苏教版高一数学下册必修第二册-第二课时 直线与平面垂直的判定与性质

第二课时直线与平面垂直的判定与性质

课标要求素养要求

在发现、推导和应用直线与平面垂直的

1了.解直线与平面垂直的概念及性质.

判定定埋、性质定埋的过程中，发展学

2.掌握直线与平面垂直的判定定理与性

生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直

质定理.

观想象素养.

课前预习知识探究

自主梳理

I.直线与平面垂直

如果直线a与平面«内的任意一条直线都垂直,那么称直线a与平囿a

定义

垂直

记法

有关直线〃叫作平面a的垂线,平面a叫作百线〃的垂面,垂线和平面的交点

概念称为垂足

图示

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂

画法

直

2.直线与平面垂直的判定定理

文字如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面

语言垂直

符号

〃_!_/〃，mCln=A,muan(^a=>aA.a

语言

图形

t__77

语言Z^

3.直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行

4_1_0

符号语言\^a//_b

hLa)

a|1-

图形语言

①线面垂直=线线平行

作用

②作平行线

直线与平面垂直的性质定理揭示了王行与垂直之间的内在联系.根据此性质定理.

可得：过一点有且只有二条直线与已知平面垂直，过一点有且只有二仝平面与已

知直线垂直.

。点睛

直线与平面垂直的两点说明

①“任意一条直线”与“所有直线”是同义语.

②由定义可知，若直线与平面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

⑴若直线/与平面。内的无数条直线垂直，M/±a.(X)

提示直线/垂直于平面Q内的无数条平行直线时，则/与。不一定垂直.

(2)若a_La,b_La,贝(]〃〃/?.(J)

(3)若。_L“，b(za,贝lj〃_!_/?.(J)

(4)若三条直线OA,OB,。。两两垂直，则直线0A垂直于平面08C(J)

2.直线/J•平面见直线〃zu。，贝I"与〃7不可能()

A.平行B.相交

C.异面D.垂直

答案A

解析若/〃m，又IQc,mua,：,l//a,

这与已知/_1_］矛盾.

所以直线/与机不可能平行.

3.若/LW,l±BC,贝"()

A.I//ACB./1/AC

C./与AC相交D./与AC异面

答案B

解析/±BC,ABC\BC=B,AB,BCu平面ABC,

・•・/_!_平面ABC.又ACu平面ABC,：JA.AC.

4.如图，四面体ABCO中，AC=&),E,尸分别为A。，8c的中点，且七产二

ZBDC=90°,求证平面ACD

证明取CQ的中点G,连接EG,FG.

・・♦£,尸分别为AO,8c的中点,

：.EG^AC,FG*BD.

又，；AC=BD,

：.FG=EG=^AC.

在4EFG中，

丁EG2+FG2=1AC2=EF2,

AEGIFG,

：.BD±AC.

*：ZBDC=90°t

：.BD±CD.

又・・・ACnC0=C,AC,CDu平面AC。，

/.RDI平面ACD.

---------课堂互动，--------------------------------------题型剖析一­

题型一线面垂直概念的理解

【例1】下列命题中，正确的序号是________.

①若直线/与平面a内的一条直线垂直，M/1«；

②若直线/不垂直于平面4则a内没有与/垂直的直线；

③若直线/不垂直于平面«,则a内也可以有无数条直线与/垂直；

④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

答案③④

解析当/与a内的一条直线垂直时，不能保证/与平面a垂直，所以①不正确;

当/与。不垂直时，/可能与«内的无数条平行直线垂直，所以②不正确；③正确;

过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.

思维升华1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.

实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线

就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直

线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.

2.由定义可得线面垂直与线线垂直，即若。_La,bua,则〃J_A

【训练11设/,m是两条不同的直线,。是一个平面，则下列命题正确的是()

A.若l-Lm,mua,贝IJ/_La

B.若/_La,I//in,则机_La

C.若且”7〃a,贝lj/_La

D.若I//a,m//a,贝lj/〃m

答案B

解析对于A,直线〃z并不代表平面〃内任意一条直线，所以不能判定线

面垂直；对于B,因心明则/垂直a内任意一条直线，又/〃”，由异面直线所

成角的定义知，"?与平面a内任意一条直线所成的角都是90。，即〃故B正

确；对于C,/u。或/〃a或/与a相交；对于D,/,m还可能相交或异面.

题型二直线与平面垂直的判定定理

【例2】如图所示，RtAMC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点。为斜

边AC的中点.

⑴求证：SD_L平面A3c；

⑵若AB=BC,求证：BO_L平面SAC.

证明(1)・・・S4=SC,。为4c的中点，：.SD±AC.

在中，AD=DC=BD,又SA=SB,

工△AOS丝△BOS.JZBDS=NAOS=90°,SDLBD.

又ACn8O=。，AC,8/)u平面ABC,平面ABC

(2Y：BA=BCi。为AC的中点，：.BD1AC.

又由(1)知SDVBD,

于是3。垂直于平面SAC内的两条相交直线ACSO,

・・・8DJL平面SAC.

思维升华1.线线垂直和线面垂直的相互转化

线线面垂直的定义

线

线

面

垂

垂

直

线面垂直的判定定理立

如果两条平行线中的一条直或与一个平面垂

鱼,那么另外一条直线也与此平面垂直

2.证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义.

(2)线面垂直的判定定理.

(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这

个平面.

【训练2】如图，菱形A8C。的对角线AC与4。交于点O,AB=5,AC=6,

点£尸分别在A。CD±,AE=CF=l，即交8。于点〃.将尸沿政折到

产的位置，。。二也.证明：O7/_L平面48CD

证明由已知得：AC1BD,AD=CDf

又由AE=CE得器=用，故AC〃EE

因此EFLHD,从而EFVD'H.

由A8=5,AC=6得DO=BO=NAB?-AO』.

由石尸〃AC得需=1=；,所以OH=1,。归=DH=3,

,2222,2

于是DH-\-OH=3~\-\=\0=DOi故D'HA.OH,

又D'H上EF,而O”AEb=〃，OH,Ebu平面A8CD,

所以平面ABCD

题型三线面垂直的综合题

角度1证线面垂直

【例3】如图，已知空间四边形A8CD的边AC=3C,AD=BD,作3E_LC。

E为垂足，作A”_L8E于H.求证：A”_L平面BCD

证明如图，取人3的中点F,连接CKDF,AE.

由AC=BC,知由AO=8O,知。尸J_A8.

因为CFCDF=F,CRz平面CORDFu平面CDF,

所以ABJ_平面CDF.

又COu平面CDF,

所以CDVAB.

又。。J_BE,BECAB=B,

8Eu平面ABE,ABu平面ABE.

所以COJ_平面48£,

因为AHu平面ABE,所以CDLAH.

因为石，CDCBE=E,

CZ)u平面BCD,BEu平面BCD,

所以A"J_平面BCD.

角度2证线线垂直

【例4】如图所示，已知矩形ABC。过A作SA_L平面AC,再过A作A瓦LS8

交SB于E,过E作石尸_LSC交SC于尸.

s,

⑴求证：AFLSC；

⑵若平面AEF交SD于G,

求证：AGLSD.

证明（1）・・・S4_L平面AC,8Cu平面AC,

：.SALBC.

・・•四边形A8CD为矩形•，・・・48J_8C,又SAGA8=A,SA,ABu平面£48,

・・・BC_L平面SAB.

TAEu平面SAB,：.BC.LAE.

又八七，且SgC3C=&SB,BCu平面SBC,

・・・A£；_L平面SHdCu平面SBC,：.AEA.SC.

XVEF15C,且AE,E/u平面AEF,

・・・SCJ_平面AEF,又4Fu平面AE扛：.AFLSC.

(2),・'SA_L平面AC,OCu平面AC,：.SA_LDC.

又・・・Ar)_LDC,SAC\AD=A,SA,AQu平面SAO,

・・・OC_L平面SAD,而AGu平面SAD,：.DC±AG.

由(1)有SC_L平面AEF,又AGu平面AEF,：.SC1AG,又SCnCD=C,SC,CDc

平面SOC,・・・AGJ_平面S。。，又s/)u平面SOC,・・・AGJ_SD.

角度3证线线平行

【例5】如图所示，在正方体ABC。-A山iG9中，M是A8上一点，N是4C

的中点，MNJL平面4DC.求证：〃人Di.

证明因为四边形AQD4为正方形，

所以AQi_L4D

又因为COJ_平面AQQIAI,ADU平面ADD.,

所以CQ_L4Oi.

因为AiQGCO=。，AiD,COu平面4OC,所以AD」平面AQC.

又因为MN_L平面4DC,

所以MN//AD\.

思维升华1.证明线线平行常用的方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.

(2)利用基本事实4:证两线同时平行于第三条直线.

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

2.证明线线垂直常常转化线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线

所在平面.

3.证明垂直的转化途径是：线线垂直一线面垂直一线线垂直.

【训练3】在矩形A6C。中，AB=1,BC=a,%_L平面4BCD,且布=1,边

8C上是否存在点。，使得PQJ_QO?为什么？

解当。＜2时，不存在满足题意的点Q；当时，存在满足题意的点Q,理

由如下：

平面A8CZ),QDu平面ABC。，：.PA±QD.

若边8c上存在一点。，使得0D_LAQ,又FCMQ=4,

则有QOJ_平面PAQ,又PQu平面PAQt从而QO_LPQ.

在矩形ABC。中，当AO=a<2时，直线8c与以A。为直径的圆相离，故不存在

点。，使AQ_LOQ.

・•・当。22时，才存在点Q,使得PQJ_QD

------------分层VII练・-----------------------------------------------------素赤提升——­

基础达标|

一、选择题

I.已知直线犯〃是异面直线，则过直线〃且与直线机垂直的平面（）

A.有且只有一个B.至多有一个

C.有一个或无数个D.不存在

答案B

解析若异面直线机，〃垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.

2.若直线a与平面a不垂直，那么在平面a内与直线a垂直的直线（）

A.只有一条B.有无数条

C.是平面内的所有直线D.不存在

答案B

解析当。〃平面。时，在平面。内有无数条直线与直线。是异面垂直直线；当

4U。时，在。内有无数条平行直线与直线。相交且垂直；当直线。与平面。相交

但不垂直时，在平面。内有无数条平行直线与直线。垂直.

3.已知直线a,Z?和平面a,且a_LRala,则与a的位置关系为（）

A./?uaB.h//a

C.bu礴b//aD.Z?与a相交

答案C

4.空间四边形ABC。的四边相等，则它的两对角线AC,3。的关系是（)

A.垂直且相交B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交D.不垂直也不相交

答案C

解析取8。中点。，连接AO,CO,

则BDA.AO,BDA.CO,

又AOACO=。，A。，COu平面A。。，

・・・8O_L平面AOC,

又ACu平面AOC,

：.BD±ACf

又.BD,4c异面，・••选C.

5.（多选题）如图所示，刑，圆。所在的平面，A8是圆。的直径，C是圆周上异于

48的一点，E,产分别是点A在PB,PC上的射影，则（）

A.AFLPB

B.EF2PB

C.AFLBC

D.AEJ_平面PBC

答案ABC

解析对于A,因为以_L平面ABC,8Cu平面ABC,故%_L3C,又员工LAC,

R\QAC=At故5C_L平面PAC,从而BC_LAF,又AFLPC,BCHPC=C,故

A尸J_平面PBC,又PB,尸Cu平面尸BC,所以AELPB,AFLBC,故A,C正确；

对于B,由选项A知AE_L产&又AEJ_PB,AECIA尸=A且AE,AEu平面4E居

从而PB，平面AEF,又ER=平面AE居故EF上PB,故B正确；对于D,由上

面过程可知，AE与平面P8C不垂直，故D不正确.

二、填空题

6.平行四边形ABCD的对角线的交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面外,

且以=PC,PD=PB,则PO与平面A3CO的位置关系是________.

答案垂直

解析因为PA=PC,0是AC的中点，所以尸OJ_AC,同理尸0_L3。，又ACC8。

=。，AC,BOu平面A8c。，所以尸O_L平面48CD

7.如图，四棱锥S-ABCQ底面为正方形，SOJ_底面ABC2则下列结论中正确的

有个.

①4CJ_S8；

②AB〃平面SCD；

③与SC所成的角等于。。与SC所成的角.

答案3

解析・.・SOJ_平面A8CO,ACu平面A8QZ

・・・SO_LAC.•・,四边形ABCD为正方形，

：.BD±ACt又SDC\BD=D,SD,BDu平面SBD,.・.AC_L平面S3。，而S8u平

而SBD,.\AC-LSB,故①正确；

*：AB//CDt人放平面SOC,CQu平面SOC,

・・・48〃平面SC。，故②正确；

•：AB//CDf故③也正确.

8.如图，在多面体A8CDER中，。七_L平面A5C"四边形4OE/7为正方形，四边

形A8CO为梯形，B.AD//BC,ZBAD=90°,AB=AD=\BC.

则BD和平面CDE的关系为（填：垂直或不垂直）；

若M是线段上一点，则当丽=时，CE〃平面

答案垂直1

解析因为。E_L平面ABCQ,BOu平面A8C。，所以。E_L8D.

取BC中点N,连接。M由BN〃4。，BN=AD,/BAD=90。,可得四边形48NZ）

为正方形.

所以ON=A8.所以DN=；BC.所以BDA.CD,

因为CDCDE=D,CD,DEu平面CDE,所以BDJ_平面CDE.

当M为B力的中点时，CE〃平面AMF,此时需=L

证明如下：

连接AN交8。于点M,由于四边形A8N0为正方形，

所以M是的中点，同时也是AN的中点.

因为NC=AQ,NC//AD,又四边形AOEF为正方形,

所以NC=FE,NC〃FE,

连接NF,所以四边形NCE/为平行四边形.

所以CE〃NF.又因为NFu平面AMF,

CEQ平面AMFf

所以CE〃平面AME

三、解答题

9.如图，在正方体ABCD-AIBGOI中，E,b分别是棱AR8C的中点，。是底

面八BCD的中心，求证：EF_L平面88iO.

证明•・•四边形ABCD为正方形,

：.AC.LBO.

又•・,阿」平面ABC。，ACu平面ABC。，

又•：BOCBB尸B,BO,BBC平面BBiO,

・・・AC_L平面BBQ,

又石尸是△ABC的中位线，

/.EF//AC.：.F.FI平面BB\O.

10.如图,正方体4BCZ)-A]BCid中,E尸与异面直线AC,4。都垂直相交.

求证：EF〃BD\.

证明如图所示，

连接A8,BQ,B、C,BD,

•・・。。1_1_平面4?。。，

ACu平面A3CO,

：.DD\LAC.

又AC_LB3,DDgBD=D,DDT,BOu平面3。。|囱，

・・・AC_L平面BDDB,

又BDiu平面BDDB,

：.ACLBD\.

同理可证BDilBiC,

又ACn8C=C,AC,3Cu平面ABC

・・・3DI_L平面45c

9

：EF±A}D,A\D//B\C,：.EFLB\C.

EFLAC,ACQBiC=CfAC,BiCu平面ABiC,

・•・EFL平面ABCJEF//BD\.

I能力提升I

11.在AA3c中，ZACB=90°,AB=S,ZBAC=60°,PC_L平面ABC,PC=4,

M是AB边上的一动点，则尸M的最小值为（）

A.2小B.7

C.V19D.A/5

答案A

解析如图所示，因为尸CJ_平面ABC,CMu平面ABC,所以PCJ_CM,则△PCM

是直角三角形，故PM2=PC2+CM2,所以当CM_LAB时，CM最小，此时PM也

最小.由条件知AC=4,BC=45故CM的最小值为2仍,

又PC=4,则PM的最小值为十42+（2馅）2=2#.

12.在下列四个正方体4BCD-A向GQi中，E,F,G均为所在棱的中点，过瓦

F,G作正方体的截面,则在各个正方体中，直线BDi与平面EFG不垂直的是（）

答案D

解析如图，在正方体中，E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点，易知E,F,

G,M,N,Q六个点共面,