期末考前满分冲刺之压轴题-2024沪科版七年级数学上册

期末考前满分冲刺之优质压轴题

思维导

【专题过关】

类型一、几何正确结论判断

1.如图，平面内N4O6=NCa>=90°,/COE=/BOE,。尸平分乙40。，则以下结论：①

ZAOE=/DOE；@Z4OZ）+ZCOB=180o；（3）ZCOB-ZAOD=90°；（4）

NCOE+N8Of=180。.其中正确结论的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.0个

【答案】B

【分析】先根据余角的性质证明NA0C=/80D,再根据NCOK=NAO石，即可判断①正

确；fi4ffi^^+^C^=ZA(7D+ZA(X'+9(r=9(r+90o=180o,即可判断②正确：根据

Z.COB-ZAOD=ZAOC+9(f-ZAOD,且NAOCwNA。。，可判断③错误；

根据平分线的定义得出ZAOF=Z.DOF,根据ZAOE=/DOE得出

ZAOF+ZAOE=ZDOF+ZDOE=\S(r,根据NCO£=N8O£,即可判断④正确.

【详解】解：QZAOB=ZCOD=9(r,

..ZA()C+ZAOD=ABOD+ZAOD=9()°,

:.ZAOC=NBOD

⑦/COE=NBOE,

:.ZAOE=/DOE,故①正确；

ZAOD+ZCOB=ZAOD+ZAOC+9(F=900+9(F=18(F,故②正确：

ZCOI3-ZAOD=ZAOC+900-ZAOD,

而NAOCHNAOD,故③不正确；

•・•。/平分乙4。£>,

:&OF=/DOF,

^ZAOE=^DOE,

ZAOF+ZAOE=^D()F+Z.DOE=180°,即点尸、O、E共线，

•：Z.COE-ZBOE,

:.ZCOE+ZBOF=\SO0,故④正确；

综上分析可知，正确结论的个数有3个，故B正确.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了帘平分线的定义，余角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握

各角度之间的关系.

2.如图所示，8在线段AC上，且6c=346,D是线段A8的中点，石是6C的三等分点，

则下列结论：®EC=-AE,②DE=5BD,(3)BE=-(AE+BC),@AE=-(BC-AD)f

335

其中正确结论的有()

111」」

ADBEC

A.①②B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案.

【详解】解：E是的三等分点，BC=3AB,

；.EC=-I3C,AB=-BC,

33

.\AB=EC,

AB+BE—EC+BE,

AE=BC,

:.EC=-AE,

3

故①正确；

EC=-AE,

3

.\AE=3EC,

AB=EC,

AE=3AB,

・•・。是线段A8的中点,

AD=BD=-AB

2t

：.DE=AE-AD=3AB--AB=-AB

22f

DE=^x2BD=5BD,

故②正确;

•;BE=2AB,AE=3AB

：.AE+8C)=：(3A8+3AB)=3AB,

I3E=AE-AB=3AB-AB=2AB,

,BE_2AB_2

-(AE+HC)3AB3.

?1I

：.BE=-x-(AE+BC)=-z(AE+BC),

323

故③正确；

•.•BC=3AB,AD=-AB

2f

/.1(BC-AD)=组.一JA8)=3A8,

-AE=3AB,

,AE=^（BC-AD）,

故④正确；

综上，正确的有①②③④,

故选：D.

【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形

进行线段的和差计算是解题的关键.

3.如图，C为直线AB上一点，CD1CE,CF平分ZACD,CH平分NBCD,CG平分NBCE.有

下列结论：®ZACD=2ZACF；②N”CG=45。；③NFCD=/HCE；④ZACF与NBCH

互余，其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查的是角平分线的定义，互余互补的含义，熟练的利用角的和差关系进行计

算是解本题的关键；由角平分线的定义可判断①符合题意；由NZXE=90。，结合

NBCH=；NBCD,NBCG=；NBCE,可判断②符合题意；由

NFCH=90。=NFCD+NDCH,ZDCE=90°=ZECH+ZDCH,可判断③符合题意；求

解乙4。/+/8。”=180。-90。=90。，可判断④符合题意；

【详解】解：13c/平分NACO,

0ZACD=2ZACF,故①符合题意；

0CD1CE,

团N力CE=90。，

团。〃平分/BCD,CG平分4BCE.

田/BCHJ/BCD,NBCG=、NBCE,

22

0ZHCG=4BCH+/BCG=；(/BCD+ZBCF)=x90°=45°,故②符合题意;

0Z4CD=2Z4CF,NBCH=、NBCD,

2

0ZFCH=5（ZACO+/BCD）=90°=ZFCD+Z.DCH,

⑦NDCE=90P=NECH+NDCH,

团NFCD=NHCE,故③符合题意；

（3ZFCH=90%

0Z4CF+NBCH=18O°-9O°=90°,

ONAb与N8C”互余，故④符合题意；

故选D

4.如图，点。在直线A8上，OC平分/8O力，OE平分NAOO.给出下面四个结论：①

NAOE与NBOC互余:②N80E与NEO。互补；（3）ZAOD+ABOE=ZBOD+180°；（4）

ZAOC—/BOC=2NEOD.上述结论中，正确结论的序号有.

【答案】①②④

【分析】本题主要考杳角平分线的性质、余角、补角和帝度的和差关系，根据角平分线得

NBOC=NCOD和么OE=NEOD,利用平角即可判定①，结合余角和补角得定义即可判

断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角度和差关系即可判断④.

【详解】解：(3OC平分N8O。，OEt平分NAO3

BZBOC=ZCOD,ZAOE=NEOD,

加，O,B三点在同一直线上，

2NBOC+2ZAOE=2(/BOC+ZAOE)=]80。,

0Z5OC+ZAOE=9O°,

即N3OC与NAOE互余，故①正确；

财，O,B三点在同一直线上，

0ZBOE+ZAOE=18O°,

(3OE平分NAO。，

l3ZAO£=ZfcOL>,

(3N4OE+NEOD=l80。，

即N80E与NEOO互补，故②正确；

0Z40D+Z£?OD=180°,

□ZAOD+ZBOD+ZEOD=ZEOD+180°,

则ZAOD+ZBOE=NEOD+180°,

不能得到NEOD=NBOD即ZAOD+ZBOE=ZBOD+180°,

故③错误；

田/BOC=NCOD,ZAOE=ZEOD,

0ZAOC-ZBOC=ZAOD+/DOC-NBOC=ZAOD=2/EOD,故④正确；

故答案为：①②④.

5.如图，点O为线段A。外一点，M,C,8,N为4。上任意四点，连接OM,OC,OB,ON,

下列结论：

①以。为顶点的角有15个；

3

②若OM平分NAOC,OV平分ZBOD,ZAOD=5ZCOB,则NMON=5(NMOC+N8ON)；

③若M为AB的中点，N为C7)的中点，则MN=g(AO—C8)；

④若MC=CBMN=ND,则CO=2CN.

正确的是.

【答案】①②③

【分析】本题主要考查/角和线段的相关知识，正确判断角以及不同的角之间的关系成为解

题的关键.

在①中，从以04为边，以OM为边，以OC为边，以OB为边，以0V为边，数出有几个角

即可.在②中，由OM平分NAOC,ON平分4BOD,可设

Zl=Z2=a,Z3=Z4=A/5=小，再换算即可.在③中，由M为A8的中点，N为CD的

中点，得AM=：AB,ND=；CD,再换算即可.在④中，设MC=CB=x,设8N=y,

再换算即可.

【详解】解：在①中，以0A为边的角有5个，以。必为边的角有4个，以OC为边的角有

3个，以OB为边的角有2个，以QV为边的角有1个，一共有15个，故①正确.

在②中，如图，由平分NAOC,QN平分4BOD,

可设Nl=N2=a,N3=N4=尸，N5=m,

团N4OD=5NC*

02a+2//+7/7=5m,

团a+/=2m.

团/MON=N2+N5+N4=a+月+〃2=3m,

333

j(/MOC+NBON)=1(Z2+Z4)=|(«+/?)=3m

团NMON=：(NMOC+N6ON),故②正确.

在③中，团”为AA的中点，N为CO的中点，

BAM=-AB,ND=-CD,

22

^MN=AD-AM-ND=AD--(AB+CD)=AD--(AC+CB+CD)

22

=AD-^-(AD+BC)=^-(AD-BC),故③正确.

在④中，回MC=CB,

团设MC=C8=x,BN=yt

0MN=ND=2x+y,

^CD=CB+BN+ND=3x+2y,2CN=2(x+y)=2x+2y,

(36w2CN,故④错误.

综上所述，正确的①②③，

故答案为：①②③.

6.如图，在三角形ABC中，点。、E在线段8c上，力。平分/胡石，有下列说法:

①以A为顶点的角共有6个；

②以3、/）、E、。为端点的线段共有6条；

③若NE4£=60°,ZC4D=50°,则NZMC=80。：

④若3c=17,BD:CE=2AtDE=；BD+1,

则S△也）：S&ADE:S^ACE=6:4:3；

其中说法正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

【答案】①②③

【分析】本题线段、角的和与差以及角度的计算，按照一定的顺序数出以A为顶点的角即可

判断①；按照一定的顺序数出以B、D、E、C为端点的线段即可判断②；根据角平分线

定义、角的和与差计算即可判断③；根据线段的和与差计算即可判断④.

【详解】解：以A为顶点的角有：NBAD、^DAE.ZCAE./BAE、ZCAD,^BAC,

共有6个，故①正确；

以3、D、E、C为端点的线段有：BD、BE、BC、DE、DC、CE,共有6条，故②

正确；

回A。平分一明上，N8AE=60。，

0Z«AD=-Z^AE=3O°,

2

又NC4O=50°,

团ABAC=ABAD+ZCAD=80。，

故③正确；

0BD:CE=2:1,DE=-BD+\,

2

回设3£>=x,则CE='x,DE=—x+\,

22

团3C=17,

0A4-—x+l+—x=17,

22

回N=8,

0BD=8，CE=4,DE=5>

团S'S4ADE-S^ACF.=BD:DE:CE=8:5:4,

故④错误，

故答案为：①②③.

类型二、一元一次方程的应用一销售打折问题

1.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，

结果每件作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（）

A.120元B.125元C.135元D.140元

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过理解题意可知本题的等量关系，即每件

作服装仍可获利=按成本价提高40%后标价，乂以8折卖出，根据这两个等量关系，可列出

方程，再求解即可，熟练掌握读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，

列出方程是解决此题的关禳.

【详解】设这种服装每件的成本是x元，

根据题意列方程得：X+15=（X+40%X）X80%,

解这个方程得：x=\25,

则这种服装每件的成本是125元，

故选：B.

2.某件衣服在商场连续两次打8折之后的价钱为x元，则该衣服的原价为（）

△5%、4x…16x「25X

A.—B.—C.D.

452516

【答案】D

【分析】本题考查了元次方程的应用，先设商品的原价为。元，根据等量关系：售价=

原价x打折数，列出方程ax（）.8x0.8=x,求解即可得到结论，解题的关键是找到等量关系，

列出方程.

【详解】解：设商品的原价为〃元，

根据题意得：i/x0.8x0.8=x,

25

解得：。=亍工，

10

故选：D.

3.“龙行腾搬，前程崩崩”，这句独特的龙年祝福语，融合了我国古老的文化底缢以及对未

来的美好期许.春节前夕，某礼品店以80元/套的价格购进一批龙年吉祥物摆件.为了吸引

顾客，该礼品店针对这批撰件推出了“八八折后再减8元"的促销活动，要使每套摆件仍能获

利22元，则这批摆件的标价为元.

【答案】125

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键；

设这批摆件的标价％元，根据“八八折后再减8元〃销售，获利22元，列出一元一次方程求解

即可.

【详解】解：设这批摆件的标价为x元，

根据题意，得0.88火-8-80=22,

解得x=125.

故答案为：125.

4.某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利10元，则这件商品的进价是一元.

【答案】50

【分析】本题考查了一元一次方程的应用.熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.

设这件商品的进价是x元，依题意得，100x0.6-x=10,计算求解即可.

【详解】解：设这件商品的进价是r元，

依题意得，100x0.6—x=10,

解得，x=50,

故答案为：50.

5.小明爸爸装修要粉刷家里的墙面，在家装商场选购某品牌的乳胶漆：小明爸爸估算家里

的粉刷面积，若买"大桶装"，则需若干桶但还差2升；若买“小桶装”，则需多买11桶但会剩

余1升;

规格（升/桶）价格（元/桶）

大桶装18220

小桶装590

⑴小明爸爸预计墙面的粉刷需要乳胶漆多少升？

⑵十一期间商场进行促销：满1000减120元现金，并且该品牌商家对“小桶装”乳胶漆有“买4

送1〃的促销活动，小明爸打算购买"小桶装〃，比促销前节省多少钱？

⑶在（2）的条件下，商家在这次乳胶漆的买卖中，仍可盈利25%,则小桶装乳胶漆甸桶的

成本是多少元？

【答案】⑴74

⑵390元

⑶51.2元

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键；

（1）设需购买“大桶装”乳胶漆x桶，则需购买“小桶装”孔胶漆（x+11）桶，根据所需乳胶漆

体积不变，即可得出关于元的一元一次方程，解之即可得出工的值，再将其代入184+2中即

可求出结论;

（2）由（1）可知:需购买15桶“小桶装”乳胶漆，结合商家对"小桶装"乳胶漆有"买4送1〃

的促销活动可得出只需购买12桶“小桶装”乳胶漆，再利用节省钱数=促销前所需费用一促销

后所需费用，即可求出结论；

⑶设“小桶装〃乳胶漆每桶的成本是）'元，根据利用=销售收入一成本，即可得出关于）'的一

元一次方程，解之即可得出结论；

【详解】（1）解：设需购买“大桶装”乳胶漆x桶，则需购买"小桶装"乳胶

漆（工+11）桶，

依题意，得：18x+2=5（x+ll）-l,

解得：x=4,

18x+2=74

答：小明爸预计墙面的粉刷需耍乳胶漆74升；

（2）解：由（1）可知，需购买15桶“小桶装〃乳胶漆，商家对“小桶装〃乳胶漆有“买4送1〃

的促销活动，

4

•.・只需购买15X「=12（桶）

比促销前可节省15x90-（12x90-120）=390（元）

答：比促销前节省390元饯:

（3）解：设“小桶装〃乳胶漆每桶的成本是y元，

依题意，得：12x90—120—15），=15yx25%,

解得：y=51.2：

答："小桶装”乳胶漆每桶的成本是51.2元；

6.2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学.开学之际，学生对书包的需求量增力口.

市场调研：

某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：

信息一信息二

商场从厂家购进A、"两款书包，其中A款书包商场将B款书包按信息一中的进价提高

7个，8款书包5个，共付款920元，已知每个450%后标价，实际销售时再打折出售，此

款书包的进价比每个A款书包费40元.时每个8款书包仍可获利35%.

问题解决：

⑴每个A款书包的进价为一元，每个B款书包的进价为一元；

信息应用：

⑵在信息二中，3款书包实际销售时打多少折出售？

【答案】⑴60,100；

⑵在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售

【分析】本题考查了一元一次方程利润型问题，根据图标信息建立方程是解题的关键.

（1）设每个A款书包为x元，则8款书包为（X+40）元，利用A款书包的总价+8款书包的

总价=付款总额列出方程求解即可；

（2）设折扣为根据成本x（1+利润率）=售价x折扣，列出方程求解即可.

【详解】（1）解：设每个A款书包为4元，则3款书包为（x+40）元，

由题意可得：7x+5（x+40）=920,

解得：x=60,

0x+4（）=6（）+4（）=l（X）,

回每个A款书包为60元，则A款书包为100元；

（2）解：设折扣为〃

由题意可得：100(1+50%)'D.卜=100(1+35%)

解得：4=9,

团打了九折，

答：在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售

类型三、阴影部分问题

1.如图，将①和②两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中，正方形①边

长为。，正方形②边长为人，长方形长为c,宽为〃，已知图1的阴影部分周长为10,若要

求图2阴影部分的周长，只需要知道()

①②

图1图2

A.aB.bC.cD.d

【答案】A

【分析】本题考查了整式的加减的应用，根据题意图1的阴影部分周长为2(4+。-8)=10,

得出"+c-〃=5,进而得出图2的阴影部分周长=20+%，即可求解.

【详解】解：依题意，图1的阴影部分周长为2(4+c-3=10

+c—b=5,

图2的阴影部分周长为2("-a+c-“+2(d—8+c-〃)

=2(d-a+c-b+d-b+c-a)

=2(2d-2l)-2a+2c)

=+c-b+a)

=4(J+c-Z?)+4«

=20+4。

回若要求图2阴影部分的周长，只需要知道

故选：A.

2.把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长

为机，宽为〃）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②

中两块阴影部分的周长和是（）

H

u

®

A.B.4〃C.2（〃?+〃）D.2（m-n）

【答案】B

【分析】此题考查了整式的加减，根据题意正确列式是解题的关键.设小长方形的长为x,

宽为），，根据长方形的周长=2（长+宽），用x,»〃表示出两个阴影长方形的周长，再求

和即可表示出阴影部分周长之和，再化简即可.

【详解】解：设小长方形的长为斯宽为瞥

根据题意得：阴影部分周长和为2（3y+n-x）+2（x+n-3y）=6y+2〃-2x+2x+2/z-6y=4〃,

故选：B.

3.如图，长方形的一组邻边长分别为10,〃?（10＜机＜15）,在长方形的内部放置4个完全

相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形48CD和长方形EEG”.记长方形

人BC。的周长为G，长方形£尸的周长为G，对于任意的，"值，G+G的值是一个确定

的值为.

HG

m

【答案】40

【分析】设“G=a,根据题意列代数式计算即可；

本题考查了整式的加减，根据图形准确列出代数式表示用关边长是解题的关键.

【详解】解：由图可知：FG=HE,EF=2HE,

:.EF=2FG,

设FG=a,

根据题意可知EF=2a,

所以G=2(FG+EP)=&7

囚为长方形的•组邻边长分别为10,，〃，

所以8c=1()-勿，AB=m-2a,m-a=\0

所以G=2(4B+BC)=20+2m-8a,

所以G+G=20+2m-8a+6a

=20+2tn-2a

-20+2(〃?一〃)

=40.

故答案为：40

4.如图，把四张大小相同的长方形卡片(如图1)按图2、图3两种方式放在一个底面为长

方形(长比宽多3.5cm)的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图2中阴影

部分的周长为G，图3中阴影部分的周长为G，那么G比C?大cm.

【答案】7

【分析】此题主要考查整式的加减的运用，做此类题要善于观察，在第2个图形中利用割补

法进行计算，很容易计算得出结果.

此题要先设小长方形的长为“cm,宽为〃再结合图形分别得出图形2的阴影周长和图形

3的阴影周长，比较后即可求出答案.

【详解】解：设小长方形的长为acm,宽为bcm,大长方形的宽为xcm,长为(x+3.5)cm,

回图2的阴影周长为：2(x+3.5+x)=4x+7,

回图3下面阴影的周长为：2(x-2b+x+3.5-2b)t

图3上面阴影的总周长为：2(x+3.5-a+x-a),

团图3阴影的总周长C2为：2(x-2b+x+3.5-2b)+2(x+3.5—a+x-a)=8x-8万-4。+14,

又团a+2b=x+3.5,

团8工一8〃一4a+14=8X一4(。+砌+14=8.r-4(x+3.5)+14=4工，

回G-G=4工+7-4工=7(cm).

故答案为：7.

5.己知，有7个完全相网的边长为，〃、〃的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼

成1个宽为10的大长方形（如图2）,小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中.

图1图2

（1）请用含机，〃的代数式表小卜面的问题：

①大长方形的长：:②阴影A的面积：.

⑵请说明阴影A与阴影4的周长的和与，〃的取值无关.

【答案】⑴①〃?+4〃；（2）10/n-3mn

⑵见解析

【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式,

熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则.

（1）①大长方形的长为小长方形的长+上宽4的倍；②阴影A的长为胴，宽为10-3〃，

再根据长方形的面积公式求解即可；

（2）分别表示出阴影A和阴影A的长和宽，再求出阴影A和阴影8的周长和即可.

【详解】（1）解：①大长方形的长为〃2+4〃，

故答案为：〃?+4〃；

②阴影A的长为小，宽为10-3〃，

•.阴影A的面积为（10-=

故答案为：10/〃-3mn；

（2）阴影A的长为〃?，宽为10-3〃，阴影8的长为4〃，宽为10-〃?,

・•・阴影A与阴影8的周长的和为：

2（"2+10—3〃）+2（4〃+10-）

=2〃?+20-6〃+8〃+20-2m

=2/1+40

・•・阴影A与阴影8的周长的和与“的取值无关.

6.如图，长为50cm,宽为Mem)的大长方形被分割成7小块，除阴影A,8外，其余5块

是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为

<-------------------->

50

⑴从图中可知，每块小长方形较长边的长是cm(用含)，的式子表示).

(2)分别计算阴影A,B的周长(用含■y的代数式表示),并说明阴影人与阴影B的周长差

不会随着x的变化血变化.

⑶当y=5时，试比较阴影4与阴影B的面积大小.

【答案】⑴(50-3,，)

⑵阴影A的周长为(2x-10)，+100)cm,阴影H的周长为(2:+12)，-100)cm,说明见解析

⑶阴影A的面积》阴影B的面积

【分析】本题主要考查列代数式和整式加减的应用，用含％,)'的代数式表示出阴影A与阴

影3的周长和面积是解题关键.

(1)由图可知，每块小长方形较长边的长是大长方形的长减去3倍的小长方形较短边的长：

(2)阴影A的长为(50-3y)cm,宽为2y)cm,阴影B的长为3Am,宽为民-(50-3列cm,

分别求出阴影A,8的周长，再用阴影A的周长减去阴影8的周长即可求解；

(3)分别表示出阴影A,8的面积，再作差，即可求解.

【详解】(1)解：由图可知，每块小长方形较长边的长是(50-3.y)cm；

(2)解：阴影A的周长为2(50-3y+x-2y)=(2x-10y+l()0)cm,

阴影8的周长为2[3y+x-(50-3y)]=(2x+12y-l(X))cm,

则阴影A与阴影8的周长差为2x-10y+100-(2x+l2y-100)=(-22y+200)cm,

回阴影A与阴影3的周长差与工无关，

「•阴影A与阴影8的周长差不会随着x的变化而变化；

(3)解：当y=5时

阴影A的面积为(50-3.v)(x-2.y)=(50-3x5)(x-2x5)=(35.r-350)cnf,

阴影5的面积为3K%-(5O-3，)]=3x5[x-(5O-3x5)]=(l5x-525)cnf,

团(35A-350)-(15X-525)=20X+175

又团x>()

02Ox+175>O

团阴影A的面积>阴影B的面积.

类型四、日历问题

1.小明在某月的日历上圈出三个数Q,b,c,并求出它们的和是42,则这三个数在日历中的

【答案】D

【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键

【详解】解：设最小的数。=',

又寸于A选项，^=.r,Z>=.r+7,z?=.r+14,nJ■得一“斗x+7+x+14=42,

解得：X=7,故本选项不符合题意；

对于B选项，a=x,Z?=x+8,c=x+16,

x+x+8+x+16=42,

解得：x=6,故本选项不符合题意；

对于C选项，a=x,b=x+7,c=x+8,

人十八十7十八+8=42f

解得：x=9,故本选项不符合题意；

对丁D选项，«=x,/?=x-8,c=x+14

可得x+x+8+x+14=42,

20

解得：X=y,故本选项符合题意；

故选D.

2.新年将至，如图1是2023年1月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5

个代表日期的数，如图2若设交叉框中的五个数分别为ab,c,d,〃?，且〃+b+c+d=64,

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由图形可得：a+，/=2z〃，〃+c、=2/〃，代入

a+b+c+d=64即可得到关于用的一元一次方程，解方程即可求解，根据图形得到

a+4=2〃?，〃+c=2/〃是解题的关键.

【详解】解:由图可得,a+d=2m,b+c=2mf

回a+/?+c+d=64,

团2m+2〃？=64,

0/??=16,

故选：C.

3.在日历上，我们可以发现其中某此数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们

任意选择其中如图所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减,

结果都是一个常数，这个常数是一.

——

四五六日

123

Q

4678910

11121314151617

18192021222324

25262728293031

【答案】7或-7

【分析】设四个数为〃-7,。-6,a,。+1,根据已知条件列出算式，再根据运算法则求出

答案即可.

【详解】解：设四个数为a-7,a-6,a,a+1,

则(a-7)(a+l)-a(a-6)

=a2+a-7a-7-a2+6a

=-7,

a(a-6)-(a-7)(a+l)=7,

故这个常数是7或-7,

故答案为：7或-7.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.

4.下表是某月的日历，在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数如果被圈出的三个数之和

为66,则这三个数中最大的数是

日——四五六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

【答案】29

【分析】根据题意设出这三个数分别是x-7,x,x+7,歹」出方程(x-7)+x+(x+7)=66,解方程进

一步可得出答案.

【详解】解：设这三个数分别是x-7,x,x+7,

根据题意得(x-7)+x+(x+7)=66,

解得x=22,

因此x+7=29.

故答案为：29.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据己知得出(x-7)+x+(x+7)=66是解题

的关键.

5.如图是2023年一月份的日历:

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

1234567

8910II121314

15161718192021

22232425262728

293031

⑴若将"H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设"H"形框中的七个数中最中间一个数

是X,请求出“H〃形框中的七个数的和(用含x的代数式表示)；

⑵请问“H〃形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168.若能，请写出这七个数；若不

能，请说明理由；

⑶用这样的形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是

【答案】⑴

⑵不能，理由见详解

(3)140

【分析】(1)设"H"框中最中间的数为M则其他六个数为工-8,x-6,x-1,x+1,x+6,

x+8,相加即可得到答案；

(2)设"H"框中最中间的数为x,得71=168,解得x=24,最大数为32,2023年一月份的

日历中找不到这个数，即可得到结果：

(3)当*+8-28,即4:2()时，框出的七个数的和最大，再代入求值即可.

本题考杳了列代数式及一元一次方程的应用，理解题意，用含x的代数式表示其它六个数是

解题的关键.

【详解】(1)解：例设"H”框中最中间的数为M则其他六个数为X-8,x-6,x-1,x+1,

x+6,x+8,它们的和为:

x4-(x-8)4-(x-6)+(x-l)+(x+l)+(.r+6)4-(x+8)

=X+X-8+X-6+X-1+X+1+X+6+X4-8

=7x；

(2)解：设“H〃框中最中间的数为x,则由(1)可知它们的和为7X，假设和可以为168,

则7x=168,

解得x=24,

此时最大数为24+8=32,

2023年一月份的日历中找不到这个数，

团七个数的和不可能等于168；

（3）解：（32023年二月份的日历中最大的数是28,且它在第3列，

团当x+8=28,即x=2（）时，框出的七个数的和的最，最大值为7x20=140,

故答案为：140.

6.【阅读思考】在一个3x3的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数

的和都相等，得到的3x3的方格称为三阶幻方.例如图1就是一个三阶幻方.

123456

49278910111213

3574x1914151617181920

816x+7X21222324252627

28293031

图4

备用图

图5图6

⑴在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方.

⑵如图3是-一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到工=；

⑶如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个

三队幻方？如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由.

⑷如图5,每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等,

构成一个"异幻方”，现将Y,-2,-I,2,3,4、6,7填入图6构成“异幻方”，部分数据

己填入，则W-c+））“=.

【答案】（1）见解析（答案）

（2）3

（3）能，见解析

（4）-216或25

【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，抓住幻

方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.

（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可；

（2）根据规则知x+7+4x=x+19,据此求解可得x的值；

（3）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可；

（4）根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和，可

得每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等.图中有四个三角形，四个三角形上的数字相

加后，中间正方形四个顶点上的数字之和就多算了一遍，所以所给的8个数字的和除以3

即可得到每个三角形三个顶点的数字之和，代入求解即可.

【详解】（1）解：如卜.表：

612

-137

450

（2）由题意知x+7+4x=x+19,

解得人=3,

故答案为：3；

（3）解：回（3+4+5+10+11+12+17+18+19）+3=33,

团只要使每行、每列、每条对角线上的三个数的和为33即可.

（4）解：•.•每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相

等，

・•.每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等,

Q7+6+4+3+2+(-l)+(-2)+(-4)=15

.•.每个三角形的三个顶点上的数字之和15+3=5,

a+c+(-4)=5,〃+d+4=5,。+b+4+(-4)=5

a+c=9,a+d=1,〃+。=5,

•••所给的数剩下7,6,3,2,-I,-2,

«=3»b=2,c=6,d=-2或。=2,b=3,c=l,d=-\>

J-c+Z?=-2-6+2=-6sicJ-c+Z?=-1-7+3=-5,

:.(d-c+b)a=(-6)，=—216或(d—c+b)"=(—5)2=25

故答案为团-216或25.

类型五、一元一次方程的应用一一电水费问题

1.水是生命之源.为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个

月结算一次，具体执行方案如下：

用水量(吨)水费(元/吨)

不超过10吨的部分2.45

超过10吨且不超过15吨的部分3.65

超出15吨的部分4.9

另：每吨用水加收1元的城市污水处理费

小明家2020年7、8两月共缴纳水费104.95元，则7、8两月小明家共用水()

A.12吨B.18吨C.23吨D.25吨

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题

的关键.

设7、8两月小明家共用水工吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可.

【详解】解：设7、8两月小明家共用水工吨，

2.45xi0+3.65x(15-10)+4.9x(x-15)+x=104.95,解得：x=23,

经检验，x=23是原方程的解，

答：7、8两月小明家共用水23吨.

故答案为：C.

2.为提倡节约用水，政府采用“阶梯水价”收费：每户用水不超过5方，每方水费x元，超

过5方，每方加收2元，小张家今年3月份用水11方共交水费56元，根据题意列出关于x

的方程，正确的是()

A.5x+6(x-2)=56B.5x+ll(x+2)=56C.11(x4-2)=56

D.11(1+2)-5x2=56

【答案】D

【分析】分两段去计算水费，不超过5方的部分共收费5x元，超过5方的部分共收费6a+2)

元，加起来等于56元，列出方程.

【详解】解：不超过5方的部分共收费5x元，

超过5方的部分共收费(ll-5)(x+2)=6(x+2)元，

一共收费56元，

列方程：5x+6(x+2)=56,整理得1lx+12=56,

D选项11Q+2)-5x2=56,整理得1民+12=56.

故选：D.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程.

3.某城市按以下规定收取水费，用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6

吨，未超过的部分仍按每吨L2元收费，而超过的部分贝!按每吨2元收费.如果某用户5月

份的水费为平均每吨L8元，那么该用户5月份应交水费元.

【答案】43.2

【分析】本题考查/一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题FI的意思，根据题目给出的

条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

水费平均为每吨L8元大于1.2元，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部

分就是实际水费.根据这个等量关系列出方程求解，求出所用吨数，再乘以平均价格，即可

求出5月份应交水费.

【详解】解：设该用户5月份用水％吨，

则1.2x6+（x-6）x2=1.8x,

整理得：7.2+2x-12=L8x,

0.2x=4.8,

解得：x=24,

.,.1.8x24=43.2元，

答：该用户5月份应交水窕43.2元.

故答案为：43.2.

4.2019年起我国个人所得税起征点有新调整，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部

分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表累加计算：（本题不

计算规定中的抵扣部分）

全月应纳税所得额税率

不超过3000元的部分3%

超过3000元到12000元的部分10%

超过12000元到25000元的部分20%

（纳税款=应纳税所得额x对应的税率）按此规定解答下列问题：

如果小丽的爸爸三月份应缴交所得税款540元，那么他三月份的工资、薪金是元.

【答案】12500

【分析】设他三月份的T.资、薪金是汇元，先通过计算判断出小丽的爸爸三月份的应纳税所

得额超过3000元而不超过12000元，则他三月份的纳税款为

[3000x3%+10%x（.r-5000-3000）]7t，可歹1」方程3000乂3%+10%、（工一50（乂）一3000）=540,

解方程求出x的值即得到问题的答案.

【详解】解：设他三月份的工资、薪金是x元，

03OOOx3%=9O（元），3030x3%+（12000-3000）xl0%=990（元），

团应纳税所得额为3000元、12000元时的纳税款分别为90元、990元，

090元V540元V990元，

团小丽的爸爸三月份的应纳税所得额超过3000元而不超过12000元，

根据题意得3000x3%+10%x（x-5000-3000）=540,

解得.=12500,

回他三月份的工资、薪金是12500元，

故答案为：12500.

【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确

地用代数式表示小丽的爸爸三月份的纳税款是解题的关健.

5.为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如卜表所示的标准收取水费：

月用水量单价/（元/mD

不超过20m32.8

超过20m3的部分3.8

另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费

⑴如果月用水量不超过20m，那么实际每立方米收取水费元；如果7月份嘉淇家的用

水量为15m3,那么嘉淇家7月份应该缴纳水费元.

⑵如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元，那么她家8月份用水多少立方米？

⑶若嘉淇家水表9月份出现了故障，只有60%的用水量计入水表中，这样她家在9月份只

缴纳了45元水费，问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元？

【答案】⑴3；45

⑵嘉淇家8月份用水23m'.

⑶嘉淇家9月份实际应该缴水费80元.

【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相

等关系，并列出方程求解.

（1）每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费，知不超过20m3的水菰为3元八/,超过

20m，的部分水费为4元/n?,用单价乘以用水量可得此用户应缴费用；

（2）设嘉淇家8月份用水.e?,先根据费用20x3=60<72判断出用水量所处范围，再列

出方程求解可得：

（3）设嘉淇家9月份实际用水,vn?,由45<60判断出该用户上交水费的单价为3元/小，

再列出方程60%），X3=45.解之可得.

【详解】（1）解：因为每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费，

则不超过20m的水费为3元/n?,超过20m3的部分水费为4元/1/.

7月份嘉漠家的用水量为15mI嘉洪家7月份应该缴纳水费3x15=45