辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高二年级上册期中考试数学试卷（解析版）

辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年

高二上学期期中考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

I.圆/+),2-4)，=。的半径为()

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】方程f+丁-4,\，=0可化为f+(y—2)2=4,所以圆的半径为2.

故选：B.

2.已知点尸(2,0)是椭圆三+(=1(〃〉0)的一个焦点，则。=()

A.75R5C.V?D.7

【答案】C

【解析】由题意得c=2,则/=3+4=7,则〃=近.

故选：C.

3.若直线x—y—2=0与直线]一)+。=0(。>0)之间距离为2&,则。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

k-(-2)|r

【解析】由题意知，!=2j2,

#+(-1)2

又「a〉。,2=4,

解得。=2,

故选：B.

4.记点0(0,0),点。在圆(入一1『十()，-2)2=4上，则的取值范围是()

A.[行-2,石+2]B.[0,2+石]

C.12->/5,2+5^]D.[0,2+6]

【答案】A

【解析】圆(x-l)2+(y-2)2=4的圆心为。(1,2),半径/=2.

原点。(。,0)到圆心C的距腐i：|OC|=J(l—0尸+(2_0了=6>2.

因为点Q在圆上，所以|Q2|的最小值为|0。一厂=石-2,最大值为|OC|+r=石+2.

故|0@的取值范围是[6-2,75+2].

故选：A.

5.已知空间向量万二(1,3,4),6=(2,〃[,〃)，若M+方=3,则〃?〃=()

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】由已知得了+B=(3,m+3,〃+4),则值+)=59+(〃2+3)2+5+4)2=3,

即(团+3)2+(〃+4)2=0,可得"=-3,刀=-4,因此〃叫=12.

故选：C.

22

6.已知点尸是椭圆C:土+上=1上的一个动点,£,用分别是C的左、右焦点，则

167

cos/^Pg的最小值为（）

A@1

A・------B.----CiD.且

484

【答案】B

【解析】当点/＞是短轴的端点时，取得最大值，cos/^PK取得最小值,

因为c—=

所以。=4/=J7,c=J16-7=3»

所以COS/6尸6二8*£

8

故选：B.

7.已知圆“：（工一4）~+尸=4与圆%：（工+24）2+）3=9交于48两点，且直线A8经

过线段MN上靠近M的三等分点，则/=（）

4

A.1B.cTD.2

3

【答案】C

【解析】圆M的圆心为M（a,o）,半径4=2；圆N的圆心为N（-2a,0）,半径&=3.

圆心距为3时，由于两圆相交，所以1＜3同＜5，!＜同＜：,

JJ

将两圆方程相减，得公共弦AB的方程：。一。）2+/-4一[卜+24）2+），2-9]=0,

化简为-6ax--3/+5=0，即6dx+3/-5=0.

线段MN的长度为3同，靠近M的三等分点〃的坐标为（0,0）.

因为直线A3经过尸（0,0）,将其代入公共弦方程得3/—5=0,解得"二

8.已知半径为2的球0与平面。相切，球面上两点满足Q4_LOB,且点A到平面。

的距离为3,则点8到平面。距离的最大值为（）

A.2-73B.2-72c.2+及D.2-73

【答案】D

【解析】过点。得平面。的垂线为z,在平面a内作两条互相垂直的直线为MV轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则球O的方程为f+y2+（z-2）2=4,

因为点A到a的距离为3,所以设A的坐标为（毛,为，3），所以x：+y；=3,

设〃的坐标为（％，X，zJ,则。月二（芭,y,Z]—2）,OA=（七,%』），

因为所以0乂_1_0方，所以况.痂=0，

所以与芭+）bX+4-2=0,所以为5+先y=2-4，

乂由平面向量知识可得I/X]+%），]归Jx；+y：•+y；,

所以|2-zjwJr；+y；.Jx；十y；二6.荷+#，

又因为|砺卜2,所以不；+3=4—（2—Z|『，

所以|2—zJ«g.j4—（2—zj2，两边平方得（2-zj2w3[4-（2-zj[,

所以4（2—zj2W12,所以（Z]一2『W3,

解得一x^WZ1-2《百，所以2-百WZ]v2+6，

所以点B到平面a距离的最大值为2+6.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4：6-2），+1=。与/2:31+（4—5）>-4=0平行：，则。的值可以是（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】BC

【解析】由已知两条直线平行，则。3-5）=-6,可得/-5〃+6=（。-2）（〃-3）=0,

所以。=2或a=3,

14

当a=2时，Z,:x-y+-=O,l:x-y一一=0,满足题设，

223

当。=3时，（：3x—2y+l=0,/2:3x-2y-4=0,满足题设，

所以。可以是2或3.

故选：BC.

10.已知椭圆。的两焦点分别为£（-1,0）,名（3,0）,若点4（3,3）在C的内部，点例1,6）

在C的外部，则C的离心率可能是（）

JJo112

A.B.-C.gD.-

9323

【答案】AB

【解析】由椭圆焦点耳（一1,0）,6（3,0）,得椭圆中心为（1,0）,c=2.

设椭圆方程为士+[=其中〃2=〃2一4.

a~b~

因为点8（1,6）在椭圆外部，所以1z>l，

因/_4>0，故。2<40，即。<2厢.

4Q

因为点A（3,3）在椭圆内剖，所以下+了二通分整理得/T7/+i6>0,

因式分解得卜/一1）（/一16）>0.

因〃>c=2,故,『>16,即。>4.

—111

综上，4<〃<2而，砺W

离心率e=—=一,则<e<—•

aa102

所以AB选项符合，CD选项不符合

故选：AB.

II.已知高为2的斜三棱柱4BC-A4G中，G在底面ABC上的射影为点P,且四边形

AC陟是边长为2的正方形.设M,N分别为44，A4的中点，则（）

A.MNA.BC

B.A3_L平面CGM

2

C.三棱锥4-BCN的体积为一

3

D.直线8G与直线AN所成角的余弦值为亚

3

【答案】BCD

【解析】正方形AC3P的边长为2,则VABC是以。为直角顶点的等腰直角三角形.

以点C为原点，以画的方向分别为x轴，y轴正方向，

过点。且垂宜于底面A8C的直线为z轴，向上为z轴正方向建立空间直角坐标系，如

图，

则C（0,0,0）,4（020）,8（2,0,0）,由四边形4cBp是正方形，得尸（2,2,0）,

因为顶点G在底面ABC上的射影是点儿且棱柱的高为2,所以G（2,2,2）.

故兀=福=函=（2,2,2）,则A（242）,4（4,2,2）,则M（3,3,2）,N（1,3,1）,

则砺二（-2,0,-1）,丽=（2,0,0）,旃•丽=TwO,

故直线"N与8c不垂直，A错误.

由A月=（2,-2,0）,乱/二（3,3,2）.设平面。。也的法向量为万=«%2）.

由》・CC；=0,得x+y+z=。，

由力•两=0，得3x+3y+2z=0,取y=l,得万=（一1』,0）.

由于须=一2•万，因此向量AQ与万共线，也即直线AB垂直于平面C0M,B正确.

三棱锥A—3CN的体积等价于三棱锥N—A6c的体积，SJBC=-xACxBC=2,

三棱锥N—八4c的高即N（l,3,l）到平面A3C的距离，等于1.

12

故匕-8CN=%-A8c=3X2X1=］，C正确•

=（0,2,2）,^v=（-i,设直线8a与AN的夹角为小

|Bq-^vl|-4|瓜…

贝！）cos。=,~=□=-7=—尸=――,故D正确.

BC】•ANJ8xj33

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.圆产+），2-2办="+1（其中。£氏）的周长的取值范围为.

【答案】［2兀+8）.

【解析】将圆的方程化为标准形式：*一。）2+），2=2"+1,则半径厂=亚/71.

I回的周长。=2兀〃=2Tt\j2a2+1-

因为aeR,所以2c『+l21，即五百721，故C22Tl.

故答案为：［2兀,+8）.

13.在平面直角坐标系xOy中，己知动点RQ分别在九轴、》轴上，M是线段PQ上靠近2

的三等分点，N为M关于x轴的对称点.若,。0。河=-3,则点”的轨迹方程为.

【答案】—+/=1

2

（3x、

【解析】设“■），），M是线段P。上靠近P的三等分点，则。（0,3y）,P—,0L

IJ/

N为〃关于x轴的对称点.则N（x,一），）,

所以PQ==（匹-y）

若闻•丽=-3,则一］/一3），2=-3,即,+y2=i；

则点M的轨迹方程为：三+）1=1.

2

2

故答案为：•^~+）J=：］.

14.在平面直角坐标系xOy中，直线依一丁一。二0过定点/W,点尸在直线x=2上，则

tan^OPM的最大值为.

【答案】巨

4

【解析】直线可表示为。（工-1）一y=0,可知其过定点M（LO）.

设P（2j）,设4（2,0）,注意到=

tan/PMA-tan/POM

则MnNOPM=tan(NPMA-NPO4।1+tanZPAM•tanZPOM

而tanZPAM=—^―=1/,tanZPOM

9

2-112-02

i"小驯kl

故阿/。则=]+4『卜+2,

2例|4'

于是tan/OPM<|tanZOPM|<—，当且仅当/=±、历时，等号成立,

u.

故答案为：XZ.

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.在VA8C中，A（2,0）I（-1,0）,C（-1,6）.

（1）求NA8c的平分线所在直线的斜截式方程；

（2）求AC边上的高所在直线的一般式方程.

解.：（I）由A（2,0）,3（—l,0）,C（—l,6）,易得直线AB的斜率为0,故其方程为

储：尸。，

直线8c的斜率不存在，故其方程为，8C：X=-1，可得A8_L3C,

易知/ABC平分线所在直线的倾斜角为色，又经过点8,则其方程为y=x+l,

4

故ZABC的平分线所在直线的斜截式方程为y=x+1.

（2）由A（2,0）,B（-l,0）,C（-l,6）可得直线AC的斜率kAC=与之=-2,

故AC边上的高所在直线的斜率——=g,

又所求直线经过点3（-1,0）,故其方程为y-0=g（x+l）,

故AC边上的高所在直线的〜般式方程为x—2），+1=0.

22

16.已知椭圆0：?十三=1的左、右焦点分别为R，E，直线/:）=4（“一4）（〃/0）交

C于RQ两点.

（1）若A是C上一动点，求△人£苍的周长；

（2）探究|Pg|=|Q段是否成立，若成立，求出/的方程；若不成立，请说明理由.

解：（I）由题意得，椭圆的长半轴长。=2,短半轴长力=半焦距c=彳=1，

所以耳弱的周长为川+|4段+忻用=2a+2c=4+2=6.

42212=1

⑵假定附|二|四成立，设PQ/JQ（孙％），由了‘丁，

y=A:（x-4）

得（4二+3）f-32公工+6422一］2=0,

则/=（一32攵2）2—16（4公+3）（16々2—3）＞0,解得一3＜女＜。或。＜左，

口32k264公一12

且F+hEf=卞3，

%_16k212k

设P。的中点为加(不,%)，则不二%=%(%-4)=

2—止+34公+3

而6(1,0),由归居|=|。居|得MK,PQ,

12k

则&"+=斐+3=4,整理得4M_]=&2,

x0-116Kk

4公+3

此方程无解，所以结论周=|。叫不成立.

17.在平面直角坐标系xOy中，过点(-2,0)的直线/与圆M:(工一+/=9a2(〃>0)交

于两点，|A却=4口.

(I)若。=2,求/的斜率;

(2)若/的斜率为X2,求△。48的面积.

4

解：(1)若/的斜率为0,则1=6。〉4亿，不合题意.

故设/的方程为X二"y—2,点M到直线I的距离d=J9a2-5四|

\乙

16f+214

又公即—=2,解得〃,=±G

故/的斜率攵=±立.

3

(2)由题知m=2&./:x-2正)，+2=0.

,|a+211.

此时点M到直线/的距离4=",+Q/]=§(〃+2)=〃,解得々=1.

f|0-0+2|2

而点。到/的距离人加十(2扬「5,

又|A8|=4&,故△045的面积S=g|AB"?二gx4拉乂|二孚.

18.如图，四边形A8CD是边长为2、中心为0的正方形，。为平面A5CO外一动点，满

Q

足平面平面A8CD，且四棱锥P—A5CD的体积为设线段尸。的中点为M,Q

为线段所上一动点(不包含端点〃).

(1)证明：0M//平面PAO；

(2)求直线8W与平面。PQ所成角的最大值.

(1)证明：由题意，得0为AC的中点，且点M是线段PC的中点，

故OM是△P4C的中位线，故OMHPA.

乂P4u平面PAO，而。M(Z平面PAO,故。例//平面%£).

(2)解：如图，以点A为坐标原点，而，砺的方向分别为x,y轴正方向,

垂直于平面A3CO向上的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系,

由题意可知,A(0,0,0),6(020),0(2,0,0),。(2,2,0),。(1,1,0).

设四棱锥产一438的高为人由体积公式易有号=1X22./2,解得〃=2.

33

又平面PA5_L平面A8C。，且平面QABc平面A3CD=A3,

故点P在xQv平面内的投影落在直线AB上.

(t+2,1),丽=(1,守、

设点尸(0/2),reR,则呵1,丁

由题，。为线段所上一点，因此点P，。，3三点共线，

即等价于求直线BM与平面PHD所成角的最大值，

设平面P8D的法向量为％=3,b,c).又瓦=(-2,2,0),DP=(—2/2).

n•DB=0[—2a-2b=0

则___即〈CC，

n1DP=0[-2a-tb+2c=0

令。=2,可得平面。8。的一个法向量3=(2,2,2-，).

设直线BM与平面尸8。所成的角为仇

.八244

则\BM\\n\1〃_4/+]2・〃_4/+12--々+12(Z-2)2+8-

2

故当，=2时，。一2）2+8取得最小值8,此时sin。取得最大值

又由正弦函数单调性可知，此时。取得最大值二，

,2J6

TT

即直线BM与平面DPQ所成角的最大值为-.

6

22

19.已知椭圆c：「+与=1(t/>/?>0)的右焦点为尸，右顶点为A，且点A在圆

a2