七年级数学专项提升：有理数的乘法（解析版）

专题08.有理数的乘法

素养目标

1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算;

2.理解倒数的意义，并能求出己知数的倒数：

3.掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算:

4.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便：

5.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。

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题型探究

题型1、有理数乘法法则的辨析...................................................................3

题型2、利用有理数乘法的符号班别...............................................................5

题型3、有理数的乘法运算.......................................................................7

题型4、有理数乘法运算律.......................................................................8

题型5、有理数乘法的实际应用..................................................................13

题型6、有理数乘法的新定义问题................................................................16

题型7、倒数的概念与运用......................................................................18

培优精练

A组（能力提升）...............................................................................21

B组（培优拓展）...............................................................................27

新课轻松学

【思考1】2024年6月15口将在德国举行第17届欧洲杯，法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯，沿一条东西

方问的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记姆巴佩在跑道上的某一位置为点O,那么在点。的3秒后、2

秒后、1秒后、0秒、I秒前、2秒前、3秒前，他位丁点O的哪个方向？相距多少米？

提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。

O

【乘除号的历史】你知道吗，以符号“X”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德

首创的。奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。他

是在其著作《数学之钥》中首次以“X”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。

在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号了，除法符号“一”率先是英国的沃利斯最初使

用的，后来在英国和全世界得到了推广。

1____/

.公知识梳理

1.有理数的乘法

有理数乘法法则：(下列法则中。、〃为正有理数，C为任意有理数)

两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝时值的积。任何数同0相乘，都得0，

BP：(+6f)x(+Z?)=ab\(-6f)x(—/?)=ab；ax(-b)=_ab；；(一a)xb=-ab；；0xc=0o

有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。

有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘-1。

多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积

为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0。

多个有理数相乘的运算步骤，先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。

2.有理数乘法运算律

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，枳不变。即：ab="

乘法结合律：•般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

即：abc=（«/?）c=a（bc）o

乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相荚，等于把这个数分别与这两人数相乘，再

把积相加。即：a（b+c）=ab+ac,

注意：I）当用字母表示乘数时，*x”号可以写为“♦”或省略；

2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果；

3）公式的正用与逆用。

3.倒数

I）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。

2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）0没有倒数。（3；互为倒数的

两个数的乘积一定是1,即〃，〃互为倒数，则ax〃=l；反之亦然.

3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可,

（1）非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。

注意：（1）注意是乘枳为1,要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的;

（3）倒数等于本身的数有：1、

—\

题型探究

题型1、有理数乘法法则的辨析

【解题技巧】有理数乘法的法则

①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同零相乘，都得0.

③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个

时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

例I.（2023•重庆七年级期中考）下列说法中正确的有（）

①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数。、b互为相反数，它们的积一定为负：④

四个有理数相乘，若有三个负因数，则枳为负。

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可.

【详解】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；

②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；

③数。、〃互为相反数，它们的积不一定为负，如。、〃都为0,它们互为相反数，但它们的积为0,不为负，

该小题说法错误；④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该小题说法错误；

故选：A.

变式I.（2023・广东•七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为

相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两

个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】根据数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可.

【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误；

②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数：故原命题错误；

③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确；

④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；

⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误.・••正确的有2个；故选：A.

【点睛】此题考查了数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，

注意概念的掌握，及特殊例子的记忆.

变式2.（2023•浙江•七年级校考阶段练习）若"c=O,则下列选项正确的是（）

A.a,b,c没有一个为0B.a,b,c只有一个为0C.a,b,c至少一个为0D.a,b,c三个都为0

【答案】C

【分析】根据任何数同零相乘，都得0，依此即可求解.

【详解】解：根据任何数同零相乘，都得0，

?'i-abc=0,则a,b,c至少有一个为0,故选：C.

【点睹】本题考查根据任何数同零相乘，都得零，正确理解题总是解题的关键.

题型2、利用有理数乘法的符号辨别

【解题技巧】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数

个时，积为负；当负因数有偶数个时，枳为正.②几个数相乘，有一个因数为0,枳就为0.

例I.(23-24七年级上.吉林长春•期中)下列式子中，积的符号为负的是()

A-卜扑居卜⑹B.(-9)*(+扑卜加+7)f；

C.(-3)X^-^X(+7)XOD.鸟)x(+6)x(-g)x(-5)x(-j

【答案】B

【分析】本题考查有理数的乘法法则，根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数

个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零.根

据法则即可以准确判断答案.

【详解】解：A、有两个负因数，积为正，故A错误，不符合题意.

B、有三个负因数，积为负，故B正确，符合题意.

C、有一个因数0,积为0,故C错误，不符合题意.

D、有四个负因数，积为正，故D错误，不符合题意.故选：B.

例2.(23-24七年级上•安徽亳州•阶段练习)若则。与〃的积()

A.一定大于0B.一定小于()C.一定不为0D.不确定

【答案】D

【分析】根据有理数的加法与乘法运算法则进行判断即可；

【详解】解：・・"+b>0，

・"与b同为正数或。与人异号，且正数的绝对值较大或〃与b中有一个数为0,

・•・〃与人的积可能大于0,也可能小于0,也可能等于0,故选：D.

【点睛】该题主要考查了有理数的加法运算以及乘法运算，解题的关键是判断“与匕的符号.

变式I.(2023•湖北•七年级统考期中)下列算式中，积为负数的是()

A.0x(-5)B.4x(-0.2)x(-10)C.(-1.5)x(-2)D.

【答案】D

【分析】根据几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，任何数乘0,都

得0,进行判断即可.

【详解】解：0x(-5)=。，不符合题意；B、4x(-0,2)x(-10),2个负号，积为正数，不符合题意；

C、(-1.5)x(-2),2个负号，积为正数，不符合题意;

D、（—3）x3个负号，积为负数，符合题意：故选D.

【点睛】本题考查有理数乘法的符号法则.熟练掌握同号为正，异号为负，任何数乘0,都得()，以及几个

非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，是解题的关键.

变式2.(2023・河北•七年级校考阶段练习)如图，A8两点在数轴上表示的数分别是a,b,下列式子成

立的是()

____________IBIII”>

・1601a

A.ab>0B.a+b>0C.(«-l)(/?+l)<0D.(«+l)(Z?-l)>0

【答案】B

【分析】先根据数轴确定〃b的取值范围，再逐一判定即可解答.

【详解】解：由数轴可得:-l<A<O<l<a,

/.ab<0>a+b>0,(a-+1)<0,故选：B.

【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a,b的取值范围.

变式3.(2023•江苏南京・统考二模)如图，在数轴上，点A,8分别表示实数b,C是线段A3的中点.若

|«|>且必<0,则原点在()

BCA

-------111---------->

b-------a

A.点A的右边B.点B的左边C.线段8C上D.线段C4上

【答案】C

【分析】根据有理数的乘法法则得出再根据绝对值的意义可得A离原点距禽大于8离原点距高，

即可得出结论.

【详解】解：:a〃<0，和。异号，则。>0〉〃，

••1。|>例，・・・A离原点距离大于3离原点距离，・•・原点在线段上，故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法，解题的关键是掌握：两数相乘，同号得正，异号得负.

题型3、有理数的乘法运算

【解题技巧】根据有理数乘法的法则计算即可。

例I.(23-24七年级上.山东济南・期末)(-3)x(7)的值是()

A.12B.7C.-12D.-7

【答案】A

【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异弓得负，并

把绝对值相乘，直接计算即可.

【详解】解：(-3)x(-4)=12,故选：A.

例2.(23-24七年级上•浙江杭州•期中)把-6表示成两个整数的积，共出现的可能性有()

A.2种B.3种C.4种D.5种

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的乘法及可能性的大小的知识，分解质因数，比较简单.

【详解】解：」？6-6,

-203-6,

-3x2=-6,

lx(-6)=-6.

综上分析可知，共4种.故选：C.

例3.(23-24七年级上•安徽淮北•阶段练习)下列计算结果最大的是()

A.(-1)X3X4X(-2)B.(-5)x(-3)x4x(-2)

C.2x(-6)x(-8)x(-4)D.2024x(-13)x(-l4)x0

【答案】A

【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小.先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数

大于0,。大于负数，进行判断即可.

【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B,C选项中的积为负数，D选项的积为0,

，计算结果最大的是选项A.故选A.

变式1.(23・24七年级上•浙江温州・期末)计算：4{-1=.

【答案】-6

【分析】本题考查有理数的乘法运算，先确定符号(两数相乘，同号为正，异号为负)，然后把绝对值相

乘.

【详解】解：4x(-|j=-4x|=-6

故答案为：-6.

变式2.(2023七年级上•上海・专题练习)计算：-4|X^-2£=.

【答案】10

【分析】本题主要考查了有理数的乘法，将带分数化成假分数后，利用有理数的乘法法则运算即可，利用

有理数的乘法法则首先确定积的符号，这是解题的关键.

2(|4(15、

【详解】解：-4-x-2-=--K--=10,

JI/)J\'z

故答案为：10.

变式3.(2023•云南•七年级校考期中)在-2,3,-4,-5,6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大

的是()

A.10B.30C.20D.18

【答案】C

【分析】根据两数相乘，同号得正，又正数大于负数，所以(-4)x(-5)=20最大.

【详解】因为正数大于负数，选格同号且绝对值的积较大的两数相乘，只有(-4)x(-5)=20最大.故选：C.

【点睛】本题考查有理数大小比较，有理数乘法，解题的关键是多次尝试.

题型4、有理数乘法运算律

【解题技巧】运用运算律的一些技巧：

①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：ixlxl()o

3

②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：L2x±。

7

52

③带分数应先化为假分数的形式。如：1±

73

1234

④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；-X-X-X-.

2345

⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：I2x(1+1+1)0

234

例I.(22-24七年级上•山西朔卅期中)阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算.

逆用乘法分配律解题

我们知道，乘法分配律是a（〃+c）=a〃+ac,反过来+=这就是说，当〃。+伙?中有相同的。

时，我们可以逆用乘法分配律得到必+"=。（〃+。），进而可使运算简便.例如：计算-：x23-：xl7,若

OO

利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有-：，因此逆用乘法分配律可得

8

-|x23-1xl7=4x(23+17)=-jx40=-25,这样计算就简便得多

OOOO

3(6)2

计算：(1)-29x588+28x588；(2)-2023x-+2023x--+2°23x弓;

77

(3)(-47.65)x2-^-+(-37.15)x(-265、

+10.5x—7—.

IllJ

【答案】⑴-588⑵-2023(3)-105

【分析】（1）逆用分配律把原式化为588（-29+28）,再计算即可:

（2）逆用分配律把原式化为20231^号+^

,再计算即可;

（3）本题考查了有理数的混合运算，逆用乘法分配律计算即可.

【详解】（1）解：-29x588+28x588

=588(-29+28)

=588x(-))

=-588；

6

(2)-2023x-+2023x+2023x-

77

362、

=2023--------

177F—7；

2023x(-1)

=-2023.

⑶(-47.65)x2-^6-+(-37.l5)xf-26-^U10.5xf-7-^

11II

82

=(-47.65+37.15)x竺+10.5X卫

11

28I”(82

I=nc-IO.5x—+10.5x----

11

’2882

=-IO.5x一十一

(1111

=-10,5x112

II

=-105.

【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟练的利用乘法分配律进行简便运算是解本题的关键.

例2.(2023秋•云南红河•七年级统考期末)在简便运算时，把12x(-999秒)变形成最合适的形式是(

)

A.12x(-1000+-!-]B.12x1-1000—，1C.l2xf-999--D.12xf-999+—1

【12J[12；I12；12；

【答案】A

【分析】根据乘法分配律解答即可.

(11\<1)1

【详解】A.12x-999—=12x-1000+—=12x(-1000)+12x—B.变形错误;

\12/k12J12

密=12x1999-苹J=12x(-999)-12x12；

C.12x-999

D.变形错误；显然A比C计算简单.故选A.

【点睛】本题考查了有理数的简便运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键.

例3.(2023•广东•七年级校考期中)用简便方法计算：

(l)4x(-198)x(-0.25)x±⑵卜(+(-旨x(24)

⑶-5x-7；)+7x卜7g一(一12)x(-7；(4)99^x(-36)

【答案】⑴2(2)—12(3)0(4)—3599；

【分析】(1)利用乘法的交换律求解即可；⑵利用乘法分配律求解即可；⑶利用乘法分配律的逆运

算求解即可；(4)把原式变形为1100-专卜(-36),然后利用乘法分配律求解即可；

【详解】⑴解：原式=[4x(-0.25)]x(T98x表)

=7x(—2)

=2；

(2)解：原式=」7x24+'3x24-1x24

6412

=-28+18-2

=-12：

(3)解:原式=(-5+7+12乂-7；)

=0；

（4）解：原式=（100-'上（一36）

=100x（—36）x（—36）

=-3600+-

2

=-3599-.

2

【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键.

变式1.（23-24七年级上.浙江台州•阶段练习）给下面的计算过程标明理由：

L3

(―36)xJ-9+T2-4

145

=(_36)X-+36X--36X-

=-12+16-154-27()

=-12-15+16+27()

=(-12-15)+(16+27)

=-27+43

【答案】见解析

【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法的运算律.运用乘法的运算律进行简便计算，即可作答.

【详解】解:（-36）xfl-l+A_2）

1453

=（-36）x-+36x--36x-^+36x^-（乘法分配律）

=-12+16-15+27（有理数的乘法运算）

=-12-15+16+27（有理数的加法交换律）

=(-12-15)+(16+27)

=-27+43.

变式2.（2023•浙江年级期中）计算:

（吁。（-2»阊（呜备2一„36）

【答案】（1）手（2）79（3）0

【分析】（I）根据有理数的乘法进行计算即可求解；（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解;

（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解.

【详解】⑴解：卜、卜(_2.3)(+却

9238

=-x——X—

4109

_23

■•

⑵解：信-却-扑日)

\y12o)

75|1

=,X(-36)--X(-36)+2X(-36)--x(-36)

=-28+15-72+66

=-100+81

=-19

=0

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键.

变式3.（2023•江苏七年级期中）利用运算律做较简便的计算:

8J___1_3_\_

x(-48)；(3)7.307x(-14)+7.307x(-10)+7.307x(+24).

I12-364-6

ro

【答案】（1）-3（2）-彳（3）0

【分析】（1）将小数化为分数,再利用乘法结合律计算;

（2）利用乘法分配律展开计算；（3）利用乘法分配律合并计算.

1131

=—x48+—x48一一x48+-x48

123646

4

=4+一一36+8

3

68

=----

3，

(3)7.307x(-14)+7.307x(-10)+7.307x(+24)

=7.307x(-14-10+24)

=7.307x0

=0

【点睛】本题主要考查了乘法运算律，解答的关键是掌握乘法结合律和分配律.

题型5、有理数乘法的实际应用

【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法

并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。

例I.（2024•北京平谷•一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A,B,C,D,E,f六道工

序，其中A,B是前期准备阶段，C,。，E是中期制作阶段，产为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变

顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：

阶段准备阶段中期制作阶段扫尾阶段

工序ABCDEF

所需时间/分钟1115201763

加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元100701008050不能缩短

在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30

分钟.每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是元.

【答案】38750

【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键.求出各个阶段的工序最长时间和即可

求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短4分钟，在制作阶段若缩短3分钟，最后1分钟则

看两个阶段谁投入的费用少，即可求解.

【详解】解：•,一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行，

则加工该件艺术品最少需要：15+20+3=38（分钟）；

需将加工时间缩短到30分钟，则共需要缩短8分钟，

在准备阶段若缩短4分钟，则需要投入4x70=280（元），

在制作阶段若缩短3分钟，则需要投入3x100=300（元），

还要1分钟，在准备阶段缩短1分钟需要投入100+70=170（元），在制作阶段缩短1分钟需要投入

100+80=180（元）,170<180,

综上，最少投入为：280+300+170=750（元），

故答案为：38,750.

例2.（23-24七年级上.黑龙江•阶段练习）萧红中学九年级12支班级篮球队预计在三月份举行校级篮球友

谊赛，球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为_______场.

【答案】66

【分析】本题考查了有理数混合运算的应用.12支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（12-1）场，则

两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛;X12X（I2-1）场，解方程即可求解.

【详解】解：12支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：1x12x（12-l）=66.故答案为：66.

变式1.（23-24七年级上•广东韶关•期中）如图，一玻璃柜的主视图形状是长（A8）1.5米、宽（8C）1

米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为0.1m,则需要的玻璃总面积为平方米.

BC

【答案】1.17

【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据总面积=（长一木框架宽x2）x（宽-木框架宽）求解

即可.

【详解】解：（1.5-0.1x2）x（l-0.1）=1.17（平方米），

故答案为：1.17.

变式2.（23・24七年级上•浙江温州•期中）根据以下素材，探索完成任务.

如何规划游玩路线？

温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km（含4km）,4至28km（含28km）

每1元可乘4km（不足4km摸1不算）.如:桐岭站到动车南站共5.3km,收费3元.部分站点距离见

素下图（单位：km）

2.23.15.52.21.92.72.05.12.03.1

材1O----O---O------O----O---O-----O----O---O-----O----O

桐潘动新德龙惠三龙科瑶

岭桥车桥政霞民坤腾技溪

南路路湿路城

素

一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米（含1.2米）的儿童乘车.

材2

素小明一家四口将乘坐轻轨出游.小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高1.5米）、弟弟

材3（身高1.1米）、爸爸、妈妈.

问题解决

分任务1从新桥站到桐岭站为_____km,单人单程乘坐需车费_______元.

析

规

任务2小明一家乘坐轻凯从新桥站到三洋湿地站，需要多少车费.

划

确

定小明一家从新桥站出发，计划共•用•30元车费出行（往•返•），请你为小明一家规划一个尽•可•

任务3

方熊年的游玩站点，并说明理由.

案

【答案】任务1：10.8；4；任务2：12元；任务3：最远游玩站点是科技城，理由见解析

【分析】本题考查有理数混合运算的应用，

任务I：依据题意，根据所给素材I进行计算可以得解；

任务2：依据题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算可以得解；

任务3：依据题意，单程费用15元，由于弟弟免费乘车，从而每人5元，起步价2元可乘4km,3兀可乘

3x4=12（km）,故可求出最远可行公里数，进而可以判断得解；

正确理解题意列出算式并熟练运用运算法则是解题的关键.

【详解】解：任务1:由题意，

从新桥站到桐岭站为：5.5+3.1+12=10.8（km）,

此时单人单程乘坐需车费：2+1+1=4（元），

故答案为：108；4：

任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：

从新桥站到三坪湿地站的里程为：2.2+1.9+2.7+2.0=8.8（km）,

・•・需要车费为：（2+l+l）x3=12（元）；

・•・小明一家乘坐轻轨从新桥站到三洋湿地站，需要12元车费；

任务3：最远游玩站点是科技城.

理由：由题意，单程费用15元，曰于弟弟免费乘车，

・•・一家三口每人5元，

•.,起步价2元可乘4km,，3元可乘3x4=12（km）,・•.最远可行16km,

••响桐岭方向里程为10.8km,

・•・向瑶溪方向：2.24-1.9+2.7+2.0+5.1+2.0=15.9（km）,即最远游玩站点是科技城.

题型6、有理数乘法的新定义问题

【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，

要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分

为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查

考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与己学知识

联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.

例I.（23-24七年级上.四川内江.阶段练习）规定〃凶匕=而-1,则（-2）®（-3）③（T）的值等于（）

A.5B.-21C.-7D.-21或-7

【答案】B

【分析】根据定义计算即可.

【详解】解：(-2)0(-3)®(-4)=j-2)x(-3)-l]®(-4)=5®(-4)=5x(-4)-l=-21,故选：B.

【点睛】本题考查新定义理解问题，理解定义算法是关键.

ab1-1-2|

例2.(2023秋•湖南娄底•七年级校联考期末)若定义一种新运算，规定,="/-从，则。1=______.

cd|34|

【答案】2

【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.

b12

【详解】解：d^ad-hc,.-.F~|=-1X4-(-2)X3=2,故答案为：2.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

变式I.(2023秋•重庆万州•七年级统考期末)定义一种新运射③”，规定：。售劝等式右边的运算

就是加、减、乘、除四则运算，例如：20(-3)=2X2-3X(-3)=4+9=13,102=2X1-3X2=2-6=-4.则

(-1)®[3③(―2)」的值是().

A.—2B.—18C.-28D.—38

【答案】D

【分析】根据新运算的运算法则，先计算3③(-2),再计算(-1)矶3钏-2)]即可得解.

【详解】解：由题意，得：30(-2)=2X3-3X(-2)=12,

A(-1)®[3®(-2)]=(-1)@12=2X(-1)-3X12=-38；故选D.

【点睛】本题考查定义新运算.理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键.

变式2.(2023・浙江七年级校考期中)小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数”和〃，规

定々☆〃="(麻1).小尚同学尝试计算2匆-3)=2x(-3)x[(-3)+l]=12,现在请小志同学计算(―2)+7=—

【答案】T12

【分析】根据新定义的含义可得(-2)仝7=(—2)x7x(7+l),再计算即口J.

【详解】解：•••♦☆b="(b+l),,・・(-2)M=(-2)x7x(7+l)=T4x8=T12,故答案为：-112.

【点睛】本题考查的是新定义运算，理解新定义的含义，再列出正确的运算式是解本题的关键.

变式3.(2022秋・浙江湖州•七年级校联考阶段练习)记符号国表示不超过工的最大整数，如[3]=3,[2.9]=2,

[-1.5]=-2.⑴分别写出[4]和卜2.1]的值；(2)计算：[-0.2卜[4.5卜13].

【答案】（1）4,-3（2）12

【分析】（1）利用符号k]的意义解答即可；

（2）利用符号[司的意义分别求得三个的值，再利用乘法法则运算即可.

【详解】⑴[4]=4,[-2.1]=-3；

（2）[-O.2]x[4.5]x[-3]=-lx4x（-3）=12.

【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的乘法法则，理解并熟练利用符号k]的意义是解题的关键.

题型7、倒数的概念与运用

【解题技巧】倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数.

（1）倒数是成对出现的，单独〜个数不能称为倒数.（2）0没有倒数.

（3）互为倒数的两个数的乘枳一定是1,即。，〃互为倒数，贝!。x〃=l：反之亦然.

例I.（2023•山东滨州•模拟预测）2023年5月24口全球贸易投资促进峰会在北京举行，本次峰会主题为“坚

定信心合作共赢，共建开放型世界经济”，那么2023的相反数的倒数是（）

B.-2023D.2023

20232023

【答案】C

【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此先求出2023的相

反数，再根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可.

【详解】解：2023的相反数-2023,-2023的倒数是-募，

A2023的相反数的倒数是-盛

故选:C.

例2.（22-23七年级上•福建厦门,期中）如果。大于仇那么a的倒数小于方的倒数,下列举例能说明这种

说法错误的是（）

A.a=2,b=1B.a=-2,b=-\C.4=2,〃=-1D.a=—,h=-

23

【答案】C

【分析】首先判断a与匕的大小，再根据倒数的定义得到它们的倒数，再比较出其大小即可.

【详解】解：A、〃=2/=1M的例数是;用的倒数是1M的倒数小于匕的倒数，不符合题意：

B、a=-2,b=-\,a<b,不符合题意；

C、。=2为=-1,°的倒数是:力的倒数是T,。的倒数大广。的倒数，符合题意；

D、〃=；,力=［。的倒数是21的倒数是3,〃的倒数小于匕的倒数，不符合题意.故选：C.

【点睛】本题考查的是倒数的定义及有理数的大小比较，熟知特例法是解答此题的关键.

例3.（23-24七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）下列语句说法正确的个数是（）

（1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时,

积为正.

（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数.

（3）加上一个数等于减去这个数的相反数.

（4）如果。大于〃，那么。的倒数大于〃的倒数.

（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了有理数的加法，乘除法，倒数，绝对值的意义，熟练掌握与有理数的基本知识点及运

算法则是解决本题的关键.

根据有理数的加减乘除运算法则和倒数的概念，绝对值的意义依次分析即可.

【详解】解：（1）必须是几个非零数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，

当负因数为偶数个时，积为正，故（1）不符合题意；

（2）除以一个非零数等于乘以这个数的倒数，故（2）不符合题意；

（3）加上一个数等于减去这个数的相反数，正确的，故（3）符合题意：

（4）如果“大于江那么。的倒数大于〃的倒数，这句话是错误的，如。=-1力=-2,

但，=-1，?=-工，此时故（4）不符合题意；

ab2ab

（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数，正确的，故（5）符合题意.故选：B.

变式I.（2023七年级上•成都•专即练习）做一做：

①5的倒数是；②2：的倒数是：③0.1的倒数是；

④-3.75的倒数是；⑤-3的倒数是：⑥<15的倒数是.

【分析】根据倒数的定义逐一判断即可.

【详解】解：①・・・5x：=l,・・.5的倒数是:，故答案为：

232xx

②•・・2：x：=l,.・・2彳的倒数是，故答案为：f；

383xx

③・；O.1X1O=1,・・・0,1的倒数是10,故答案为：10；

@V-3.75x[-A]=i,,・.一3.75的倒数是一白，故答案为：一（；

⑤：一3x--=1,「・一3的/到数是一:，故答案为：一!：

I3；33

⑥・.,_0.15、（一弓）=1,・・.415的倒数是号，故答案为：-与.

【点睛】本题考查了倒数的定义，解决本题的关键是掌握倒数的定义：分子和分母相倒并且两个乘积是1

的数互为倒数，0没有倒数.

变式2.（2022秋・山东七年级期中）下列说法正确的是（）

A.两个正数互为倒数，其中一个数必大于IB.一个假分数的倒数一定小于本身

C.如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1D.如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1

【答案】D

【分析】利用特殊值分别分析再结合倒数的定义分析得出答案.

【详解】A、因为1的倒数是1,1和1互为倒数，故说法错误：

B、一个假分数的倒数小于或等于本身，故此选项错误；

C、一个数的倒数是它本身的数有很多，除1外，还有分子和分母相同的假分数，故此选项错误；

D、如果两个数互为倒数，这个就排除了两个数不为。的情况，所以如果两个数互为倒数，那么它们的积一

定是I,故此选项正确.故选：D.

【点睛】本题考查了倒数的定义，利用特殊值分别分析是解题的关键.

变式3.（2023•河北沧州•校考二模）若〃则下列说法正确的是（）

A.与〃互为倒数B.〃，与〃互为相反数C.m与〃相等D.网与同相等

【答案】A

【分析】根据倒数的定义求解即可.

【详解】解：・・・〃m=l,・•・加与〃互为倒数，故选A.

【点睛】本题考查了倒数，熟知倒数是指两个数的乘积等于I,那么这两个数互为倒数是解题的关键.

■公培优精练

A组（能力提升）

1.（23-24七年级上•陕西榆林•期中）关于有理数，下列说法不正确的是（）

A.若1〃〃以l那么必有

B,一个有理数和它的相反数的乘积必为负数

C.任何一个有理数同。相加的和等于这个数同1相乘的积

D.如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大

【答案】B

【分析】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的

性质和应用，根据有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和

应用，逐项判断即可.

【详解】•・•若♦闫+必有必WO,・••选项A不符合题意;

•••一个有理数和它的相反数的乘积为负数或零，，选项B符合题意；

•・•任何一个有理数同。相加的和以及这个数同I相乘的积都等于这个数，

工任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积，，选项C不符合题意；

•・•如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝值大，

・•・选项D不符合题意.故选：B.

2.（2023秋•广东深圳•七年级统考期末）若avcvOvb,贝心麻（）0

A.>B.<C.=D.>

【答案】A

【分析】根据多个有理数的乘法法则解答即可.

【详解】解：a<c<O<b,/.abc>0.故选：A.

【点睛】本题考查了多个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键.几个不等于0

的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数为奇数个时，积