鲁教版（五四制）九年级数学上册《二次函数的应用》同步练习题及答案

鲁教版(五四制)九年级数学上册《3.6二次函数的应

用》同步练习题及答案

题型一销售问题

L某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件.经调查发现，这种商

品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件.设销售单价上涨x元(x为整数)，每天销售利润为)，元.

(1)求y与x之间的函数关系式.

(2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

2.某宾馆有50个房间，供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价

每增加10元时，就会有一个房间空置.如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用.若设定价增

加x元，宾馆获得利润为了元.

(1)宾馆有个房间有游客居住，》的取值范围为;

⑵求宾馆可获得的最大利润.

3.(1)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带''的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9

月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长

率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率.

(2)某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩

大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.

①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？

②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值.

4.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.

(I)求每次下降的百分率；

(2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨

价措施，若每千克涨价1元，日俏售量将减少40千克.

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①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元；

②设每天的总利润为w元，当每T•克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元?

题型二投球问题

I.如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球制手时的正下方地面上i点o为原点建立平面直角

Q2

坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度)m与水平距离皿1之间的关系为,，=-2/+,.+2,则

813

该运动员这次抛出的水平距离为()

9mC.11.25mD.12m

2.九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高gm,与篮圈中心的水平距离为7m,

当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？

(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功？

3.某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓

球.建立如图所示的平面直角坐标系(长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行,

米，OA=RC=2米),小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的〃处抛出,乒乓球运行轨迹为抛

物线，当乒乓球离•小明1米时，达到最大高度2米.

九

P^^AD

~OBCX

(i)求抛物线的解析式;

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(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明.

题型三拱桥问题

1.湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度A8为4

米，桥墩露出水面的高度八区研均为0.88米，在距点A水*距离为2米的地点，拱桥距离水面的高

度为2.88米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为)=。('-")2+攵，其中Mm)是

横截水面，)，(m)是拱桥距水面的高度.

游船参数：长5.7米，宽2.2米，

满员后游船露出水面高度为2.16米

(1)求抛物线的解析式；

⑵公园欲开设游船项目，为安全远见，公园要在水面上的两处设置航行警戒线，并且&=。尸,

要求游船能从C、。两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离8至少为多少米？

2.一座桥如图，桥下水面宽度入〃是20米，高CD是4米.

⑴如图1,若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式;

⑵要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

3.某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的曲部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米,

它两侧和4〃是高为5.5米的页柱，以和OA为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段C。和

C。为两段对称的上桥斜坡，且桨=祟=；以CC所在直线为x轴，横断面的对称轴为丁轴建立平

ACAC4

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面直角坐标系.

⑴求桥拱即'所在抛物线的解析式及OC的长;

⑵跖和ZTE为支撑斜坡的.立柱，其高都为4米,相应的AB和A0为两个方向的行人及非机动车通行区,

，求AB的范度；

BCAC

(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米.今有一大型运货汽车,

装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距高均为7米.它能否从桥下区域安

全通过？请说明理由.

题型四图形问题

1.如图，用长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度”为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花

圃的宽A8为工米，面积为S平方米.

(1)求S关于x的函数表达式.

(2)如果要围成面积为45平方米的花固，A8的长为多少米？

(3)45平方米是否为花圃能围成的最大面积？若是.请说明理由：若不是，请求出花圃的最大面积.

2.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的

H.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27米.

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//4/////，///////

门

_n__n

(1)假设垂直于增的一道增长为x(m),饲养室面积为S(m?),求5关于x的函数关系式.

(2)能建成的饲养室面枳最大为多少平方米？

3.如图，在VABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点p、N分别在人8、AC上，QM在边上.若BC=l6cm,

AO=12cm,求矩形PQMN的面积最大时，PN的长度.

4.如图三角形48C,BC=12,A。是8c边上的高AO=8.P,N分别是A8AC边上的点，Q，M是8C上的点,

连接PQMN,PN交AD于E.

⑴若四边形PQMN是正方形，求PQE勺长(图一)；

(2)若四边形尸QMN是矩形，且PQ:PN=1:2.求尸。、PN的长(图二)；

⑶若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时.求最大面积和PQ、PN的长.

5.如图，在平面直角坐标系中，四边形Q48C是正方形，点A,C分别在4轴、》轴上，点以2,2),0,E分别是边。4、

CO上的动点，且OO=CE.设力(x,0),0<x<2,V8DE的面积为S.

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（1）用含％的式子表示5；

（2）当x的值为多少时，S的值最小？求这个最小值.

题型五图形运动问题

1.如图，在^4ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点£在48边上由点A向点8运动（不与点A,点3重合）,

过点E作E/垂直A3交直角边于F.设=ZXAE产面积为6则），关于x的函数图象大致是（）

2.如图，在矩形A8C。中，AB=2cm,BC=4cm,点。从点4出发，以lcm/s的速度沿3c方向运动到点C停止，

同时点P从点8出发，以2cm/s的速度沿路线BTATDTC运动到点C停止.若小PQ的面积为y（单位：cm?）,

运动时诃为x（单位：s）,则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（）

-----------------------------1。di-----------------------------1。

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A.

|y/cm?

D.

O\\234x/s

3.如图I,在菱形A8CO中，ZABC=60°,连接8。，点M从点3出发沿B。方向以瓜m/s的速度运动至点D,点

N同时从点3出发沿BfC—D方向以2cm/s的速度运动至点。.设运动的时间为二，△8M/V的面积为广m?.已

4.在RtZXABC中，ZC=90°,47=12,8c=8,D,E分别是A8,AC的中点，点M,N分别从点A,E出发，

沿折线A-C-3方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点N到达点8时，两点同时停止运动.设△DMN的

面积为S,运动时间为，秒，则S与［之间的函数图象大致为（）

B

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5.如图，在VA8C中，?B90?,AB=6cm,8C=12cm,动点P从点A开始沿边A8向3以lcm/s的速度移动(不

与点8重合)，动点Q从点8开始沿边8c向。以2cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A8同时出

发，那么经过_____秒，四边形八尸。。的面积最小.

6.在矩形A8CD中，A8=10cm,BC=12cm,点尸从点A开始沿边48向终点8以2cm/s的速度移动，与此同时,

点。从点8开始沿边8c向终点C以4cMs的速度移动.如果夕、Q分别从A、3同时出发，当点。运动到点。时，

两点停止运动.设运动时间为，秒.

(I)填空：BQ=cm,PB=cm(用含，的代数式表示);

(2)当/为何值时，PQ的长度等于10cm?

(3)是否存在/的值，使ABP。的面积S最大，若存在，请求出此时f的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

题型一销售问题

1.某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件.经调查发现，这种商

品的销售单价每上涨I元，每天销售量就减少10件.设销售单价上涨x元(x为整数)，每天销售利润为)，元.

⑴求y与x之间的函数关系式.

(2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】⑴丁与x之间的函数关系式为jy-lOd+iooo

(2)俏售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大利润是1000元

第8页共30页

【分析】本题主要考查二次函数的应用.

（1）由题意易得销售量为（100-lOx）件，然后根据“销售利润=单个利润x销售量”可进行求解；

（2）由（1）及根据二次函数的性质可直接进行求解.

【详解】⑴解:由题意得y=（30-20+力（100-lOx）

=-10x2+1000,

答：了与x之间的函数关系式为），=-IOY+IOOO；

（2）解：由（1）得"-10r+1000,

•••一10<0,

二当x=0时,y有最大值为y=-10x（）2+1000=1000,

••・俏售单价定为30+0=30（元），

答：当销售单价定为30元时，每天销包该商品的利润最大，最大利润为HXX）元.

2.某宾馆有50个房间，供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价

每增加10元时，就会有一个房间空置.如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用.若设定价增

加工元，宾馆获得利润为y元.

（I）宾馆有个房间有游客居住，％的取值范围为:

（2）求宾馆可获得的最大利润.

【答案】（1）卜0-船，004500且工是10的倍数；

（2）宾馆可获得的最大利润为10890元

【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：

（1）根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空置，列出代数式即可，根据宾馆总共有50个房

间，求出x的范围即可；

（2）根据总利润等于单个房间的利润乘以有人居住的房间数，列出函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可.

【详解】⑴解：由题意，宾馆有（50一•个房间有游客居住，

（50-木）20,解得xW500,

故04/4500且x是10的倍数；

（2）由题意，y=（180+x—20）（50—舒

整理得：y=--X2+34X+8000,

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x=----7——-=170_

」•当2x,高兀时，N行最大值为-x17()2+34X170+S000=10890；

答：宾请可获得的最大利润为10890元.

3.（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带''的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9

月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售15（）个，U月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长

率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率.

（2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•6节，商店决定采取适当的降价措施，扩

大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.

①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？

②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值.

【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）①20元，②每件服装应降价15元时，一天取得最大利润，

最大利润为1250元.

【分析】本题考查了一•元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程和函数关系式是解题的关键：

（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份

到11月份销售量的月增长率相同可得150（l+x『=216,再解方程即可；

（2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为（20+2x）件，根据单件利润x销售量=总的利润，即可列出一元

二次方程，解方程经检验后可得答案：

②设每件衣服应降价〃?元，每天盈利卬元，根据单件利润x销售量;总的利润，即可列出二次函数关系式，再根据

二次函数的性质求解即可

【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为工，根据题意匕得：150（l+xf=216,

解得：X,=0.2=20%,々=-2.2（舍去），

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

（2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为（20+2x）件，

由题意得，（20+2x）（40—x）=1200,

整理得：x2-30x+200=0,

解得x=2（）或工=1（）,

又•.•要尽量减少库存，

x=20»

答；每件服装应降价20元;

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②设每件服装应降价〃?元，每天盈利卬元，

由题意得,w=（20+2m）（40-/n）

=800+80/〃-20/〃-2nr

=-28+606+800

=-2（m-15）2+1250,

-2<0,且降价金额不超过30元且不少于5元，

.••当相=15时，卬最大，最大为1250,

・•.每件服装应降价15元时，一天能取得最大利润，最大利润为1250元.

4.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克5（）元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.

（1）求每次下降的百分率：

（2）若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨

价措施，若每千克涨价1元，口销售量将减少40千克.

①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元；

②设每天的总利润为卬元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）每次下降的百分率为20%：

（2）①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大,

最大利润是16000元

【分析】本题考杳一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程和写

出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值.

（1）设每次下降百分率为x，得50（17）2=32,求解即可.

（2）①根据销售盈利=销售量x每千克盈利，列出方程求解即可.

②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时,

每天的利润最大，最大利润是多少元.

【详解】（1）解：设每次下降的百分率为r.

由题意可得：50（17）2=32,

解得内=0.2,乙=1-8（舍去），

答：每次下降的百分率为20%；

（2）①设每千克应涨价a元，

由题意可得：（15+a）（1000-40"）=15000,

第11页共30页

解得q=0,1=10，

答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价。元或10元:

②设每千克应涨价〃?元，

2

由题意可得，W=(15+//?)(1000-40/^)=-40(/H-5)+16000,

•••当加=5时,W取得最大值,此时卬=16000,

答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元

题型二投球问题

1.如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角

Q7

坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度）如与水平距离刈】之间的关系为），=-白/+21+2,则

oI3

该运动员这次抛出的水平距离为（）

C.11.25mD.12m

【答案】B

QO

【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键.解方程y=-x+2=o,求出结果即

1813

可.

oo

【详解】解：令y=。，则。=一白/一.+2,

813

9

解得：---（舍去），占=9,

4

则该运动员这次抛出的水平距离为9m.

故选：B.

2.九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20与m,与篮圈中心的水平距离为7m,

当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.

%,-TP

Q04m：：3m

人_________।।、

4m3m

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？

第12页共30页

(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功？

【答案】(1)丁=-/。-4)2+4,能够投中；

(2)能够盖帽拦截成功.

【分析】本题主要考杳了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征.

⑴根据球出手时的高度可知抛物线经过点［。，：卜根据球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,可知抛物线

的顶点坐标是(4,4),根据球出手时篮圈中心的水平距离为7m,篮圈距地面3m可知篮圈中心的坐标是(7,3),利川

待定系数法求出抛物线的解析式，当尤=7时，求出球的高度为y=3,可知篮球能投中；

(2)把户1代入代数式，可得：y=3.因为3<3.1可知能够盖帽拦截成功.

(20、

【详解】(1)解：由题意可知，抛物线经过点0,石，顶点坐标是(4,4),篮圈中心的坐标是(7,3),

设抛物线的解析式是y=心-4)2+4,

/.—=16〃+4,

9

解得：a=J，

••・抛物线解析式为y=-1(x-4)2+4.

当x=7时，y=-lx(7-4)2+4=3,

•••篮圈的中心点在抛物线上，

・•・能够投中；

2

(2)解：•.•当x=l时，y=-1x(l-4)+4=3<3.1,

・•・能够盖帽拦截成功.

3.某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓

球.建立如图所示的平面直角坐标系(长方形4AC。为箱子截面图,x轴经过箱子底面中心,并与其一组对边平行,

48=8=1米，O8=8C=2米)，小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛

物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大盲度2米.

八

P^^AD

~~OBCX

第13页共30页

（1）求抛物线的解析式：

（2）小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明.

【答案】（1）y=-0.5.r2+x+1.5

（2）能,见解析

【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值

关系反推实际问题.

（1）由题意得/70J5）抛物线的顶点坐标为（1,2）,利用待定系数法求解即可：

（2）只要判断出乒乓球在运行中，高于48,并落在8、C之间即可；

【详解】（1）解：由题意得尸《）,1.5）,抛物线的顶点坐标为（1,2）,

设抛物线的解析式为.尸a&Tf+Z&M，，

•・•抛物线产。6-1尸+2经过点.5）,

：.1.5=a+2,

/.。=-0.5,

，抛物线的解析式为即尸-0.5/+/1.5

（2）解：能，理由如下：

当%=2时,y=\.5>AB,

当尸0时，-0.5x2+x+1.5=0,

解得x尸1（舍去〉即=3，

・••乒乓球在运行中，而于48,并落在8c的中点处，

，小明呦出的乒乓球能投入箱子.

题型三拱桥问题

1.湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度A8为4

米，桥墩露出水面的高度人尺环均为0.88米，在距点A水立距离为2米的地点，拱桥距离水面的高

度为2.88米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为）=。（工-4十-其中x（m）是

横截水面，N（m）是拱桥距水面的高度.

游船参数

长5.7米，宽2.2米,

第14页共30页

满员后游船露出水面高度为2.16米

（1）求抛物线的解析式；

⑵公园欲开设游船项目，为安全远见，公园要在水面上的C、。两处设置航行警戒线，并且。石=。厂,

要求游船能从C、。两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？

【答案】⑴尸-如-2）2+2.88

（2）0.8米

【分析】木题考二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键.

（1）求得抛物线顶点为（2288）,用待定系数法可得答案；

（2）在，2尸+2.88中，令），=2.16解出x的值，即可得到答案.

【详解】（1）解：•••加为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，

••・抛物线顶点为（2288）,

设抛物线的表达式为.V=-+288,

将40,0.88）代入得：0.88=4</+2.88,

解得。，

:•抛物线的表达式为y=-l（x-2）2+2.88；

（2）解：在,，=彳。-2尸+2.88中，令y=2.16得：

2/6=—。-2）2十2.88,

解得x=3.2（舍去）或x=0.8,

二。处距桥墩的距离CE至少为0.8米.

2.一座桥如图，桥下水面宽度A8是2（）米，高。。是4米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式；

⑵要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

【答案】（1）尸-92+4

⑵船的宽度须不超过10米

【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键.

第15页共30页

(1)根据题意得0(0,4),8(10,0),所以可设抛物线的解析式为)，=混+4,再将8(10,0)代入解析式求

解即

(2)令尸3,得到方程-±/+4=3,可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案.

【详解】(1)解：由已知，抛物线的顶点。的坐标为(。，4),抛物线与工轴的交点3的坐标为(10,0),

设抛物线的解析式为了=，1+4,

将3(10,0)代入解析式，得100“十4=0,

解得。，

抛物线的解析式为>=-如+4；

(2)解：令产3,则-4d+4=3,

解得x=±5,

•.船的宽度须不超过5x2=10米.

3.某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米,

它两侧AQ和A”是高为5.5米的支柱，OA和OA为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段C。和

C。'为两段对称的上桥斜坡，且竿=祟=；•以。仁所在直线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立平

ACAC4

(1)求桥拱DO?所在抛物线的解析式及OC的长；

⑵能和8E为支撑斜坡的立柱，其高都为4米,相应的A8和A6为两个方向的行人及非机动车通行区,

若整=*，求A3的宽度；

BCAC

⑶按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于。.4米.今有一大型运货汽车，

装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米.它能否从桥下区域安

全通过？请说明理由.

【答案】(1)桥拱以外'所在抛物线的解析式为>=-七V+8,的宽为6米；

(2)AB的宽为6米；

第16页共30页

（3）该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析，

【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键.

（I）设桥拱以以所在抛物线的解析式为广江+c,由题意得G（0,8）,Q”5.5）,然后代入即可求解;

（2）根据题意求出“印6米，然后通过线段和差即可求解；

11

2

（3）在抛物线中当x=4时，y=-^x4+8=--i-xl6+8=7^,然后与7.4比较即可.

909045

【详解】（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为y=〃V+c,

由题意得，G（0,8）,0（15,5.5）,

225。+c=5.5._

一，解得90,

C=c

c=8

.淅拱所在抛物线的解析式为一宗+8,

罪A°"5.5'

/.AC=4x5.5=22（米）,

:.OC=OA+AC=\5+22=37（米）,

答：。。的长为37米；

,八mEBAD1山

⑵解「.正=就="的=4米,

・・.8。=16（米），

:.AB=AC-BC=22-\6=6（米），

答：46的宽为6米;

（3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由,

I137

当x=4时，\'=--x42+8=-—xl6+8=7—,

909045

37IQ

v7--（7+0.4）=—>0,

45V745

，该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过.

题型四图形问题

1.如图，用长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度〃为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花

圃的宽A8为x米，面积为S平方米.

第17页共30页

//////,//////

A\\D

B1--------1c

(1)求S关于X的函数表达式.

(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，48的长为多少米？

(3)45平方米是否为花圃能围成的最大面积？若是，请说明理由；若不是，请求出花咽的最大面积.

【答案】(1)S=A(24-3A)=-3A24-24A；

(2)力8的长为5米；

(3)不是，S的最大值为1三40平方米.

【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键.

(1)可先用篱笆的长表示出8C的长，然后根据矩形的面积=长x宽，得出S关于x的函数表达式；

(2)令S=45,解方程求出工的值，并验证x的值是否符合题意；

(3)根据。=10,求出自变量x的取值范围，并根据二次函数的性质求出最值.

【详解】(1)解：由题可知，花圃的宽A8为x米，则为(24-3力米，

S关于二的函数表达式为S=X(24-3A)=-3X2+24x；

(2)解：当S=45时，—3f+24x=45，

解得x=3或x=5,

当x=3时，24-3x=15>10(舍去)，

当x=5时，24—3x=9<10符合题意，

x-5，

即A3的长为5米;

(3)解：45平方米不是花圃能围成的最大面积，

­.0<24-3x<10,

14

解得］G<8,

由S=-3x2+24x=-3(A-4)2+48,

对称轴为直线x=4,

・•・当x>4时，S随x的增大而减小，

14140

二当x=7时，S最大，最大值为—,

JJ

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・•.S的最大值为寸平方米.

2.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用•道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的

门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27米.

//</////(///////

门

_n__n_

⑴假设垂直于墙的一道墙长为x(m),饲养室面积为S(m2),求5关于x的函数关系式.

(2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？

【答案】(1)S=—3f+30x

(2)最大为75平方米

【分析】(D由题意得:S=X(27+3-3X)=-3X2+3OX,即可求解;

(2)由可得S有最大值，即可求解.

本题考查的是二次函数的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要

注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).

【详解】(1)解：由题意得：S=X(27+1X3-3X)=-3X2+30X；

(2)解：由(1)知，S=-3.r+30x=-3(x-5)2+75,

Q-3<0,

••・当x=5时,S最大=75,

当x=5时，27+lx3-3x=15,符合题意，

答：能建成的饲养室面积最大为75平方米.

3.如图，在VA8C中，AD是高，矩形PQMN的顶点/>、N分别在A3、AC上，QM在边8c上.若8C=16cm,

AD=12cm,求矩形PQMN的面积最大时，PN的长度.

【答案】PN=8

【分析】本题考相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，设夕。-％,PN-y,根据相似三角形的高的比等于

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4

相似比求出丁二16-々》，再表示出矩形PQMN的面积，最后根据二次函数求最大值即可.

【详解】解：AD交PN于E,

•••矩形PQMN,

.'.PN//I3C,NNPQ=NPQM=90。

•.•在VABC中，AO是高，

ZNPQ=NPQM=ZEDQ=90°,

四边形PQOE是矩形，

：.PQ=DE=x,AE±PN,

vAD=12cm，

AE=AD—DE=\2—x,

•:PN〃BC,

••・Z^APNABC,

AEPN

~AD~~BC'

1216

4

y=1tz6--x,

(4\44,

矩形PQMN的面积S=Q，=16一一x\x=一一X2+16X=一一(x-6)~+48,

、3J33

44

・•・当x=6时，矩形PQMN的面积S=48最大，此时PN=y=l6-5X=16-§x6=8.

4.如图三角形ABC,BC=12,4。是BC边上的高AO=8.P,N分别是A8AC边上的点,M是8C上的点,

连接PQMN,PN交AD于E.

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⑴若四边形PQMN是正方形，求尸。的长（图一）；

⑵若四边形PQMN是矩形，且PQ:PN=1:2.求PQ、PN的长（图二）;

⑶若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、尸N的长.

【答案】（1）4.8

⑵P。亨，PN号

⑶最大面积是24,段=4,PN=6

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、二次函数的性质，熟练掌握以上

知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）设正方形的边长为x,由正方形的性质得出PN/QM,推出△A/Ws^ABC,再由相似三角形的性质计算即

可得出答案:

（2）设PQ=>RiJPN=2y,由矩形的性质得出PN〃QM,推出再由相似三角形的性质计算即

可得出答案;

XPN

（3）由矩形的性质得出PN"QM,推出AAPNA8C,设AE=x，矩形PQMN的面积为s,则工=；『，OE=8-x,

o12

3Q

表示醍可—心…”，根据二次函数的性质即可得出答案.

【详解】（1）解：设正方形的边长为孙

即U边形PQMN为正方形,

®PN"QM,

团ZAPN=N&ZANP=NC,

团4APN^Z^ABC,

团”=空，即x_8-x

BCAD128

解得x=4.8,

.，Q=4.8.

(2)

解：设PQ=），，则?N=2y,

团四边形PQMN为矩形,

QPNHQM,

AAPNS&ABC,

团”=空，即218-），

BCAD128

24

解得y=],

第21页共30页

,3,PN若

(3)

解：团四边形PQMN是矩形,

:.PN〃BC,NPQM=90。，NQPN=90。，

国△4WSZSAAC,

团AO是高，团ZADB=90°,

团四边形PQOE是矩形，ZA£7V=9O°

AEPN

0—=——，PQ=DE.

ADBC

设AE=x,矩形PQMN的面积为S,

xPN

则7=。七=8一不，

o12

3八

^PN=-xtPQ=8-x,

2

QQ

05=-x(8-x)=一一(X-4)2+24,

22

团当％=4时，S的最大值为24,

团当A£=4时.，矩形PQMN的面积最大，最大面积是24；

33

此时，PQ=8-x=8-4=4,PN=-x=-x4=6.

22

答：最大面积是24,PQ=4,PN=6.

5.如图，在平面直角坐标系中，四边形Q4BC是正方形，点A,C分别在无轴、》轴上，点仇2⑵,D,E分别是边。4、

CO上的动点，且O£)=CE.设ZXx,0),0<x<2,V8DE的面积为S.

(1)用含x的式子表示S；

(2)当x的值为多少时，S的值最小？求这个最小值.

【答案】(l)S=gV—x+2(0vx<2)

⑵当x=l时，S取得最小值，最小值为

【分析】本题主要考杳了二次函数的实际应用，坐标与图形的相关知识.掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

第22页共30页

（I）根据S4BDE=S正方形0A8c—S》CE一S/OD1S&DA代入数值列出函数关系式即可.

（2）对二次函数进行配方，再根据二次函数的图象和性质求解即可.

【详解】（1）解：•.•四边形O48C是正方形，倒2,2）,

:.BC=BA=CO=OA=2,

£>（x,0）,0<x<2,

：.OD=x,

-OD=CE=x,

OE=AD=2—x,

•9=9-S-V-V

••USBDEJiE方形OA8CJ&BCE°&EOD°&BDA

=-Ix-2-x+r2

2

故S=*-x+2(Ovxv2)

2

11,Q

(2)解：S32…2=11_1)一+二,

22、,2

>0,

2

•••抛物线开口向上,

3

当x=l时，S取得最小值，最小值为Q.

题型五图形运动问题

1.如图，在阳△A8C中，ZC=90°,AC=3,8c=4,点£在A8边上由点A向点8运动（不与点A,点8重合）,

过点£作E尸垂直A3交直角边于足设=面积为），，则），关于x的函数图象大致是（）

第23页共30页

【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、图形运动问题（实际问题与二次函数）

【分析】过点C作于点。，利用勾股定理以及面积法求得A8、CD、AD.80的长，分0<xW1.8和

1.8<x<5两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可；

【详解】解：过点。作CO_LAB于点。，

•.--ABxCD=-ACxBC

22t

fl0j

:.CD=—=2A,AD=yJAC2-CD2=V32-2.42=1.8,BD=AB-AD=3.2,

当Od.8,

\-CDlAB,EFVAB,

:.EF\\CDt

:.AEFs4ADC,

AEEFnnxEF

ADCD1.82.4

/.ELFL=—4x,

3

i2

/.y=-^xEF=-x2(O<x<I.8),开口向上的一段抛物线；

4J

当1.8<x<5,

同理可证"△8DC,

第24页共30页

BEEF5-xEF

/.——=——,即nn----=—,

BDCD3.22.4

〜

/.EF=-1-5---3x,

44

1I57

/.y=->4Ex£F=-^x-^x2（1.8<x<5）,开口向下的一段抛物线；

28o

综上，符合题意的函数关系的图象是D；

故选：D.

【点睛】本题考查了动点函数图象问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的图象，在图象中应

注意自变量的取值范围.

2.如图，在矩形ABC。中，48=2cm,8c=4cm,点。从点3出发，以lcm/s的速度沿8。方向运动到点C停止，

同时点P从点B出发，以2cm/s的速度沿路线8一人一£>一。运动到点C停止.若小PQ的面积为y（单位：cm?）,

运动时间为x（单位：$）,则下列最能反映），与x之间的函数关系的图象是（