山东省临沂市莒南县2025-2026学年高二年级上册期中学业质量检测数学试题（解析版）

山东省临沂市莒南县2025-2026学年高二上学期

期中学业质量检测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.在空间四边形RWC中，PB-AB-CA=()

A.APB.PCC.ABD.AC

【答案】B

【解析】由题意得，PB-AB-CA=PB+BA+AC=PC-

故选：B.

2.如果直线依一)，-1=0与直线x—ay—平行，那么。等于()

A.-IB.yC.1D.±1

【答案】A

【解析】由于直线依一)，-1=0与直线工一。＞一〃2=0平行，

故可得a(—a)_lx(-1)=0且a(--1x(-1)00,

解得〃二一1,

故选：A.

22

3.已知椭圆C:工+工=1的两个焦点分别为F,77',过尸作倾斜角为60。的直线交椭圆C

98

于P,Q两点，则△PQ/7的周长为()

A.6X/2B.872C.9D.12

【答案】D

【解析】由题意可知/=9,「.〃二3，

\PQ\+\PF\+\QF\=\PF，\^\QF，\+\PF\+\QF\

=(|尸尸1+归耳)+(|QF|+|0尸)|=4a=12,

即△尸。尸的周长为12,

故选：D.

4.在四面体。—ABC中，点G是V43c的重心，设必=G。8=〃,。。=。，则

BG=（）

2.2-2

A.—a+—b+—c

333

C.-a--b^-c

333

【答案】C

【解析】如图所示:

取4c的中点〃，则5G=2B”，

3

胃BA+BCDA+DC-2DB

乂Bri=--------=---------------

22

所以BGh叫力二-

3333

故选：C.

5已知圆a：（x+2『+），2=4与圆O2：（x-2『+（y+3）2=8,则两圆（）

A.内含B.相切C.相交D.外离

【答案】D

【解析】由两圆方程知：II心«（—2,0）,半径4=2；圆心Q（2,-3）,半径4=2&；

圆心距|O0j=J（-2-2），（O+3『=5>2+2&+4，..•两圆外离.

故选：D.

6.已知平面夕的法向量为m=（2,-乂3）,平面夕的法向量为“二（-5,2,4工），若

aJ_/,则x的值为（）

A.-IB.1C.2D.-2

【答案】B

【解析1由于可得：加.〃二(),即

/??/?=2X(-5)+(-A)X2+3X(4X)=10x-l()=(),

解得：x=\.

故选：B.

7.双曲线£一£=1(〃>〃>0)两条渐近线的夹角为60。，则该双曲线的离心率e为

a-b-

()

A.y/2B.2C.D.73

3

【答案】C

r2v2b

【解析】三一二=1的渐近线方程为y=±-x,a>b>0,

a~b~a

结合条件两条渐近线的夹角为60°,

则2二^^，解得a=y/5b，又=C?=+Z?2，/./=(+Z?2=4b2>

.・d=w=迪.

a回3

故选：C.

8.在空间直角坐标系中，向量。=(2,—1,〃2),6=(-2,1,-2),则下列选项中正确的是

()

A.若|〃|=3,则m=0

B.向量(-1,1,1)是方的一个单位向量

C.若〈〃力〉为钝角，则也>一1

D.若〃在〃上的投影向量为［/?,则相=一3

9

【答案】D

【解析】由1。|=3,a=(2,-1,/??),可得=)4+1+〃/=3nr=4m=±2-故

A错误；

由人的单位向量是丘_=_77777亍=7=故B错误；

h々4+1+4JIJJJ，

-5

由〈。,〃〉为钝角，则6・Z?=(2,-1,〃。•(一2,1,-2)=-4-1-2/n<0=>///>--,

又当〃/〃？=>(2,-1,m)!/(-2,1,-2)=>—=—=—=>m=2,

-21-2

所以〈。泊)为钝角，则，〃>—g且，〃工2,故C错误；

,abh(2,-i,wz)(-2,1,-2)b—5-2m,I,,,、

由〃在0上的投影向量为呵H=-aw--§b=gbn-5_2"i=ln〃?=-3,故D

正确；

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.若卜构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的•个基底的是()

A.Ib,d,aIbIc}B.,1b,ac,Z?!

C.^b,a+b,b-a^D.{a+2b,2〃一3d,3c+a}

【答案】ACD

【解析】{。,仇4是空间为一个基底，故。,"。不共面，

对于A选项，假设共面，

则存在唯一实数乂V使得a+。+c=+〃)+yc=xa+xb+yc,

]

则，，，所以。+尻(?,4+〃+。为共面向量，

故卜i+"乙a+〃+d}不能构成空间的一个基底，故A正确；

对于B选项,假设忖+£万一？同共面,

则存在唯一实数x、y使得〃=k(以十Z?)十y(a—c)=(尢十y)a十V?—yc,

x4-y=0

所以《X=1,无解，故。+A〃—C,〃不共面，故可构成空间的一个基底，故B错误；

-y=0

对于C选项,假设也M+〃，人一。}共面，

则存在唯一实数了,》使得人-a=xb+y(a+b^=)a+(x+,

y=-1x=2..................

所以,，解得《故。,。+人/?一4共面,

x+y=1>=-1

故故｛〃,4+力，〃-4不能构成空间的一个基底，故C正确;

对于D选项，假设｛。+2d26-3a34+。｝共面，

则存在唯一实数X，）使得3c+a=x（〃+2力）+y（2Z?-3c）=xa+（2x+2y）b-3yc,

x=\

x=\

所以・2x+2y=0,解得故卜/+2〃,2匕一3c,3c+a｝共面,

）'=T

-3y=3

故故｛〃+2b,加-3c,3c+〃｝不能构成空间的一个基底.故D正确.

故选：ACD.

10.对于直线/:如+y-2加=。，下列说法中正确的是（）

A./的倾斜角可以为4B.m<0时，/不经过第二象限

2

C./的一个方向向量为（-26,2）时，切=0D.直线/恒过定点（2。

【答案】BD

【解析】对于A：直线/：〃a+），-2〃2=0,斜率攵=—〃?=tana,所以斜率肯定存在,

所以倾斜角不可能是四，故选项A错误；

2

对于B：〃氏+'一2利=0可化简为：（x—2）〃7+y=O.所以直线/恒过定点（2,0）,

〃2<0时，斜率攵=一根〉0,所以直线/经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选项

B正确；

对于C：/的一个方向向量为（一26,2）时，斜率％=-正，又2=-机，所以,〃=叵,

33

故选项C错误；

对于D：〃仇十，一2根=0可化简为：（人一2»〃十），=0,所以直线/恒过定点（2,0）,改选

项D正确；

故选：BD.

22

11.已知椭圆C三+六=1（〃>人>0）的左、右焦点分别为耳吊，上顶点为网0,、万），

离心率为Y2,M,N为C上关于原点对称的两点（与C的顶点不重合），则（）

2

22

A.C的方程为三+上=1

42

14、9

W制\NF]4

C.的面积随周长变大而变大

D.直线8M和8N的斜率乘积为定值

2

【答案】ABD

【解析】由题易知〃=6,£=也,2+。2=/,解得々=0,4=2,故椭圆方程为

a2

连接MF\、MF?,NF\,NF2,由椭圆对称性知鸟为平行四边形,

|M4|+W用=|M用+|M周=2〃=4,

444

+——+--+---)(|M"+|M玛|)

\MFX\|斯|\MFX\\MF2\4\MFt\\MF2\

臼川除+需―国MFA4MK9

MF,MF、4

48

当且仅当|M£|=Q,|M6|二Q时等号成立，故B正确;

Jjj

对C：由B知：|ME|+|NE|=L|+WE|=4,

设M(x”X),则|OM|=Jx；+y；=卜(1_4+),；=14-4，

MNF2的面积为2s0g=2xgxa回|二&|y|,

由对称性，不妨设M在第一象限及X〉正半轴上，

故10Ml随弘的增大而减小，AMN写的面积为2s0g随y的增大而增大,

即,MNF?的面积随周长变大而变小，C错误;

对D：设M（x，y）,则"（一%,-*）,

又8（。,"），所以K叱K.=空•土立=好，

%F玉

,,点M（x，y）在椭圆上，结合C,才=4一2才，

娟一21

所以K%・犬外,=」^二一不，故D正确；

年2

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线2x+y-1=0与直线4x+2），-7=0平行，则它们之间的距离是.

【答案】逝或!不

22

【解析】由直线2x+y—1=0,可得：4x+2y—2=0,

所以平行直线4x+2y-2=0与直线4x+2y-7=0的距离

15V5

V42+22V202

故答案为：旦.

2

13.在空间直角坐标系中，已知点41,0,2）1（0,7/），且平面3co的一个法向量

〃二（一1,2,-2）,则直线AB与平面88所成角的余弦值为

【答案】叵

9

【解析】由题意可得45二（一1,一1,一1）,又平面8C。的一个法向量〃=（一1,2,-2）,

设直线AB与平面BCD所成角为6,

rUlB

tTUIUnAB二1二石

则sin0=cos{〃,AB

rinn-3x6-9

nAB

所以cos0=Vl-sin26?=—，即直线AB与平面BC。所成角的余弦值为叵,

99

故答案为：叵.

9

14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太

极图如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区

域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.己知直线/：），=。（1一2）.若直线/与黑色阴影区域

的边界曲线有2个公共点.则。的取值范围是.

【解析】阴影部分在第一象限内的边界曲线方程为/+（），-1/=1（上＞0）,

若直线/与在X轴上方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点，

若直线/与在X轴下方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点，

0-（-2）

则0＜。＜-------=1即0v“v1,

2-0

当。=0时，直线/:y=0,此时与阴影部分的边界有两个不同的交点，

两个交点为（一2,0）,（0,0）,符合：

4

综上，—＜a＜1,

3

4

故答案为：—

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（I）已知直线过点尸（5,6）,它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线

的方程;

(2)求直线小3工一2)，-6=0关于直线小工一丁-2=0对称的直线的方程；

(3)求过三点A(4/)，8(-6,3),。(3,0)的圆的一般式方程.

解：(1)若直线过坐标原点，则直线的方程为y=9x,即6x-5)，=0,

55

此时横纵截距都等于0,满足题意；

若直线不过坐标原点，设直线的方程为最+六］,

因为直线过点尸(5,6),所以£+，=1

得b=

2

所以直线方程为x+2y-17=0.

综上，此直线的方程为6工一5)，=。或x+2y-17=0.

(2)设直线乙关于直线对称的直线为4,

3x-2y-6=0x=2

rlr〈c，解得《所以直线4经过点(2，。)，

x-y-2=0y二()

在4上取一点(0,-3)关于，2对称的点设为(凡b),

"3।

-----=-1

：二二!，所以直线4经过点(T「2),

则有《…解得

q上一2=ob=-2

122

_?-0?9

所以直线ly的斜率为=5，所以直线13的方程为y=-(x-2),

即2工一3y—4=0.

(3)设所求圆的方程为9+/+/%+£)叶/二o,其中。2+炉一4尸＞o,

因为圆过三点4(4,1),5(-6,3),C(3,0),

16+1+4D+E+F=0D=l

所以36+9—6O+3E+尸=0,解得，E=-9,

9+3。+尸=0F=-12

故所求圆的方程为f+y+X-9y-12=0.

16.如图，在平行六面体A3CO-A4GR中，C8=e=cc=2且/GC3=NCCZ)=N3CZ)=60.

(2)求证：CA_L平面

(1)解：过CB=a,CD=h、CC\=c,

由于CB=CO=CC=2,即|©=|〃|=|c：|,

所以二同|水("60。=5同2,同理可得二〃•c：=g|〃F,

由题意可得C4,=a+b+c,

所以崎卜J|〃+b+c|2=^d1+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c=2"；

(2)证明：因为

所以C4r30=(6+/?+d)・(b-d)=Z？-a?+3/—，〃=(),

所以CA_L8。，同理可证CA1BC「

又因为BDcBG=B,BD,BC、u平面C、BD.

所以CA_L平面QB。.

17.已知动点P在直线/：x+y-6=0上，动点。在圆。：/+),2一2丫一2/一2二0上,

过点。作圆C的两条切线，切点分别为A、B.

(1)判断直线/与圆。的位置关系；

(2)求IR2I的最小值及—AQ8的最大值；

(3)证明直线A8过定点.

(1)解：圆。：./+),2-2x-2y-2=0的圆心C(U),半径厂=2,连接PC,

点C到直线I:X+y-6=0的距离d==2V2>2,

Vl+l

直线/与圆C相离，

(2)解：点Q在圆C上，贝i」|PQ|min=d—r=2近一2,

|AC|2241

由切线长定理知，ZAPB=2ZAPC,而sin/APC=I=\

|PC|\PC\~d2

乂—APC是锐角，正弦函数)，=sinx在((),$上单调递增，则/APC的最大值为7,

当且仅当尸C_L/时取等号，因此NA总的最大值为自.

2

(3)证明：设P(f,6-f),则以PC为直径的圆的方程为

(x-l)(x-z)+(y-l)(y+r-6)=0,

即x2+y2-(r+l)x+(/-7)y+6=0,

与己知圆的方程相减可得直线的方程为(1—f)x+(r—5)y+8=0,

x-5y+8=0

即(x-5y+8)-/(x-y)=0,由

x-y=0

解得匕，即直线A8过定点⑵2).

18.如图，在直三棱柱ABC—48cl中，点/>是线段8c上的中点，点E，尸是侧核

(2)若ABJ_AC,AB=AC=2,M=3,4/=£/=4后，求平面eCE与平面

A瓦尸的夹角的余弦值.

(1)证明：如图，取用。上的中点Q,连接£。，PQ.

•:Q,P分别是3c和的中点，」.QP〃⑸B且QP=；耳氏

又EF=-A]A=-B{Bt;.QP〃EF且QP=EF,

二•四边形凤2尸尸是平行四边形，」.EQ〃尸尸.

EQu平面B、CE,PFz平面B.CEPF//平面B{CE.

1小G

（2）解：由题意得AA_L平面A8C且ABIAC,

因此以A点为原点，A8，AC,A4为x,儿z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由题易知，AC_L平的所以AC'=（。,2,（））为半血44尸的法向量.

r

设平面qCE的法向量为〃=（x,y,z）,根据所建立的空间直角坐标系，

可知4（2,0,3）,C（020）,E（0,0,2）,

有4c=(—2,2,—3),B,E=(-2,0,-l).

〃・qC=0-2x+2y-3z=0,

l-2x-z=0,令x"则尸一2,z=-2

/?•/?!Zt=0

即平面BCE的法向量为Z=（1,-2,-2）.

AC-n\2

设平面B（E与平面史的夹角为〃，则有cos<9=|cos^AC,/?^|=

AC|-|/?|3

19.定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点

组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形''相似，则称这两个

椭圆是“相似椭网'，并将三角形的相似比称为椭圆的相以比，下列问题中（G对应图1,

x2222

（i）判断椭圆G:二二1与椭圆C,:工+上=1是否是“相彳以椭圆”？若是，求出相

43-1612

似比；若不是，请说明理由；

（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等:

22

（3）已知椭圆G：「+4=1（67>/?>0），椭圆+乐的离心率为

f

e’,G与G悬“相似椭网”,且■与