苏教版高一数学下册必修第二册-第二课时 半角公式

第二课时半角公式

课标要求素养要求

1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的

三角恒等变换的基本思想.在对公式的推导和应用过程中，发展学生的

2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

值和证明.

课前预习知识探究

自主梳理

半角公式

asina1-cosa

tan2==FT（有理形式）•

。点睛

半角公式中的符号的确定:

(1)当给出角a的具体范围对，先求5的范围，然后根据彳范围确定符号.

(2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

/I-cos30°

(l)sin150=土、/---5----•(X)

i/1-cos30°

提示sin15°=7----2-----

小sin2a1-cos2tt

(2)lana=i+c0s2/sin2a.«)

(3)若5冗〈以6%

S。+a

e故

4C一

OS4-2

(4)存在a£R使得tanf=]tana.(J)

4Ji

2.若cos2a二一M且]兀则sin«=()

A酒R迎

A,10B,10

VTo

C5D.io

答案A

兀

一,所以sina>0,由半角公式可得sina=今缜.

解析因为T兀

3.设函数抬厂-siMx+Ta£R）,则府）是（）

A.最小正周期为3的奇函数

B.最小正周期为兀的奇函数

C.最小正周期为2兀的偶函数

D.最小正周期为兀的偶函数

答案D

解析火外=——1—cyos=2x+*I=*Ios2x,所以人工）是最小正周期为兀的偶函数.故选D.

乙乙乙

4.已知sina=坐,cosa=则tan^=.

答案小-2

一”

aela1-cosa5厂

解析tan飞—=由一2.

5

--------课堂互动■------------------------------------题型剖析

题型一利用半角公式求值

【例1】已知cosa=g,a为第四象限角，求sin*cos*tan宗

解・・・a为第四象限角，・•・?为第二、或第四象限角.

当今为第二象限角时,

当?为第四象限角时,

思维升华利用半角公式求值的思路

(1)观察角：若巳知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角

公式求解.

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半

角的范围.

acjnP1—CCS(L

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用出球=馈^=sina,其优点是计算叶可避

rt1—COSU

免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin^=-六,

al+cosa*

COSI22=----2-----叶舁.

(4)下结论：结合(2)求值.

【训练I】已知sin”*知求cos2和tan*

4

解-

5

题型二三角函数式的化简

【例2】化简：

(1-sina-cosa)(si吟+co号)

I(-7t<a<0).

\2-2cosa

因为一n<a<0,所以—^<^<0,所以sin^<0,

.«

sin5cosa

所以原式=-----------=cosa.

.a

一sin.

【迁移】(变条件)将本列变为：

(1+sina+cos«)sing

化简-(7t<a<2n).

+2cosa

2«a

[2~

解原式=

12X2cos^

因为兀<«<2几，所以余冬冗，所以cos^<0,

昕以瘴弋2cos%喈—c靖)

所以原式=------------------=—Isin^r-cos<I—cosa.

-2cosg、7

思维升华探究三角函数式化简的要求、思路和方法

(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角的数种数最少；③尽量使项数最少；

④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.

(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是

分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、

变量代换、角度归一等方法.

故原式=cos-a

_____________2sinxcosx______________1+cosx

【例3】证明：

(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)sinx'

证明左边=

1+2sin/+1)

xAA-

c.2sinzcoszCOST

2sinxcosx222

4sin-2cosx2sin»sin5

x

I,+I2cco/s$-I,cosy

右边=------------=—二

2sm/cos2sin5

所以左边=右边，即等式成立.

思维升华探究证明三角恒等式的原则与步廉

(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单、高次降低次、复角化单角，如

果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.

(2)证明恒等式的一般步骤：

①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；

②本着“复痢化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差

异，达到证明的目的.

[训练3]证明：cos8x-sin8x-cos2x=-；sin2xsin4A.

证明左边=(cos%+sin4A)(cos4x—sin4%)—cos2x

=[(cos2x+sin2x)2—2cos2Asin2xl(cos2x—sin2x)—cos2x

=(1—2cos2xsin2x)coscos2x

=(1-2cos2jsin2x-I)cos2x

xsinA)2COS2x=—2sin22xcos2x

=一耍亩Zvsin2xcos2x

——­sinZvsin4x=右边,

所以原等式成立.

•课堂小结，

一、牢记1组公式——半用公式

二、掌握2种方法---转化与化归

三、注意1个易错点

半角公式符号的判断.

分层训练素赤提升

基础达标

一、选择题

1.(多选题)下面说法正确的是()

a/1十cosa

A.cos可=\-----------

.__,iaI

B.存在cosT=7cosa

Z4

C.对于任意a£R,sin缶二Jsina都不成立

a/1-cc

D.若a是第一象限角，贝han5二7YY/

答案BD

解析A中，cos5=

C中，

故A,C不正确；B,D正确.

2.函数/(x)=^(l+cos2r)sin2.r(x£1<)是()

A.最小正周期为兀的奇函数

B.最小正周期为方的奇函数

C.最小正周期为兀的偶函数

D.最小正周期为］的偶函数

答案D

解析由题意，得＜x)=；(1+cos2x)(1—cos2v)=^(l—cos22x)=1sin22x=1(1—cos4x).又/(一

x)=fix),且x£R,所以函数_/U)是最小正周期为狗勺偶函数，选D.

3.在△人区。中，若sin人sin0=cos21，则△人区。是()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.不等边三角形D.直角三角形

答案B

C

解析由sinAsin8=cos¥，得

sinAsinB=g(l+cosC),

即2sinAsinB=I+cosC,

2sinAsinB=1—cosAcosB+sinAsinB,

cosAcos8+sinAsinB=\,

故得cos(A—3)=1,XVA——n,n),

/,A-B=0,即4=4,则AABC是等腰三角形.

a

1tan

4+2

4.若cosa=-g,a是第三象限角，则^等于()

I-tang

A.B盘

C.2D.-2

答案A

4

解析是第三象限角，cosa=一不

-3

.3.asina5

..sina=­7»..tanT="=r=—3,

5214-cosa,4

，-5

==

**'1-tanagT+3-2-

5.已知tan?=3,则cos夕等于（）

4

B-

-5

3

-

D.-5

答案B

一.2。I坦4

cos2~—s,n2-la,12-

解析COS0=n'n=n-s

cos弓+sin弓1+tan弓

二、填空题

6.化简41+sin2的结果是________.

答案sinI+cosI

解析1+sin2=*\/sin2l4-cos214-2sinIcos1

=yj(sin1+cos1)2=|sin1+cos1|.

Vie(O,。Asinl>0,cosl>0,

1+sin2=sin14-cosI.

1B+C

7.在△ABC中，若cosA二'贝IJsin2-z-+cos2A=.

J4

答案w

5”1—cos(B+C)..

解析sin-一5—,Feos2A=---------------------+2cos乂—1

1+cosA,,1

=----2----+2cos-1=_g.

8.函数凡。=§*工+$出工851+1的最小正周期为对称轴为

答案兀大二号十金A£Z）

/O

解析危尸三产+'g+]

位.

2s,

-2兀

T-2=兀

令2x—彳=&兀+界WZ),

kit,3兀八~

・・

x=/k+ko(4£Z).

・••对称轴为x=y+^aez）.

乙O

三、解答题

412a一夕a一夕

9.已知a为钝角，夕为锐角，且sina二手sin尸二百，求cos—^―与tan”-的值.

41?

解因为。为钝角，£为锹角，sina=q,si/=同，

35

所以cosa——5,cos4=而

54l233

X-

所以cos(a-/0=cosacos£+sinasinp=+■5xl-65

1313

因为与<av；r,且0</?当

所以0<a—gt,即0<“2,专

a—pI-cos(a—1)

2\14-cos(a一夕)

I+sina1-sina

1°•化简/+cos%-小”「正c。%+/-cos/

解:

.兀a3兀

,,英守

1+sina

，原式=

A/5|COS^|—5/21sin^

1—sina

.«

A/2Jcos^+近sg

2.aa

s•inaj_LIsi”一cos2

一啦（sii卷+cos§娘（si吟

-COS,

sin^+cos^

能力提升I

".设函数/1•工+小加入+必/为实常物在区间,土|上的最小值为-4,那么。的值

等于（）

A.4B.-6

C.-4D.-3

答案C

解析/(x)=2cos2x+A/3sin2x-\~a

in2x+a=2sin(2x+5)

=1+cos2x+小s+〃+1.

当0,§时，莹，卷，sin（2x+U—1

•；/(x)min=2Xf—£)+a+1=-4.Ja=-4.

12.已知函数,"）=2小siny-cos号+Zcos2号一1（口＞0）的最小正周期为乙当工仁［0,刍时,

方程火幻="?恰有两个不同的实数解X1,X2,则Al+X2=Jix\+X2）=.

答案I1

解析函数儿0=2小sin与cos与+2cos等一1=

y[3s\ncox+coscox=2sin^<wx+^j.

由丁=2甘7r=兀，可得①=2,

•\/(x)=2sin(2x+g.

・・・g0,,.,新2x+亚普,

—1W/(x)W2.

jr

画出火幻的图象(图略)，结合图象知X|+X2=Q,

则yUi+x2)=4W)=2sin管+§=2sin^=1.

2d

<?cosB-b⑦112a+b

=

13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,8,c,已知cos汁: