，由数形结合即可求点M到直线x+y-4=o距离的最大值.

【详解】依题意|C4|=|C8|=2,NAC8=；,所以,到=2五,

因为M为A8的中点，所以仁”|=（恒即=夜，

如图所示，过点C作直线x+丁-4=0的垂线，垂足为N,

连接MN,则圆心C到直线x+y-4=0的距离为|CN|二号=242,

因为|MNK|CN|+|CM|当且仅当CM,N三点共线时等号成立，

所以|MN|K2&+及=30,

所以|MN|的最大值为3&.

34.（23-24高二上•陕西渭南•期末）已知直线/"+），=0和圆。:。-1尸+（），-1）2=2,则直线/与圆C（）

A.相切B.相离

C.相交D.相交且过圆心

【答案】A

【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可.

【详解】由圆C：(x—1)2+()，-1)2=2,可得圆心C(l,l),半径

则圆心到直线/：x+)，=0的距离为"=存驾=&,即4=厂，

所以直线与圆相切.

故选：A.

35.(23-24高二上•山东济宁•期末)若圆/+),2=/(/>())上恰有3个点到直线工一)，+2应=。的距离为1,

则r=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求出圆心到直线x-)，+2夜=0的距离，通过与直线x-)，+2忘=0的距离为1的平行直线可得「的

大小.

2&

【详解】圆心。(0,0)到直线x-y+2夜=0的距离d==2,

VF+T

因为圆V+)，2=，(r>0)上恰有3个点到直线x-y+2忘=0的距离为1,

与直线x-y+2垃=0的距离为1的平行直线有两条，如图中虚线,

当圆丁+),2=产(,.>0)与这两条平行线中的一条有2个交点，一条相切时，可满足题意,

此时「=2+1=3.

36.(23-24高二上•重庆・期末)椭圆E:—+)，2=1的左、右焦点分别是E,F,,/>是椭圆E上的点，过〃作

4'

圆。3+(尸2)2=1的一条切线,切点为5,则|尸耳的最大值为()

A.2正B.不C.2石D.|x/3

【答案】D

【分析】由圆的性质将求|用的最大值转化为求|PQ|的最大值，再设点打苍丁)，由尸在椭圆E上消丁，建

立IPQ卜关于1的函数关系式求解最值即可.

【详解】由圆的圆心。(0,2),半径为1.

连接QP,Q5,则。"L依，且|阴=1,

则归却2=|尸叶TQM?=|PQ『一1,

故当|PQ|取最大值时，归臼最大.

2

由P在椭圆E上，设P(x,y),则、+),2=1,

4

则IP。？二犬+(),―2『=4(1-9升仁一？)?，

=一3),2一4"8=-30+|)+y(-I<y<I),

则当),=_1时，|PQ『取最大值，最大值为g,止匕时

JJ

所以网，「符=¥•

故选:D.

37.(22-23高一下•河北石家庄•期木)设〃入尺，过定点A的动直线x十，〃>=0和过定点6的动直线

3_y_“+3=o交于点P(3),则四・|P8|的最大值是()

A.5B.10C.—D.V17

2

【答案】A

【分析】易知动点A的坐标，由已知直线化为点斜式可得动点B的坐标，由两条直线垂直公式可得两条动

直线互相垂直，结合勾股定理和重要不等式可求得结果.

【详解】容易知道动直线x+ny=o过定点为A(O,O),

由小-)，一机+3=0可得y-3=制X-1),所过定点为5(1,3),

由lxm+mx(-1)=0可知两条动直线互相垂直,即R4J.*因为|叫=厢，

所以归4|2+|P3『=|A5『=10>2|PA|-|PB|,

所以期K5,当且仅当|必|=|?同=不时等号成立.

故选:A

38.(23-24高二上•安徽•阶段练习)设，〃eR过定点A的直线/+/世-〃?=()和过定点8的直线g-)」加+3=。

交于点P，则|%+21PBi的最大值为()

A.5B.26C.V10D.5及

【答案】A

【分析】首先求出定点48的坐标，然后•根据两直线垂直关系找至“尸1+俨5「=卜叫2,然后根据直线与圆

的位置关系求得|%|+21PBi的最值.

【详解】由题意可得动直线工+〃”-5=。可化为工+〃?()」1)=0,

斜率K=--->过定点4(0,1),

m

直线心一)，一加+3=0可化为〃心-1)一y+3=0,斜率&=机，过:定点3(1,3),

又因为《？白-1,故两直线垂直，

所以|PA『+|P8「=|AB|2,H[J|p^|2+|PB|2=>/52=5,

所以尸点轨迹为圆，结合圆与直线位置关系，

设PA=乂PB=乂则有『+,2='

设/=|%+2|两，则有直线方程为X+2)，T=0(XN0,)，N0),当直线与圆相切时，X+2)，T=0取得最值,

根据点到直线的距离"=9：°一!=旧，

VI2+22

解得：z=5.

故选:A.

39.(22-23高二下•陕西西安•期末)设meR,过定点A的动直线工+，”=。和过定点》的动直线

3->，-川+3=0交于点*“，)，则|%・|尸目的最大值是()

A.亚B.ViOC.5D.10

【答案】C

【分析】先求出两条直线经过的定点，然后根据两条直线的位置美系可判断它们垂直，从而在利

用勾股定理和基本不等式求解.

显然x+〃少=0过定点40,0),直线〃次-)—〃+3=0可化成,，=“仆-1)+3,则经过定点3(1,3),

根据两条直线垂直的一般式方程的条件，lx,n+/nx(-|)=0,

于是直线x+〃?.y=0和直线侬-)』〃?+3=0垂直，乂尸为两条直线的交点，则以_LP8，

又|A3|=J(1-0尸+(3-0)2=标,由勾股定理和基本不等式，

|PX|24-|ra|2=|4B|2=IO>2|P4|-|^|,则|班・|叫<5,

当|酬=|叫=后时，归4|烟的最大值是5.

故选：C

40.(2024.福建泉州.模拟预测)已知圆C:产+/+m_2尸=0关于直线八(〃+1)工一〃)，—1=0(〃=一1)对称./

与。交于A,B两点,设坐标原点为0,则|。川+|。用的最大值等于()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】首先将圆的方程化为标准式，得到圆心坐标，在求出直线过定点。(1/)，又根据对称性，可知。(11)

恰好为圆心坐标，即可求出圆的方程，在由圆过原点。(0,0),则域=|AB『，利用基本不等式计算

可得.

【详解】圆C:W+»」+〃吠一2y=0,即+乂+（y-l）2=1+—,圆心为。（一冬」，

直线/:（。+1）工一力，-1二0,因为ar—1,所以直线的斜率不为0,

又“（x-y）+（x-l）=0,令［_：］o,解得J11，即直线/恒过定点O。/），

乂圆。关于直线/对称，所以圆心C在直线/上，所以-/=1,解得帆=-2,

所以圆U（.r—l）2+（y—l）2=2,半径r=&,显然（（）-lf+（（）—1『=2,即圆C过坐标原点0（。,0）,

因为/与C交于A,B两点,即AB为直径的两个端点，

所以ZAOB=90°,所以|。4广+|OB『==（2&『=8N2\OA［\OB\,

即|Q4|.|O@W4,当且仅当1a|=|烟=2时取等号,

所以（|04|+|0雄=|Q4『+|O邸+2|Q«|O8|=8+2|Q4|.|O8®6,

即|向+|网44,当且仅当|。4|=|。回=2时取等号,

即|。川+|0同的最大值等于4.

故选：B

题型九圆的两种方程

41.（22-23高二下•河北石家庄•期末）若圆/+./+办-3=0的圆心是（1,0）,则该圆的半径为（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】C

【分析】根据圆心公式，求〃，再化简为圆的标准方程，即可求圆的半径.

【详解】由题意可知，-微二匕则。二一2,

所以圆的方程为£+y2—2%一3=0,即(X-1『+)，2=4,

所以圆的半径为2.

故选:C

42.(22-23高二上•河北保定•期末)直线/：x-)，+1=0与圆。:丁+产―2>3=0交于两点，则VAOB的

面积为()

A.GB.2C.272D.立

2

【答案】B

【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心0(1,0)作于。，分别计算|04和|A8|,

即可求得VAO5的面积.

【详解】

如图，由圆O：f+y2-2x-3=0配方得，(x-l)2+y2=4,知圆心为。(1,0),半径为2,

过点。(1,0)作OZ)_LA8于O,由。(1,0)到直线)，+1=。的距离为|。。|=爰=&,

则|人闭=2|八。|=2旧亚丫=26

故V4OA的面积为g|A8|・K»)|=；x2&xJ5=2.

故选：B.

43.(22-23高二上•北京丰台•期末)已知圆G：f+y2=［与圆G：/+),2-8X+7=0,则圆G与圆G的位置

关系是()

A.相离B.相交C.内切D.外切

【答案】D

【分析】求出两圆的圆心和半径，得至“6。2|=4="+弓，得到两圆外切.

【详解】圆6：产+），2=1的圆心为G（0,0）,半径为4=1,

222

|w|C2:x+y-8x+7=0=＞（x-4）+/=9,故圆心G（4,0），半径为与二3,

则|。£|=4=7+弓,

所以圆C1与圆G的位置关系是外切.

故选:D

44.（23-24高二上•江苏南京•期末）已知直线/:办+勿=产，圆C:/+）*=r,其中厂＞o若点尸（4向在圆c

外，则直线/与圆C的位置关系是（）.

A,相交B.相切C.相离D.相交或相切

【答案】A

【分析】求出圆心C到直线/的距离d的表达式，再由P在圆外，求出〃，人与「的关系，进而求出d与「的

关系，判断出直线/与圆的位置关系.

【详解】因为点尸（。力）在圆C外,所以可得国+从＞产,

所以直线/与圆相交.

故选:A.

45.（23-24高二上.甘肃庆阳•期末）圆M：（4-1『+丁=4与圆N:V+）尸+4—2）,=o的位置关系为（）

A.相交B.内切C.外切D.相离

【答案】A

【分析】求出两圆的圆心距，则有R-〃＜|MNkR+r,即可判断两圆位置关系.

【详解】圆M的圆心为半径为「=2：N:（x+21+（y+l）2=5,

则圆N的圆心为N（—2,-1）,半径为R=布.

两圆心之间的距离|MN|=J（l+2『+l=x/lO,

且满足R可知两圆相交.

故选：A.

题型十点与圆的位置关系

46.(23-24高二下•云南楚雄•期末)设点尸伍,0),若在圆C：/+(y-2)2=3上存在M,N两点，使得四边形

CMPN为正方形,则与=()

A.+1B.±2C.±5/2D.土^^~

2

【答案】C

【分析】根据四边形CM/W为正方形可以得出|3=指，应用两点间距离公式计算即可.

【详解】

要使得四边形CMPN为正方形，结合圆的对称性可得，满足PM/N与圆。相切，

且/MPN=；,|CM|=|CM=G所以他="，

所以父+4=6,解得/=±及.

故选:C.

47.(23-24高二上•江苏宿迁•期末)已知点在圆C：(x-a『+(y+〃)2=4的外部，若圆C上存在点N

使/CEV=60。，则正数。的取值范围为()

A.1<«<^-B.\<a<

33

C.0<«^—D.一叵Wa<-1

33

【答案】B

【分析】令过点尸的圆的切线与圆C相切的切点为例，由点。在圆C外及NCPM260。列出不等式组并求解

即得.

【详解】圆C：(x—a『+(y+a)2=4的圆心C(。,一。)，半径为