期末数学达标检测试题（解析版）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册

2025-2026学年九年级上册

期末培优检测试题

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.抛物线y=3（x+2）+1的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（—2,1）D.（-2,-1）

【答案】C

【解析】

[分析】根据抛物线的顶点式），=a（x-h）2^k解题即可.

【详解】解:抛物线），=3（工+2）2+1=3[*-（一2）『+1的顶点坐标为（-2.1）

故选：C

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式.

2.如图，N1=N2,要使△43CS/XAQE,只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）

ACBC

D.-----=-----

AEDE

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角

法、三边法、平行线法.先求出NZME=N8AC,再根据相彳以三角形的判定方法分析判断即可.

【详解】・・・/l=N2,

,Zl+ZBAE=N2+ZBAE，

・•・ADAE=ZBAC,

A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC故此选

项不合题意；

R、添加NC=NE可利用两角法：有两组角对应相等的两个二角形相似可.得△A8CS_AAZ）E・故此选

项不合题意；

C、添加工二普可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项

AEAC

不合题意；

D、添加£一二一）不能证明应，故此选项符合题意；

AEDE

故选:D.

3.如图，平行于x轴的直线与函数3=：*＞（））,），=g（QO,x＞（））的图象分别相交于A,8两点，点A在

点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若VABC的面积为2.则氏的值为（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设A（a,/z）,,根据

反比例函数图象上点的坐标特征得出。〃=6,bh=k,根据三角形的面积公式得到;（6-火）=2,是解

题的关键.

【详解】解：■AB〃x轴,

A，3两点纵坐标相同，

设A（a,力），B（b,h）,则Hz=6,hh=k,

・.£wc=J（a-b）6=J（H-H）=J（6-Z）=2,

LLLL

:.k=2,

故选:C.

4.已知二次函数y=（x-h）与I（h为常数），在自变量x的值满足1WXW3的情况下，与其对应的函数

值7的最小值为5,则h的值为()

A.3或5B.-1或1C.-1或5D.3或1

【答案】C

【解析】

【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x>h时，y随x的增大而增大、当xVh时，y随x

的增大而减小，根据1WXW3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若hVlgxW3,x=l时，y取得最

小值5；②若13W3Vh,当x=3时，y取得最小值5,分别列出关于h的方程求解即可.

【详解】•・•当x>h时，y随x的烂大而增大，当xVh时，y随x的增大而减小，

，①若hVWxW3,x=l时，y取得最小值5,

可得：(1-h)2+1=5,

解得：h=-1或h=3(舍)；

②若lWx03Vh,当x=3时，y取得最小值5,

可得：(3-h)为1一5,

解得：h=5或h=l(舍).

综上，h的值为-1或5,

故选C.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.

5.在平面直角坐标系中，已知点A(T,2),8(-6,T),以原点。为位似中心，相似比为杷△A3O缩

小，则点A的对应点A的坐标是()

A.(-8,4)B.(8,T)C.(—8,4)或(8,-4)D.(―2,1)或(2,—1)

【答案】D

【解析】

【分析】根据位似比的性质可知，用点A的坐标分别乘以±3即可求解.

【详解】解:点4-4,2),相似比为3，

1I(

・••点A的对应点A的坐标是一4X彳=-2,2x7=1,即4(一2,1),或者一4x--=2,2x--=-1,

22I2)\2)

即砍2,-1),

故选：D.

【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比(正数相似比，负数相似比)

是解题的关键.

6.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、。、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接A3、CD

相交于点P,根据图中提示添加的辅助线，可以得到cos/8PC的值等于（）

A.BB.旦C.—D.2-72

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理」等腰直角三角形的性质与

判定等等，过点B作3"_LC£＞于H,先证明/6CD=45。，进而解直角三角形得到

CH=—fBH=—fCD=4i，再证明ZXA尸尸Q得到CP=3CO=述，则

2244

PH=CP-CH=立,利用勾股定理求出8P=巫，再利用正切的定义求解即可.

44

【详解】解：如图所示，过点3作BH上CD于H,

•・•8C=BD=1,NCBD=9（尸,

・•・ZBCD=45°，

ACH=BC^cosZBCH=—,BH=BCsin/BCH=也,CD=-=72,

22cosZBCD

•：AC//BD,

・•・^APCsABPD,

CPAC

~DP~BD

・•・PH=CP-CH=—,

4

・•・BP=dPH，BH)=—，

4

也

**•cosZ.BPH==-4=-=E，即cosNBPC=—，

PBV1055

丁

故选:B.

7.如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌.，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米,

ZMAD=45°,NMBC=30°,则警示牌的高CD为()

C

多券路段'、、、、

谨慎驾驶D、、、、、

\、

_________'30汴、

MAB

A.4G米B.(26+2)米C.(4及-4)米D.(46-4)米

【答案】D

【解析】

【分析】在RtACMB中求出CM,在RtAADM中求出DM即可解决问题.

【详解】在RtACMB中，VZCMB=90°,MB=AM+AB=12米，NMBC=30°,

77

.・.CM=MB-tan30°=12x2=4百，

3一

在RtZkADM中，・・・NAMD=90。，ZMAD=45°,

AZMAD=ZMDA=45°,

・•・MD二AM二4米，

/.CD=CM-DM=(4^-4)米，

故选D.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定

义，属于基础题中考常考题型.

8.如图，在RtZ\A6c中有边长分别为a,b,c•的三个正方形，则〃，b,c,满足的表达式为()

A.ac=bB.a-vc=bC.-------=—D.c2=ab

2c

【答案】B

【解析】

【分析】根据在Rt^ABC中有边长分别为小b,。的三个正方形，得出图中三角形都相似，且与。、b、

关系密切的是1和aG。尸，只要它们相似即可得出所求的结论.

【详解】解：•・•图中四个四边形正方形，

・•・DH〃AB,QF//AB,

，DH//AB//QF,

；・ZEDH=ZA，4GFQ=4B,

又•；ZA+/3=90。，/EDH+/DEH=90。,NGFQ+NFGQ=90°,

：.4EDH=/FGQ,ZDEH=ZGFQ,

一.△DHESQQF,

.PH_EH

,,衣二而

：.--a-=-b---a,

b-cc

〃c=他-,

/.b2=ab+bc=b(a+c),

，〃+c=Z?,故B正确.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，余角的性质，解题的

关键是证明&DHEs4QF.

9.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管0P=3m,水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,

若最高点距水面4m,P距抛物线对称轴Im,则为使水不落到池外，水池半径最小为（）

A.1B.1.5

D.3

【答案】D

【解析】

【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令广。，即可求解.

【详解】如图建立坐标系：

抛物线的顶点坐标是（1,4）,

设抛物线的解析式是y=a（x-l）2+4,

把（0,3）代入解析式得：a+4=3,

解得：a=-l,

则抛物线的解析式是:y=-（x-l）2+4,

当y=0时,-（x-l）2+4=0,

解得：X|=3,X2=-l（舍去），

则水池的最小半径是3米.

故选：D.

【点睛】本题考杳了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键.

10.已知二次函数y—ar?十历v十c（a40）的图象如图所示，在下列5个结论：@abc>0；®b<tz+c;③

4a+»+c>0；®2c<3b；⑤。+〃<，心利十份（加工1的实数），其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的图像与性质逐项判断即可.

【详解】解：开口向下，a<0x对称轴在）'轴的右侧，。、b异号,则Z?>0；抛物线与轴的交点在x轴的

_L方，c>0,贝Ha仇：<0,所以①不正确；

当工=一1时图象在x轴下方，贝ijy=。一〃+。<0,即a+cv。，所以②不正确;

对称轴为直线x=l,则x=2时图象在工轴上方，则y=4a+»+c>0,所以③正确：

x=---=1,则。=-'/?,而〃一〃+cv0，则一！〃一〃+c<0,2c，<3〃，所以④正确；

2a22

开口向下，当x=l,y有最大值a+b+c；当x=1）时，y=am2-vhm-vc,则

a+b+c>c"/+bm+c，即〃（卬〃+勿（"冲1）,所以⑤错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和系数的关系.

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分.

</r\2

11.在锐角三角形ABC中，已知/4，满足sinA-事+|JJ-tanq=（）,则NC二.

【答案】75。

【解析】

【分析】根据实数的非负性，得$皿4一@=0,6-1@113=0计算44=45。,/8=60。，利用三角形内

2

角和定理计算即可.

本题考查了特殊角的二角函数值.实数的非负性,二角形内角和定理,熟练掌握特殊角的二角函数值是解

题的关键.

【详解】解：•・•sinA—孝)+|73-tanfi|=O,

sinA=0,V3-tanB=0»

2

AZA=45°,Z5=60°,

・•・ZC=180°-ZB-ZA=75°

故答案为：75。.

12.抛物线丁=加+区+《4>0)与x轴交于(-1,0)和(3,0)两点，当k时，y<0.

【答案】—I<xv3

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键.

由于抛物线与X轴交于(-1,0)和［3,0)两点，且〃>0,抛物线开口向上，则丁<0时x的取值范围为两个

根之间的区间，据此求解即可.

【详解】解：由根与系数的关系，抛物线y=ar2+"+c的根为玉二-1和々=3,

由于。>0,抛物线开口向上，

故当x介于两个根之间时，y<0,

**•-1<x<3.

故答案为：—lvx<3.

13.如图，抛物线y+c与直线必二丘十〃?的交点为A(l,-3),5(6,1).当,〉心时，x的

取值范围______.

【答案】或x>6##x>6或x<l

【解析】

【分析】根据图像即可得出y>巳时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出入的取值范围.

【详解】如图所示，抛物线y=♦+法+c与直线），2=依+加的交点为A（l,—3）,5（6,1）,

，当%>为时，x<1或x>6.

故答案为：x<l或x>6.

【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键.

14.如图，一次函数，=，皿+〃（加、〃是常数加工0）与反比例函数），=々攵。0）的第一象限的图象交于

点A（-l,。），8两点，与X轴，y轴分别交于点C,D，且OC=OO=3,则左的值为.

【答案】-2

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数与•次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数

图象过某个点，这个点坐标应适合这个函数解析式.

先求得C（—3,0）,。（0,3）,再根据待定系数法求出一次函数的解析式为y=x+3,再将A（-1M）代入一

次函数解析式中求得A（—L2）,再将4（—1,2）代入反比例函数），=V中求出A的值即可.

.1

【详解】解：•.•一次函数丁="a+〃的图象与X轴、y轴分别交于点C,点。，OC=OD=3,

/.C(-3,0),0(0,3),

-3m+n=0

把C,D坐标代入y="就+〃得：〈

n=3

m=1

解得：

n=3

「•一次函数解析式为y=A-+3,

当工=-1时，y=2,

・/A是•次函数产"3的图象与反比例函数y=§(ZwO)的图象的交点，

:.k=xy=-\x2=-2.

故答案为：—2.

15.已知：如图，在VABC中，D为的中点，石为AC上一点，力E延长线交BC延长线于点尸.若

【答案】；

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；作CG〃A〃交于G,由中点的定义得出AD=Z?D，由

RFRDAEAD

平吁线得出友罚AADES^CGE,得出对应边成比例一r二—r所以

CFCG~EC~~CG

BFAE.

-----==3,即可得出结论.

CFEC

【详解】证明：过点。作CG〃/13交。b于G,如图,

•.•D为A3的中点,

/.AD=BD，

,/CG〃AB，

FBDFSACGF,AADES^CGE,

,BF_BDAEAD

'~CF~~CG，~EC~~CG，

BFAE°

-----=-------=3,

CFEC

CF1

/.——=—.

BC2

故答案为：g.

16.如图，VA3C是块锐角三角形余料，边/C=120mm,高AD=80mn],要把它加工成矩形零件「QMN,

使一边在8C上，其余两个顶点分别在边A8、AC上，当尸Q=40mm,则A”的长度为mm.

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据矩形的对边平行得到3C〃尸Q,利用“平行于三角形的一边

的直线截其他两边，得到的三角形与原三角形相似”判定即可.

【详解】解：•・•四边形PNM。为矩形，

•.BC//PQ,

：AD1BC,

•・PQ1AD,

•・△APQ^Z^ABC,

.AH_PQ

'~AD~~BC

.AH_40

苗一芮

\A/7=y(mm),

17.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,AO=4m,坝高4/二力石=6|11,背水坡A3的坡比i=

迎水坡C。的坡比i=l:3,则3c的长为m.

4m

【答案】31

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形AO灯是矩形,

则可得到砂=A7)=4m，再解直角三角形求出4F,CE的长，进而可求出8c的长.

【详解】解：由题意得.AD//BC.AF±BC,DE±BC,

，A尸_L4）,

・•・四边形AOEF是矩形，

；・EF=AT>=4m,

•・•背水坡AB的坡比i=1:1.5,迎水坡CD的坡比i=1:3,

.AF_1DE_1

，，~BF~L51~CE~3,

VAF=DE=6m，

:.BF=9m,CE=18m，

・•・5C=BF+EF+CE=31m,

故答案为：31.

三、解答题：本题共7小题，共69分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

18.计算:

（1Y1

（1）4sin300-2cos300+tan2600+--；

I2）

/T

（2）|73-2|+—sin45o+3tan30°.

【答案】⑴3-6

⑵-

4

【解析】

【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

（1）先根据特殊角的三角函数值、负指数哥的运算法则计算，再合并即可；

（2）先代入特殊角的三角函数值及化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可.

【小问1详解】

解：4sin30°-2cos30°+tan260°+（—

I2）

=4xl-2x-^+（5/3）2-2

=2-6+3-2

=3-s/3

【小间2详解】

解：2-2+—sin450+3tan30°

4

c3叵V2.x/3

=2-V3+——x——+（3x——

423

=2—5/3H---F5/3

4

—9

4

19.如图1,是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高

点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB=120cm,BD=80cm,

?ABD90?,ZBDQ=60°,底座四边形所尸。为矩形，跖=5cm,请帮助数学小组回答下列问

题.（结果精确到1cm,参考数据：拒才1.41，6=1.73）

（2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大-450,则当/A5O从

90,增大到105。后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？

【答案】（1）74cm

（2）25cm

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键.

（1）通过构造直角三角形，利用60。角的正弦值求出3。对应的竖直高度，再加"的长度，得到8到地

面的距离为74cm；

（2）分？ABD90?和105。两种情况，用对应角度的三角函数求A8的竖直高度，结合8到地面的距离

算出4的高度，作差得增加了25cm.

【小问1详解】

解：如图，过点A作AG_L尸尸丁点G,与直线。石交于点〃，过点6作于点用，过点。作

DNLBM于点、N,

Ad

/

Ni

aA

;

Q\DE\H

b去卷.地面

・•・四边形四边形七尺汨均为矩形,

:・MH=ND,EF=HG=5,BM〃DH,

・•・/NBD=NBDQ=60°,

由图可得：8到地面p尸的距离为MG,

在Rlz^RVD中,

,:乙NBD=0f,BD=80cm,

:.ND=BDxsin60°=80x^=4()6«69(cm),

<MG=MH+HG=ND+EF,EF=5cm,

MG=(69+5)cm=74cm.

故8到地面PF的距离为74cm；

【小问2详解】

解：最高点A到地面的高度为AG=AM+MG=（AM+74）cm,

当90?时，ZABM=ZABD-ZNBD=90°-60°=30°,

在RtaABM中,

TAB=120cm,ZABM=30°,

/.AM=AB^nZABM=AB•sin30°=60cm,

AG=(60+74)cm=134cm,

当乙48。=105。时，ZABM=45°,

同理得AM=®AB=6()gcm工85cm,

2

/.AG=159cm.

A159-134=25cm.

故当NA3O从90。增大到105。后，展板的最高点A到地面的高度增加了25cm.

20.已知：AB//CD,4。与8c交于点E,过点石作石尸〃8,交8。于点F.

（1）如图1,当A3=CD时，求证：BF=DF；

1_11

（2）如图2,求证:而一加+而

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.

（1）利用平行线的判定和性质求得比〃/W,证明△QEFs.o钻，小BEFS^BCD,推出

EFDFEFBF

由A6=CD,即可证明即=OF：

~AB~~DB'~CD~~DB

EFDF需需求得翁群言黑啜“变形即可证明结论成立•

⑵同理部=丽

【小问1详解】

证明：・・・48〃CO,EF〃CD,

；・EF〃AB,

：・ADEFSQAB，ABEFSABCD,

EFDFEFBF

••丽一而'CD-DB*

VAB=CD,

BFDF

:.----=-----，

DBDB

・•・BF=DF;

【小问2详解】

证明：同理尸S^QA5，ABEFS^BCD,

.EFDFEFBF

••耘一丽’~CD~~DB'

ErErDFBEDB

~IB^~CD~~DB+~DB~~DB~X'

.EF(AB+CD)

»•--------------------------=1

ABCD

..1---A---B----+---C---D-------1---__1__

**EF-ABCD~ABCD'

21.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药

物浓度y（单位：微克/亳升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示,

（1）求），与x之间的函数表达式.

（2）血液中药物浓度不低于4微克/亳升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？

2x(0W4)

【答案】（1）y=<32/人

;(x>4)

（2）服药后对人体的有效时间是6h

【解析】

【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关

键.

（I）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的K又值范围即可;

（2）根据题意得出），=4时两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围.

【小问1详解】

当O0XW4时，函数为正比例函数，设：y=kxt

•・•函数经过点（4,8）,

・•・8=攵x4,即A=2,

・••当0WxW4时，y=2x；

HI

当工>4时，函数为反比例函数，设：y二一，

x

•・•函数经过点(4,8),

・・・8=；,即帆=32,

4

32

，当x>4时，y=--,

x

2x(0<x<4)

•-y=\32/八；

小>4)

【小问2详解】

当药物浓度为4微克/亳升时，即y=4时，

由2x=4,得x=2,

32

由一=4,得工=8,

x

・•・根据图象可以判断出：当2Wx<8时，血液中药物浓度不低于4微克/亳升，

，持续时间为8-2=6h.

22.如图，一次函数)，i=ar+〃的图像与反比例函数为二或的图像交于点4(4,6)，B(-6,-2).

(1)求攵的值和一次函数的表达式；

(2)关于x的不等式or+人>士的解集为；

(3)若点尸为直线上的动点，过点尸作PQ〃y轴，与反比例函数的图像交于点Q,当△。。。的面

积为6时，请直接写出点。的坐标.

【答案】(1)左=12,y=-x+l；

2

(2)-6<x<0X>4；

(3)(-2,-6),(6,2),(-8,-1.5).

【解析】

【分析】本题考查求一次函数解析式和反比例函数解析式，利用交点求不等式取值范围，反比例函数图象和

性质及几何结合问题.

LL12

（1）把8（-6,-2）代入％二一中得：—2=一，即％=12,再将A（4,加）代入％=一中得：力=3,

x-6x

将A（4,3）,3（-6,-2）代入,二"+力中即可求得一次函数解析式；

（2）将反比例函数和一次函数联立求出交点坐标再结合图象即H得到本题答案；

112

（3）设点P（乂-x+1）,则点Q（x,一）,则表示出△OPQ的面积，继而得到本题答案.

2x

【小问1详解】

解：•・,一次函数的图像与反比例函数以二人的图像交于点4（4,〃?），8-6,-2）.

X'

・••把8（-6,-2）代入％中得：-2=4，即％=12,

1?

・••反比例函数解析式为：%=一，

x

12

再将A（4,〃?）代入以=一中得：为=3,

X

;n=3»

即：A（4,3）

将A（4,3）,3（-6,-2）代入,=*+〃中得：\_6a+b=_^

_1

解得：」“一5,

b=\

・•・一次函数解析式为：y=Jx+l；

【小问2详解】

121

解：由（1）得：％=一和X=;工+1，

x2

1

y=5工+1

12

y=—

x

x=4x=-6

解得：，C或,

），二3

•・•根据图像可知:

k

在交点A的右侧符合ax+b>即x>4,

x

在交点8和)，轴之间符合+即-6<x<0,

x

综上所述：不等式办+〃>人的解集为-6<x<0或人>4,

x

故答案为：-6<xv0或心>4；

【小问3详解】

解：设点P(x—x+1),则点Q(1,—)»

i2x

则△OPQ的面积为:

SqPQ・卬f”1Tx⑶=6,

解得：x=6或工二一8或1二一2,

再把上述的人的值分别代入y=：x+1,算出丁的值分别是2,-1.5,-6

即点。的坐标为：(一2,-6),(6,2),(—8,—1.5).

3

23.如图，抛物线丁二一一/+后+。与”轴交于点人和点3(5,0),与)，轴交于点。(0,-3),连接BC,

5

点E是对称轴上的一个动点.点P在抛物线上.

（2）当点尸在第一象限内，连接心，PC,当△P8C的面积最大时，求点尸的坐标及最大面积.

（3）在抛物线上是否存在点P,使△8PE是以跳为斜边的等腰直角一角形？若存在，请求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

31Q

【答案】（1）y=~x2+—x-3

5

（2）最大面积1

（3）存在,（。'-3），（H）,（6,-3）,d）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件将点8、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式；

（2）先求出点A的坐标和直线3C的解析式，设点P的坐标为（居一^^+《/-3）（1<工<5）,把△QBC

的面积转化为Sjwc=S△呐+S△的，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面

积最大值，进而得到P点坐标；

（3）设£（3,利），P/z,--n2+y«-3j,分两种情况讨论：

①当点。在x轴上方（1<〃<5）：过点P作对称轴垂线，垂足为凡过点8作BGLP/7于点G,通过

3IX

证明尸Gg△庄尸（AAS）,得到一士/十三〃-3二，-3],解方程求出〃的值，得到点尸的坐标；

55

②当点P在X轴下方（">5或〃<1）：过点尸作X轴的垂线，垂足为H,过点E作EK_LP〃于点K,通

31Q

过证明畛△PEK（AAS）,得到]〃2一（〃+3=|〃一3],解方程求出〃的值，得到点夕的坐标，综

上所述，得到所有满足条件的P点坐标.

【小问1详解】

3

解：・・•抛物线3=一已f+bx+c经过5(5,0),C(0,-3),

5

：-15+5Z?+c=0

31ft

・•・该抛物线的解析式为y=--x2+yx-3.

【小问2详解】

3IX

解：・・・)，=一三工2+一1―3,

55

18

・•・抛物线对称轴为直线X=

・.•点人与4(5,0)关于直线x=3对称，

・•・4(1,0),

设直线BC的解析式为y=ax+bt

3

/、/、0=5〃+ba=—

把8(5,0),。(0,-3)代入可得〈,解得：5,

[b=-3

・•・直线5c的解析式为y=|x-3,

<3e]8、

设点P坐标为+—x-3(1<x<5),

I33J

如图，过点P作轴交8c于点。，则点。坐标为(x[x—3

金+生

・•・PD=--x2+3x,

（55

3，15

:，S&PBC=^i,PDC+S&PDB=2PDOB=-X5X\--X2+3X一厂十一x，

2522

15X,其中a=—g<0,函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值,

对于二次函数s=-3/+一

222

15

b25

:对称轴为'二一五

2,

2x——

I2)

5ar5丫15575

・・・当工=不时，S“8c有最大值为—±x--x-=—,

22Uj22+8

w5…32.18、阳3(5丫185r9

将x=一代入y=—xH—x—3得：y=—x—H—x—3=一»

2555⑴524

，59、

即当点。坐标为Ht,△PBC的面积最大，最大面积为?.

(24)B

【小问3详解】

3184

解：设E（3,〃z）,P——〃2~H---n-5,

55,

①当点P在x轴上方时，

过点尸作对称轴的垂线，垂足为忆过点B作BG工PF于点G,

>

X

VaBPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，

；・/BPE=90°,PB=PE，

:.4BPG+/EPF=90。,

,:/G=47芯=90°,

・•・/BPG+NPBG=90。,

・•・/PBG=4EPF,

在△8PG和！尸所中，

NG=NPFE=90。

<NPBG=/EPF,

PB=PE

・•・ABPG^APEF（AAS）,

:.BG=PF,

3]X135

:.一一tr+—/?-3=|/?-3|,解得〃|=一,%=（）（舍），%=-，&=6（舍）,

533

・,U・*3,j[呜A33*j

②当点。在x轴下方时，〃>5或〃<1,

如图，过点P作x轴的垂线，垂足为从过点E作五于点K,

:△BPE是以BE为斜边等腰直角三角形，

・•・/BFE=9Qc,PB=PE，

:./RPH+/EPK=a)°.

,:乙K=/PHB=3T,

・•・4BPH+/PBH=90。,

:.乙PBH=/EPK,

在ABPH和VPEK中,

NK=NPHB=9U。

<NPBH=NEPK,

BP=PE

:・^BPH珏PEK（AAS）,

・•・PH=EK,

32]8135

/.-n-----〃+3=|〃-3|,解得％=0,n2=—（舍），n3--（舍），%=6,

〉33

A/?（0,-3）,/J（6,-3）,

综上所述，点P的坐标为（0,-3）,（H），（6,-3）,（H-

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角

形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及