期末重难点特训之易错必刷题型（126题37个考点）-2024人教版九年级数学上册

期末重难点真题特训之易错必刷题型（126题37个考点）

【精选最新考试题型专训】

宓第一部分易错必刷题

易错必刷题一、认识一元二次方程

1.（24-25九年级上•江西九江•期u）下列方程中，是一元二次方程的是（）

,7

A.2（x-l）=xB.x2+5x=-6C.x2-xy=3D.4x24--=0

【答案】B

【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程

叫一元二次方程.根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A、方程2（x-l）二x是一元一次方程，故本选项不符合题意；

B、方程x2+5x=-6是一元二次方程，故本选项符合题意；

C、方程/一心，=3含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D、方程4『+'=0不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

x

故选:B.

2.（24-25九年级上•福建漳州•期口），〃是方程丁+x—1=0的根，则式子2〃/+2〃?+2022的值为.

【答案】2024

【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，能够运用整体思想进行求解是解题的关键.先将〃?

代人方程，进而变形得4=再将原式变形，代人求解即可.

【详解】解：•・•/〃是方程f+x-l=0的根，

-1=0,

••"广+〃？=19

:.2m2+2m+2022=2（/n2++2022=2x1+2022=2024,

故答案为:2024.

3.（24-25九年级上•湖南永州•期中）定义新运算：对于任意实数h,c,3有[w句*[c,d]=e-麻,其中

等式右边是常用的乘法和减法运算.ftn：[4,3]*[2,l]=4x2-3xl=5.

⑴求的值；

（2）己知关于x的方程[x,1-可*[x+2,间=0的一个根为2,求加的值.

【答案】（1）10;

⑵-8.

【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键.

（1）根据定义计算即可；

（2）先根据定义化简，再将x=2代入，即可求解.

【详解】⑴解:因为&句*[。/]=碇-从Z,

所以[2,4]*[3,-l]=2x3-4x（T）=10；

（2）解：因为[%,1-x]*[x+2,m]=0,

所以x（x+2）-"?（1-x）=0,

又因为方程的一个根为2,

所以2x（2+2）一加（1-2）=0,

解得加=-8.

易错必刷题二、用配方法求解一元二次方程

1.（24-25九年级上•广东珠海•阶段练习）解一元二次方程Y-6,L4=0,配方后得到（x-3『=〃，则〃的

值是（）

A.13B.9C.5D.4

【答案】A

【分析】本题考查了解一元二次方程一配方法，熟练掌握配方法是解题的关键.利用配方法进行计算即可

解答.

【详解】解：X2-6X-4=0,

2

X-6X=4,

“2-6X+9=4+9，

（X-3）2=13,

p=13.

故选：A.

2.(24-25九年级上•山东德州•阶段练习)新定义:关于x的一元二次方程q(x-，〃):+攵=o与%(k-/〃/+Z=0

称为“同族二次方程”.如2"-3)2+4=0与3(X-3)2+4=0是“同族二次方程”.现有关于工的一元二次方程

2(工一1)2+1=0与(。+2)/+(。-4)工+8=0是“同族二次方程”，那么代数式以2+〃氏+2026能取的最小值

是.

【答案】2021

【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本

题的关键.利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于，/与方的方程组，求出

方程组的解得到。与〃的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可.

【详解】解：2(X-1)2+1=0与(〃+2)/+e_4)不+8=0是“同族二次方程”，

.\(a+2)x2+(/?-4)x+8=(t/4-2)(.r-1)"+1,

.二(。+2)£+(/?-4)x+8=(n+2)x2-2(a+2)x+a+3,

-2(a+2)=h-4

。+3=8

*a=5

Z?=-10

/.ax2+Z?x+2026

=5/-1Ox+2026

=5(1)2+2021,

Q(x-1)2最小值为0,

.•.5(x-l『+2021最小值为2021,

I'Par2+/zr+2026最小值为2021.

故答案为：2021.

3.(24-25九年级上•辽宁营口•期中)利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题.观

察下列式子：

①f+4x+2=(f+4x+4)-2=Cr+2)2-2,

v(X+2)2>0,/.X2+4X+2=(X+2)2-2>-2.因此.代数式f+4x+2有最小值-2；

@-X2+2X+3=-(X2-2X+1)+4=-(X-1)2+4.

—(x—I)"W0,-+2x+3=—(x—1)*+4W4.

因此，代数式-V+2x+3有最大值4；

阅读上述材料并完成下列问题：

(1)弋数式/-4x+2的最小值为；代数式-后-4〃+2的最大值为.

(2)求代数式a?+尸+G?一10a+i1的最小值.

【答案】(1)-2,6

(2)-23

【分析】本题考查了配方法的应用；

(1)先配方，再根据非负数的性质求解；

(2)先配方，再根据非负数的性质求解.

【详解】(I)解：Vx2-4x+2=(x-2)2-2>-2,-a2-4«+2=-(«+2)2+6<6,

故答案为：—2,6；

(2)Va2+h2+6b-1()«+11=(«-5)2+(/?+3)2-23>-23,

:.代数式/+〃+6〃一1Oa+11的最小值为-23.

易错必刷题三、用公式法求解一元二次方程

1.(24-25九年级上•广东东莞•期口)若x=2±，4+4x3H是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程

2x3

可以是()

A.3X2+2A-1=0B.2X2+4X-1=0

C.---2X+3=OD.3X2-2X-1=0

【答案】D

【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法是解题的关键；因此此题可根据公式法进行

求解.

【详解】解：由一元二次方程的求根公式工="±''一4«,结合x二出虻生里,可知：

2a2x3

〃=3,b=—2,o=-1；

・•・这个一元二次方程可以是3x2-2x-1=0；

故选D.

2.（24-25九年级上•福建三明•期口）淇淇在计算正数。的平方时，误算成。与2的积，求得的答案比正确

答案小I,则正数〃的值为.

【答案】1+V2/V2+1

【分析】本题考查了解•元二次方程.由题意得方程2〃+1=/,利用公式法解方程即可.

【详解】解：由题意得：2〃+1=/,

解得：a=l+6,或a=l-丘（舍）

故答案为：1+血

3.（24-25九年级上•贵州毕节•期口）按要求解下列方程：

（1）2炉一3x+l=0;（公式法）

（2）xz+6x=-5.（配方法）

【答案】（1）百=1,x2=l;

（2）x）=-1,X2=-5.

【分析】此题考杳一元二次方程，解题的关键是根据题目要求按照步骤进行计算求解.

（1）根据公式法的求解步骤进行求解即可；

（2）按照配方步骤即可解得.

【详解】（1）解：2/一31+1=0

a=2,b=-3,c=\,

AA=/?2-4«c=9-4xlx2=l>0.

.3士JF3±1

••X=---=--，

44

，％=1,-^=-；

（2）解:x2+6A=-5，

x2+6x+9=-5+9,

（X-3）2=4,

:.工+3=±2,

，x+3=2或x+3=-2,

・"=-1,x2=-5.

易错必刷题四、用因式分解法求解一元二次方程

1.(24-25九年级上•辽宁铁岭•期日)方程Mx+3)=0的根是()

A.菁=0,x2=-3B.X)=0,X2=3

C.X]=/=°D.X]=巧=-3

【答案】A

【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可.

【详解】解：x(x+3)=0

x=0或x+3=0

••X1=0,x?=—3,

故选：A.

2.(24-25九年级上•广东河源•期口)定义新运算：a(8)b=(a+b)(a-2b)f例如：

2O3=(2+3)(2-2x3)=-20.若(x—1)③(2x+l)=0,则/的值为.

【答案】0或-1/-1或0

【分析】根据题意列得方程并解方程即可.本题考直实数的新定义，解一元二次方程，结合己知条件列得

正确的方程是解题的关键.

【详解】解：丁。=(a+b)(a-»),

A(X-1+2X+2(2x+1)]=0,

整理得：3x(-3%-3)=0,

即x(x+l)=0,

解得：x=0或x=-l,

故答案为：。或-1.

3.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)解下列方程：

(1)X2-3X-4=0

⑵尤2_公=2

【答案】(1)X=4,x2=-l

(2)3=2+x/6,x,=2—>/6

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程特点灵活运算解一元二次方程的方法是关键.

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)利用配方法解方程即可.

【详解】(I)vX12-3X-4=0,

/.(x-4)(x+l)=0,

.,.八一4=0或工+1=0,

解得N=4,x2=-\.

(2).'X2-4X=2,

J2-4X+4=6,

/.(x-2)2=6,

J-2=±\/6»

二%=2+\f6,x2=2-y/b.

易错必刷题五、一元二次方程的根与系数的关系

1.(24-25九年级上•安徽阜阳.阶段练习)若加、〃是关于x的方程2/_4口1-0的两个根，则工+工的值

tnn

为()

A.4B.-4C.\D.--

44

【答案】A

【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知“Z是一元二次方程级?+法+。=03工0)的两

根时，为+巧=-旦b为・巧=c±足解答此题的关键.先根据一元二次方程根与系数的美系求出

aa

加+〃=2,制?=g,再代入化筒后的代数式进行计算即可.

【详解】解：•.”】，〃是关于x的方程2/一以+1=0的两个实数根，

m+n=2»rnn=—,

2

11m+n2

.-+—=-------=-=4

innmnJ，

2

故选：A.

2.（23-24九年级上•浙江宁波•期口）一元二次方程2022/+2023%-2024=0的两根和为.

【答案】一9丝（）2^3/一1」I~

20222022

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到4+毛=-2,即可得出结果.

a

【详解】解：根据题意得：%+为=-2=一鬻，

a2022

u小2023

故什案为：---.

2022

3.（24-25九年级上•贵州毕节・期口）若关于x的一元二次方程依2+法+。=0（。。0）有两个实数根占%,

且归-司=2,则称这样的方程为“伴根方程”.例如：一元二次方程犬+21=0的两个根是王=。，/=-2,

且|0-（-2）|=2,则方程X2+2X=0是“伴根方程”,

⑴方程V+弘+15=（）-伴杈力程”；（填“是”或“不是”）

⑵已知关于x的一元二次方程（x-D（XT”）=0（m是常数）是“伴根方程”，求小的值；

⑶若关于工的一元二次方程以2+必+。=0（々工0）是“伴根方程”，证明：b2-4ac=4a2.

【答案】⑴是

（2）1或一3

（3）见解析

【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断：

（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到％=加，x2=-l,再根据“伴根方程”的定义得至小加+1|=2,然

后解关于的方程即可.

（3）先设•元二次方程加+b%+c的两根分别为X"七=，+2,则f+f+2=——，中+2）=二，整理得

aa

则即2—1=£,整理得〃2一4〃「=4〃2,即可作答.

2a\2a八2。）aa

本题考查了根与系数的关系：若王，々是一元二次方程加+加+。=0（。/0）的两根，则可+七=-：,

也考查了因式分解法来解一元二次方程，平方差公式.

a

【详解】（1）JW：Vx2+8x+15=0,

/.（x+5）（x+3）=0,

得片=-3,匕=一5,

Q-3-（-5）|=2,

二方程是“伴根方程”，

故答案为：是；

⑵解：1.'x2=O,

「.（1一，〃）（彳+1）=0,

「.X-5=0或x+1=0,

，％二"2,x2=-l,

・.•方程♦-（,w-l）x-/n=0（m是常数）是“伴根方程”,

.Jm+l|=2,

/./律=1或m=-3.

（3）证明：设•元二次方程ad+bx+c的两根分别为内=［，W=，+2,

bc

则，+/+2=—,/（/+2）=—,

易错必刷题六、一元二次方程的应用（营销、数字、传播）问题

1.（24-25九年级上•安徽芜湖・期口）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了

用高钵酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验，第

二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学，这样全班43名

同学恰好都会做这个实验了.求才的值.

【答案】王的值为6

【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关

键.

小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的X名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手

教会了K名同学，全班43名同学哈好都会做，由此数量关系列式即可求解.

【详解】解：由题意得】+x+f=43,

解得司=6,占=-7（不符合题意.舍夫，

答：x的值为6.

2.（24・25九年级上•江西南昌•期口）据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文

化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次.若进馆人次的月平均增长率相同.

⑴求进馆人次的月平均增长率：

⑵因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，

该红色博物第能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.

【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为20%

（2）红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析

【分析】本题考查了一元二次方程的增长率的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）设进馆人次的月平均增长率为4,列式75000（1+©2=108000,进行计算,即可作答.

（2）根据月平均增长率为20%,算出第四个月的进馆人次为129600,再与12（XXX）进行比较，即可作答.

【详解】（1）解.：设进馆人次的月平均增长率为-

根据题意得75000（1+A-）2=108000,

解得：X.=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去）

答：进馆人次的月平均增长率为20%；

（2）解：不能，理由如下：

依题意，第四个月的进馆人次108000（1+20%）=129600>1200（X1,

答：红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次.

3.（24-25九年级上•四川成都・期口）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每

天的销售量）'（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.设该商场销售这种商品

每天获利氏（元）.

（1）求y与*之间的函数关系式;

（2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少

元?

【答案】⑴y=_2x+120

(2)30元

【分析】本题考杳了一次函数、一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性是解题关键.

（1）设）'与"之间的函数关系式为：y=kx+bt将点（25,70）,（35,50）代入即可求解;

(2)根据卬=y(x-20)=(-2x+12O)(x-2O)=-2x2+160工一2400即可求解;

【详解】（1）解：设）'与x之间的函数关系式为：y=kx+b,

70=25%+〃

将点（25,70）,（35,50）代入得：■

50=35k+b

k--2

解得：

0=120'

・•・/与x之间的函数关系式为：），=-2工+120,

(2)解：由题意得：w=y(x-20)=(-2x+120)(x-20)=-2x2+160x-2400,

令w=6(X),贝IJ-2/+160x-2400=600,

解得：菁=30,占=50,

•・•商场规定这种商品每件售价不得高于40元,

・。二30,

・••商品要想获得6（X）元的利润，每件商品的售价应定为30元

易错必刷题七、一元二次方程的应用（图形、动态几何、行程）问题

1.（24-25九年级上•山西阳泉•期中）如图，设计修建一个矩形花坛，已知花坛长15。米，宽80米.设计在

花坛中修建一条横向通道和两条纵向通道，各通道的宽度相等巨为X米.

（I）用含X的式子表示横向通道的面积；

（2）当三条通道的面积是矩形面积的八分之•时，求通道的宽.

【答案】（1）15（1^2

（2）通道的宽是5米

【分析】本题考查二次函数的应用.

（1）根据横向通道的面积等于矩形长乘以通道宽计算即可；

（2）根据题意得出甬道总面积为各通道面积之和，即可根据当三条通道的面积是矩形面积的八分之一列方

程求解即可.

【详解】⑴解:横向通道的面积为：150Mm2）；

（2）解：横向通道的面积为：150x,

通道总面积为150x+（80-X）X2A=310X-2X2，

依题意：310X-2X2=-X150X80,

8

整理得：X2-155X+750=0，

%=5,X2=150（不符合题意，舍去），

，通道的宽为5米.

2.（23-24九年级上•内蒙古呼和浩特•期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直

线运动.在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均

速度的乘枳.若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动.

（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？

⑵小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1,应“41，6"73）

【答案】⑴小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s

⑵小球滚动5m约用了1.2秒

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）根据以5nVs的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止运动列式计算即可；

（2）设小球滚动5m约用了％秒，由时间x速度=路程，列出一元二次方程，解方程即可.

【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少5+4=1.25（nVs）,

答：小球的滚动速度平均每秒减少L25m/s.

（2）解：设小球滚动5m约用了x秒，此时速度为5-1.25X,

由题意得：X."（5T2”）=5,

2

整理得：x2-8x+8=0»

解得：％=4-2夜或x=4+2拉，

当力=4+2&时，5-I.25X=5-1.25X（4+2>/2）=-|X/2<0,不符题意，舍去，

.门=4-2夜"2，

答：小球滚动5m约用了1.2秒.

3.（23・24九年级上•甘肃平凉♦阶段练习）如图,在V/WC中，?B90?,AB=5cm,BC=7cm,点、P从点

A开始沿AB边向点B以Icm/s的速度移动，点Q从点4开始沿8C边向点C以2cm/s的度移动.当点Q到

达C点时，点P,点。停止运动.

（1）如果P,Q分别从48同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2x/I金m?

⑵在（1）中，当△PQB的面积等于6cm2时，求。点的运动时间.

【答案】（1）3秒

（2）P点的运动时间2秒或3秒.

【分析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理.找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）设经过/秒后，尸。的长度等于2限m,利用勾股定理列出方程，求解即可；

（2）设经过x秒后，△PQB的面积等于6cm2,表示出=BQ=2x,则尸8=A尸=5-工，再由

三角形面积公式列方程求解即可.

【详解】（1）设经过，秒后，夕。的长度等于2Mm.

•・•点P的速度为Icm/s,点。的速度为2cm/s,

AP=/cm,BQ=2rcm,

BP=（5T）cm.

,：?B90?,

・•・PQ2=BP?+BQ2,

:.（2啊2=（57）'+（2/『，

解得：乙二-1（不符合题意，舍去），G=3,

:.3秒后，PQ的长度为2加m；

（2）设经过x秒后，/XPOB的面积等于6cm2,

AAP=x,BQ=2x,则尸8=43—从尸=5—工，

•••△PQ6的面积等于6cm2

/.^x（5-x）-2x=6,

解得蜀=2,占=3,

・・・P点的运动时间2秒或3秒.

易错必刷题八、二次函数的概念

1.（23-24九年级上•上海•阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（）

A.y=-xB.y=J+l

C.y=（x+4）2-x2D.y=x2-\

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，把形如）=0?+法+C（4、b、C是常数，且。工0）的函数

叫做二次函数，其中。称为二次项系数，〃为一次项系数，。为常数项.据此逐项判断即可.

【详解】解：A.y=Jx,是正比例函数，不符合题意；

B.y=±+I,不符合二次函数的定义，不是二次函数；

X

C.J=（X+4）2-X2=X2+8X+16-A2=8X+16,是一次函数，不符合题意：

D.y=/-1,是一次困数，符合题意;

故选：D.

2.(23-24九年级上•上海松江•期天)某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨

价的百分率都是凡那么y关于X的函数关系式为.

【答案】•=100(1+,

【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以(1+涨价的百分率)的平

方，即可得解.

【详解】由题意得:y=100(1+A-)2,

故答案为：y=100(l+x)2.

3.(23-24九年级•上海•假期作业)下列函数中(x,f为自变量)，哪些是二次函数？如果是二次函数，请指

出二次项、一次项系数及常数项.

(2)-(4-2x)+2/；

(3).?=>/5Z2+r+3;

(4)y=x2-3jx-6.

【答案】(1)是，二次项是3/、一次项系数是0、常数项是-3；

(2)不是；

(3)是，二次项是62、一次项系数是1、常数项是3；

(4)不是

【分析】根据二次函数的概念求解即可.

【详解】(1)是二次函数，二次项是3小、一次项系数是0、常数项是-;；

(2)y=(x-3)(4-2x)+2/=—2/410x72+2/=10~12,不含二次项,故不是二次函数:

(3)是二次函数，二次项是后2、一次项系数是1、常数项是3；

(4))，=.--34-6中-3«不是整式，故不是二次函数.

【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知

识点.形如)，=公：2+加+。(。=0)的函数叫做二次函数，其中奴2叫做二次项、〃叫做•次项系数、。是

常数项.

易错必刷题九、二次函数的图像

1.（23-24九年级上•山西晋城•期天）如图，二次函数），=-2.r+1的图象是（）

【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，牢记：。<0,图象开口向下，c>0,图象与），轴的交

点在x轴的上方，是解题关键.

根据二次函数系数。可判定图象的开口方向，根据c可判定图象的顶点位置，可得答案.

【详解】解：由二次函数y=-2/+l可知二次函数y=-2/+1的图象的对称轴为），轴，

a<0,

，图象开口向下，故A、B错误；

Qc>0,图象的顶点在y轴的正巨轴上，故C正确；

故选：C.

2.（24-25九年级上•上海♦期中）如果二次函数），=[*-1了的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么。的

取值范围是.

【答案】aV。

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口

向下，即可得出结果.

【详解】解：•・•二次函数y=〃（x-的图象在它对称轴左侧部分是上升的，

・•・抛物线的开口向下,

/.a<0；

故答案为：a<0

3.（23-24九年级•上海•假期作业）将函数），=/+1、y=f-1与函数产胸的图像进行比较,函数丁=1+年

），=丁-1的图像有哪些特征？完成下表.

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

y=x2

y=x2+1

y=x2-\

【答案】见解析

【分析】根据抛物线），="与抛物线y=ar?+c的性质进行比较即可.

【详解】抛物线y=〃2+c（其中。、c是常数，且。工0）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点坐标是（O,c）.抛

物线的开口方向由。所取值的符号决定，当。>0时，开口向上；当〃<0时，开口向下.

抛开对顶

物线口方向称轴点坐标

y=x1向y(0,0)

上轴

y-A2向y(0,1)

上轴

1

)'=4向y(01

上轴

【点睛】本题考查了y=ad+c的性质，掌握抛物线）一办2与抛物线y的性质是解题的关键.

易错必刷题十、二次函数图象与各项系数符号

1.124-25九年级上•上海•期中）已知二次函数），="2+云+c的图象如图所示，那么〃、〃、c的符号为（）

A.avO,Z?<0,c>0B.6?<0,b>0,c>0

C.a>0,/?>0,c>0D.a>0,b>0,c<0

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据>，=心2+云+。的图象的开口向下，得出4V0,抛物线的对

称轴在x的负半轴，得工=-3<0,整理得匕<0,因为函数产疗+云+。与y轴的交点在正半轴，得c>0,

2a

即可作答.

【详解】解：・・・丁="2+区+。的现象的开口向下，

/.A<0,

•・•抛物线的对称轴在x的负半轴，

对称轴x—...<0,

2a

A—>0,

la

VA<0,

•・•函数y=or?+乐+。与y轴的交点在正半轴，

/.c>0,

故选：A.

2.（2024.上海虹口•一模）已知抛物线y=-/+/»+c•如图所示，那么点尸（Ac）在第一象限.

y

/°\\x

【答案】二

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定力的符号，抛物线与丁

轴的交点确定c的符号，即可确定点PS，c）所在的象限.

【详解】解：由抛物线的图象得，c>0,

2a2

:.b<0,

••・代瓦。在第二象限.

故答案为：二.

3.（23-24九年级上昔根期末）已知抛物线），=。/+故+。，如图所示，直线尸-1是其对称粕.

（1）确定a、b、c的符号；

⑵当文取何值时，y>0；当K取何值时，y<0.

【答案】（1）"0,。<0,c>0

（2）-3<x<1：xv-3或x>l

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系：

（1）根据抛物线开口方向、与），轴交点位置、对称轴位置，利用二次函数图象与系数的关系求解;

（2）根据抛物线与1轴交点位置，利用数形结合思想求解.

【详解】（1）解：，•抛物线开口向下，

二a<01

,.对称轴为直线x=-l，

h=2ci<0,

,・,抛物线与），轴交点位于），轴的正半轴，

c>0,

综上可知，«<0,〃<0,c>0;

（2）解.：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为（-3,0）,（1,0）,

当-3<;vvl时，抛物线在JV釉上方，当x<—3或时，抛物线在x轴下方,

当一3<%<1时，y>0；当x<—3或x>1时，y<0.

易错必刷题十一、二次函数图象综合判断

1.（2024・上海闵行•一模）已知反比例函数），=&,当x>0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项

x

中，可能是二次函数y=2收・.1・k图象的选项是（）

【答案】D

【分析】直接利用反比例函数的性质得出出的符号，再利用二次函数的性质得出答案.

【详解】解：•・•反比例函数y="，当x>0时，y的值随x的值增大而增大，

x

，二次函数yuZLF-x-Z中，2&<0,则图象开口向下，

-A>0,则图象与），轴交在正半轴上，

又Tb=-1<0,

・•・二次项与一次项系数相同，则对称轴在），轴左侧，

符合题意的只有选项O.

故选：D.

【点睛】此题主要考查J'反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键.

2.（23-24九年级上•浙江温州•开学考试）如图，已知抛物线），=aF+8x—i（0人均不为0）与双曲线

y=々化=0）的图象相交于A（-ZM）,C（l,2）三点.则不等式加+队v"+l的解是.

XX

【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式or、加<七+1转化为不等式

x

or2+/7x-l<-,再结合函数图像却可得出答案.

X

【详解】解：不等式加<K+1可以转化为不等式双、加_1<与，

XX

根据函数图像可知不等式的解集为：-24<-1或0<x<l,

故答案为：-2令<-1或

3.（24-25九年级上•贵州黔东南•期中）如图，抛物线），=犬+队与直线），=履+2相交于点4-2,0）和点3.

（2）求点/；的坐标，并结合图象写日不等式4+2>V十队的解集.

【答案】（1卅=2,攵=1；

（2）（1,3）,-2<x<\.

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关犍.

（1）根据抛物线和直线都经过点A（-2,0）,利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式；

（2）首先联立抛物线和直线求出点〃的坐标为（L3）,然后根据图象求解即“J.

【详解】（1）解：因为抛物线y=/+版经过点A（-2,0）,

所以（一2『-2〃=0,

所以〃=2.

因为直线V=履+2经过点A（-2,0）,

月7以kx(-2)+2=0,

所以A=l；

（2）解：由（1）知抛物线的解析式为），=丁+2-直线AB的解析式为y=x+2.

联立户+2、

y=x+2

x=-2x=\

解得《或，

y=0)，=3

所以点3的坐标为（1,3）.

结合图象可知,不等式kx+2>x2+"的解集为-2<rvl.

易错必刷题十二、抛物线与x轴的交点问题

1.（23-24九年数上•上海.阶段练习）二次函数，=〃/+岳的图像如图所示，现有以下结论:

①。〉0；

②abc>0；

③a-/?+cy()；

®/r-4«c>0；其中正确的结论有（）

2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质：根据抛物线开口方向向上可知。>0即可判定①、抛物线对

称轴在），轴右侧，且交），轴正半轴，可判定。<0,c>0则可判定②；令x=-l,由抛物线可知当x=-l时，

函数值大于0,即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质

成为解题的关键.

【详解】解：•・•抛物线开口向上，

故①正确.

•・•抛物线对称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴，

*,•———>0,c>0,

2a

abc<0,故②借误，

当了=-1时，y>o,

gPfl-^+c>0,故③错误，

•・.抛物线与x轴有两个交点，

/.ir-4ac>0，故④正确，

综上①④正确，

故选:B.

2.（24-25九年级上•上海•阶段练习）抛物线），=/-5工-4与x轴的两个交点之间的距离为.

【答案】741

【分析】本题考查了抛物线与"由的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.令尸0,

可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线y=f-5x-4与x轴两个

交点之间的距离.

【详解】解：•・•抛物线y=f-5x-4,

・••当y=0时,X2-5X-4=0,

解得…产包”巧=2

122

・：5+向_5一向=向,

22

・•・抛物线y=丁-5x-4与X轴两个交点之间的距离为5.

故答案为：V41.

3.（23-24九年级上•浙江宁波・期⑴如图，在平面直角坐标系中，直线,=米+3与x轴、），轴分别交于A,

B两点.抛物线必经过点A且交线段AB于点C.

⑴求女的值.

（2）求点C的坐标.

⑶直接写出当工在何范围时，X>为.

【答案】⑴Z=

⑵[2,2）

（3）与<2或x>6

【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合：

（1）根据二次函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可得到答案；

（3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变最的取值范围即可得到答案.

1313

【详解】⑴解：在％=-：/+声中，当必=—-2+9=0时，解得x=0或x=6,

4242

・•・A（6,0）,

把A（6,0）代入y=区+3中得：62+3=0,解得攵=-g；

（2）解：由（1）=——x+3,

1.

y-x+3

x=6

联立《；2,解得i或,

y=0

=——1x2'+—5x

l--42

・•・C（2,2）；

（3）解：由函数图象可知，当x<2或x>6时，必.

易错必刷题十三、待定系数法求二次函数解析式

1.（2024.上海奉贤.一模）已知二次函数），=哀+云+（/=0）的图象上部分点的横坐标工与纵坐标），的对应

值如下表:

X••・01345•••

_7_7_15

-5-5

y•••~22~2•••

关于它的图象，下列判断正确的是（）

A.开口向上B.对称釉是直线％=1

C.一定经过点当]D.在对称轴左侧部分自左至右是下降的

【答案】C

【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点（0,-5）,（4,-5）,可知抛物线

的对称轴为直线工=2.设抛物线的解析式为），=。（1-2）2+3将（（）,-5）,|7-9分别代入，可解得"二一5,

I）,=-3

再进一步解答即可.

【详解】解：•・•点（。,-5）,（4,-5）在抛物线上，

:.抛物线的对称轴为直线x=2.

设抛物线的解析式为y=〃（x—2）2+2,将（0,-5）,（1,一：）分别代入，

4。+A=-5

.,7,

a+k=——

2

可解得卜一5，

[k=-3

・•・抛物线的解析式为尸-，”-2）2-3,

・•・抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的.

将工=一1代入，得y=-£.

故选c.

2.（24-25九年级上•上海宝山•期口）二次函数二/+法+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表,

则〃?的值为.

X-2-101234

y72-1-2tn27

【答案】-1

【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解

题的关键.利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解.

【详解】解：把点代入尸加+c,得:

a-b+c=2a=1

«c=-1,解得：，。=-2,

4。-2b+c=7c=-\

・•・二次函数的解析式为y=/-2x-l,

当工=2时，y=m=22-2x2-1=-1.

故答案为：-1.

3.(2024♦浙江•模拟预测)如图，已知二次函数y=M+9+c图象经过点41,-2)和8(0,-5).

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.

⑵当一5工)，工-2时，请根据图象直接写出x的取值范围.

【答案】(1)丁=/+2犬一5,顶点坐标为(-1,-6)

(2)-3Wx<-2或0KE

【分析】本题考杳二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式.

(1)用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；

(2)求出A、8关于对称轴的对祢点坐标，由图象直接可得答案.

【详解】(1)把A(l,-2)和8(0,-5)代入)，=/+法+c•得：

[b=2

解得

二二次函数的表达式为、二炉+2一，

j-x2+2.v-5—(A+I)2-6,

・•・顶点坐标为(T-6)；

点B(0,-5)关于对称轴直线

二•El图像可得，当—5WyK—2时，x的范围是一3WxW-2或OWxWl

易错必刷题十四、利用不等式求自变量或函数值的范围

1.(2024.甘肃武威.二模)抛物线x=渡+br+c(a*O)的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为(-3,0),

对称轴为直线式=-1，将抛物线X沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线则当刈<。时，

x的取值范围是()

A.—3<xv—1B.—lvx<l

C.—1<x<3D.1<x<3

【答案】C

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与入•轴的

另一个交点.

首先根据二次函数的对称性得到抛物线M与x轴的另一个交点为(1,0)，然后根据平移的性质得到抛物线内

与x轴的两个交点坐标为(-1,0)和(3,0),再根据抛物线的开口方向即可求得当为<()时的x的取值范围.

【详解】解：•・,抛物线,=尔+加+c(a¥0)与工轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=T,

・•・抛物线K与大轴的另一个交点为(L0).

•••抛物线)1沿着x轴的正方向平移2个单位尺度得到新的抛物线力，

・•・抛物线力与x轴的两个交点坐标为(-1,0)和(3,0)

，当y2V。时，X的取值范围是Tvxv3.

故选：C.

2.(23-24九年级上.上海•自主招生)不等式f+|2x-对于一切实数x都成立，则。的最大值为一.

【答案】5

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易

得要使不等式f+|2x-6|之。对于一切实数”都成立，则需满足4«12+|21-6|)僦，进而根据二次函数的最

值问题可求解.

2

【详解】解：由题意得：t7<(x-b|2A-6|)miii，

+2x-6,x>3(^+1)-7,x>3

?+|2x-6|=.二

-2x+6,x<3(x-l)~+5,x<3

・••当x23时，函数)，=(x+l>-7的最小值是当x=3时取得，(3+1『-7=9即为9；

当工<3时，函数)，=(1-1)2+5的最小值是当工=1时取得，即为5；

.-.(^+|2^-6|)^=5,

/.fl<5,

即。的最大值为5.

3.(24-25九年级上•吉林长春•期口)如图,已知抛物线y=f+6+c经过4-1,0),3(3,0)两点,与)，轴交

于点C

(1)求抛物线解析式；

(2)观察图象：当0<x<3时，直接写出y的取值范围.

【答案】⑴产/-〃-3

(2)^<y<0

【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数函数值的范围：

(1)直接利用两点式写出函数解析式即可；

(2)观察图象，可知当x=3时，取最大值，顶点处取最小值，即可得出结果.

【详解】(1)解：•・•抛物线y=f+bx+c经过A(-1,O),8(3,0)两点,

・•・解析式为：y=(x+l)(x-3