任意角（教学设计）-高一年级数学上册（人教A版）

教学设计

题目任意角

1.角的概,念的推广。

内容2.象限角的概念。

3.终边相同的角的表示。

本课时是《普通高中教科书-数学（必修第一册）》（人民教育出版

社A版）第五章《三角函数》第1节“任意角与弧度制”第1课时妁内

容，是高中《三角函数》章节的起始课。

三角函数作为研究周期性现象的变化规律的基本教学模型，其研究

的基本量是“角二学生在初中时对角已有了一定的认识，但有局限，本

课时既是对初中所学角相关知识的承接，也是铺垫了接下来对三角函数

的研究，起着统领整个章节教学的功能。

教材首先通过实除问题（拨时钟、体操和游泳中的旋转等）引出闲的概

念的推广问题，（学生过去接触的角都在0。〜360。范围之内，但在现实

生活中有大量的关于角的例子都超出了这个范围），引发学生的认知冲

突，要想描述清楚这些角，就要从动态的角度重新定义角的榻念.一是

旋转方向，二是旋转量.旋转量的大小可以在角度制的基础上进行推广，

（1）教学内而旋转方向需要利用我们已有的“通过符号代表方向”的经验加以解

容解析

内容解析决.将初中学过的角的概念推广到任意角，引入象限角概念，使角放在

一个统一的标准下进行讨论，可以使角的讨论得到简化.

终边相同的角是具有特殊关系的象限角，这些角有“始边、终边都

相同”的共同特征，用数量关系去表示就是“终边相同的角相差360。的

整数倍”.

本课时在概念建立过程中隐含概括、归纳、抽象、类比等思想方法

和思维方法，注重结合现实背景材料，利用图像的直现性来研究问题的

方法，引导学生利用数形结合的思想，从更广阔的角度（旋转方向、旋

转量（超出360°）思考并对角的概念进行扩充，并在此基础上学习象限

角和终边相同的角的集合表示，在该过程中，学生发展抽象思维、提高

类比学习、逻辑推理等能力，提升数学素养。

教学重点1、将〜360°范围的角推广到任意角；

2、终边相同的角的集合表示。

1.理解任意角的概念的产生及其概念，区分正角、负角与零角，培养学

(2)教学目生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的能力：

标设置目标2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集

合，培养学生特殊到一般的归纳思想，提升数学抽象的核心素养；

3.了解象限角的概念，能够识别角的象限。

达成上还目标的标志是：

(1)对于给定的一个任意角，能说出旋粘方向及旋转量，并粕在

直角坐标系中作出该角，还能判断它是第几象限角。

(2)对于两个角，会判断它们是否相等或为相反角，如果相加、

减后，从数量上，知道结果是正角、负角或零角，从图形上，还能解释

目标解析

是通过怎样的旋转得到的。

(3)知道终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍，体会

数形结合思想及特殊到一般的归纳思想。

(4)能够结合终边相同的角的集合表示，将任意角转化为

O1-360*的范困，休会转化化归的数学思想…

①学生在初中时对角已经有了一定的认识，熟悉了角的概念、角的表

示、角的分类、角的范围、角的计算等等，但具有一定的局限性，比如

学生知识情况

分析没有强调角的旋转方向，旋转量的认知限制在0°〜360°之间。

①高一学生正处于经验性抽象思维到理论性抽象思维的过渡期，思维活

跃、活泼好动，学生容易注意力不集中，因此需要管理好课堂，充分调

动学生的积极性，创设出更有利于学生理解的教学活动，帮助学生更好

地理解知识。

(3)学生学

②学生具有一定的概括归纳、类比、逻辑推理等能力，学习了实数的

情分析

相关知识，能够在此基础上通过数轴上的实数去类比学习零角、正角、

负角的概念，并能够判断任意角的正负，从而完成对角的概念进行扩充

学生认知情况的学习。进一步的，学生也能够在教师的引导下，通过类比实数的加减

分析运算，学习角的计算。

③对角的概念的推广，就像数系的扩充与推广一样，每一次折充都与

学生以前的认知产生矛盾，打破学生认知的定势难度很大.

④学生对任意角的概念还不熟悉的基础上还要认识终边相同的角，

从图形上看就是这些角的始边和终边都相同，如何定量的表示终边相同

的角并以集合的形式表示出来是学生认知的困难所在.

教学难点任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角.

(一)教学工具设计

1.“PPT演示为主”

人工智能和几何画板都可以嵌入PPTo

教学工具2.利用Al给学生整理阅读材料，帮助学生类比思考，归纳思考，

分析问题可以纵向类比，也可以横向类比。

3.利用AI形成生动形象的数学家名言警句，激励和引导学生鼓励

和思考。

(二)教学策略设计

根据“有意义接受学习“理念，考虑教学实效性，通过结合实标，问

题驱动思考，适当辅之以自主探索。

1.问题式教学策略

(4)教学策通过一系列环环相扣的问题，一方面可以激发学生的学习兴趣，另一方

略分析面良好的问题链设置，在追问过程中，学生可以越来越集中地去思考，

去构虔知识框架。

在实例驱动下既乘焦本课时的学习重点，还锻炼了学生将实际问题转化

教学方法为数学问题研究的能力，发展数学“三会”、“四能”

2.类比与旧知衔接

在扩充角的概念，学习角的计算等时，教师通过类比实数，引导学生在

旧知基础上，结合自主探索学习概念。在衔接之前学习角的形成过程，

强调研究角则可固定始边研究终边位置变化，为过渡到将角放在直角坐

标系中研究铺垫。

问题导学法、讲授法、多媒体教学法、分组合作交流学习法。

(5)教教师活动与任务设计设计意图或评

学生学习活动与

学过程价目标

设计任务解决

通过歼20飞行视频引入，飞机旋转角度超1.学生观察视频1.引导学生从

过360°,同时，两个动作还有旋转方向的可以直观感受到生活实际出发用

不同。角的大小不仅可数学的眼光分析

以超出360°还问题，归纳刻画

有旋转方向的差角的两个方面一

环节一：发问题1：初中学的角的范围是0°〜360°,

别。一旋转量和旋转

现问题，提

2.学生回答问题方向.

出问题，解那么在现实生活中还利没府不在0°

1,让学生自己举2.通过实例说

决问题

〜范围内的角？请你举例说明。例。明研究推广角的

生成任意角360°

概念的必要性

概念

3.学生观察并回3.进一步通过

问题：时钟校准

2答时钟校准后的例子说明实际生

假如时钟慢了15分钟，如何校准？请描述角度多少。活中的角不仅要

旋转量和旋转方

校准后分针所转的角度，假如时钟快了15

向。

分钟，如何校准？请描述校准后分针所转的

角度。这两个角一样吗？

一、提出问题

4.学生根据阅读

角的定义可以怎样扩充，让它和实际相一

理解定义扩充的4.学生能够接

致？包容性，每一次受角的动态定义

扩充都是对旧定比静态定义更符

二、分析问题

义的补充和包合现实，但是也

怎样解决定义扩充？让我们从数学有关知容。同时，理解缺少了方向。

识的发展历史中获得灵感吧！角的动态定义。

阅读L数的扩充历程

阅读2：角的扩充历程

第一阶段：静态定义：具有公共顶点的两条

射线组成的图形。

第一阶段：动态定义：一条射线绕其端点旋

转而成的图形。

思考L结合实际生活中的角，角的定义要

包含哪些？5.学生通过思考5.引导学生理解

会大，总结出角止角，任意角的定

的定义需要包含义来源，自主定义

思考2：怎样表示角的旋转方向，数学或者旋转量和旋转方出任意角的概念。

物理中有没有简单的方法来表示方向？向，同时结合已

有知识和方法，

符号形式：

能够联想到用正

几何形式：负来表示方向。

并从物理学习

中，用箭头在图

形上表示方向。

引导学生自主定义角的概念，结合旋转方

向。让学生回答角的定义。

6.学生能够根据6.引导学生刍主

前面的思考和引生成任意角蹴

导，回答出角的念，并结合实际

定义，正角的定理解。这样的概

义，负角，还有念不会突兀，是

零角的定义，通经过思考和类比

过能够结合前面得出的，能够理

的的"针问题和飞解任意角的来

机，飞行问题说源。

出实际中角的大

小。

让学生随堂练习，巩固理解角的方向和旋转

量。

1.动手操作：请大家共同一条始边和同一个7.通过练习，加

7.学生自主作深学生对任意角

顶点，（用箭头表示旋转方向）画一画：

图，注意用箭头的理解和表示

30°,45°,225°,270°,405°,表示旋转方向和

数字表示旋转

585°,这6个角。

量，用

例如：如图所示为30°。代数形式来表示

方向。

五、类比实数，迁移拓展

类比实数，规定如下：

学生能够类比实

培养学生类比的

两个角相等：旋转方向相同且旋转量相等数，给出相等的

思想方法

两个角相反：规定，同时进一

步给出相反角，

两个角相加：把角。的终边旋转角此时

B,以及类比实数加

终边对应的角为a+6减关系，从角的

加法中定义出减

两个角相减：

环节二：法。

类比探究角随堂练习、巩固新知

的性质和运2.将射线0M绕端点0先按逆时针方向旋转

M算x

60°,终边再逆时针旋转180°所得的角为

()

A.120°B.-120°通过练习，加深学

C.60°D.240°生对角的加法和

减法的意义理解

3.将射线绕端点。先按逆时针方向旋转

120°,终边再顺时针旋转150°形成的角为

()

A.30°B.-30°

C.60°D.60°

六.象限角的概念：

我们通常在坐标系内讨论角.为了方便,

我们把角的顶点固定在原点，角的始边与X

轴的非负半轴重合.那么，角。的终边在第

几象限，就说L这个角是第几象限的角.

让学生回答练习

1中画的角的象让学生了解象限

限。角，并能指出象限

角。

七、学生通过觊察、归纳总结出终边相同的

角的集合表示

观察与发现:45°和405°的终边相

同,4050=45'+—x360°,

提出特例：315°和它们终边相同吗?315°

=450+—x360°

225°呢？225°-45°+—x360°,

495°呢？495°=45°+_x360°,

你能根据这个规律再举一个角和它们终边

相同吗？例如：_______

提出猜想：如果角0与45。终边相同，那么学生能够根据观

察与发现，猜想

0=45°+kx360°,kG_____

出结论学生经历观察与

推理证明：任意一个和45°终边相同的角，发现，提出正面特

都满足这个表达式，满足这个表达式的角和例和反而特例，进

一步猜想出结论,

45°终边相同。

根据讲解之后，培养学生学习从

结论：和45°终边相同的角集合S=理解结论，同时特殊到一般的思

能够对结论进行想方法。

思考：45°属于这个集合吗？

推广。

思考：将45°推广到一般角a,结论应该

是什么？(用集合表示与角a终边相同的集

合)

与角a终边相同的集合$=

随堂练习、巩固新知

4.(1)在0°〜360°范围内找出与765°角

终边相同的角，并判定它是第几象限角.

4.(3)推广(2)的结果，如图所示，一直

线和％轴正半柚有一夹角a,

4(1)是培养和引

导学生将任意角

学生能够自主完通过终边相同的

X成4(1)4(2)角的集合转化到

4⑶0°〜360°o

4(2)是在终边

相同的基础上运

用结论推广到终

边在直线上的集

合表示，

4(3)从特殊到

一般,将4⑵

的结论推广任意

角。

进一步培养学生

从特殊到一般的

数学思想

通过总结,让学生

自行归纳总结本

节所学内容，提高

课堂总结

概括能力。对知识

的整理和归纳能

力

1.动手操作：请大家共同一条始边和同一个学生动手作图评价学生对任意

角概念的理解层

顶点，(用箭头表示旋转方向)画一画：

度。

30°,45°,225°,270°,405°,

585°,这6个角。

例如：如图所示为30°。

2.将射线OM绕端点0先按逆时针方向旋转

60°,终边再逆时针旋转180°所得的角为

()

学生回答并结合加评价学生对加法

A.120°B.-120°法和减法讲解理解和减法的理解掌

握程度

C.60°D.240°

3.将射线OM绕端点。先按逆时针方向旋转

120。，终边再顺时针旋转150°形成的角为

()

(6)课堂A.30°B.-30°

教学目标

C.60°D.60°

检测

评价学生对象限

角的掌握程度

学生自主解答并回

答

4.(1)在0°—360°范围内找出与765°角

终边相同的角，并判定它是第几象限角.

评价学生对终边

相同的角，以及象

4.(3)推广K2)的结果，如图所示，一直

学生自主解答并讲限角的理解。

线和x轴正半轴有一个夹角a,解

评价学生对终边