数列（易错必刷60题12种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点复习（湘教版选择性必修第一册）解析版

专题01数列（易错必刷60题12种题型专项训练）

题型一周期数列题型二等差数列的通项公式及其应用

题型三等差数列性质的应用题型四等差数列前〃项和的比值问题

题型五等差数列片段和的性质题型六等差数列的奇数项与偶数项和

题型七等比数列的通项公式及其应用

题型八等比数列性质的应用

题型九等比数列片段和的性质题型十等比数列的咨数项与偶数项和

题型十一求数列的前〃项和题型十二利用错位相减法求数列的前〃项和

题型一周期数列

1.（23-24高二上•云南昆明・期末）在数歹|J｛«„｝中，若4=0,生=一1,4.2=-。"「外，则。汹4=

）

A.2B.IC.0D.-1

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出数列｛%｝的周期，再由此求出。2024•

【详解】在数列｛〃力中，勺.2=—-一4，则可+3=-q+2-。用

因此数列数列｛q｝的周期为3,所以%3=生=T

故选：D

=M^（〃NI）,则｛q｝的前

2.（23-24高二上•河北衡水・期末）在数列｛《J中，勾=3,

2024项和为（）

―1771n3541

A.589B.590C.——D.------

36

【答案】C

【分析】由递推公式写出前5项，发现数列｛3｝是以4为周期的周期数列，从而利用周期可

得结果.

【详解】因为4=34+I=粤

所以《=7^|=-21+(-2)_1

-

1-J1-(-2)-3

而为=%,所以数列｛4｝是以4为周期的周期数列,

[77]

所以｛4｝的前2024项和7；024=%+a2+%++的必=506（q+a2+%+%）=;一•

故选：C.

3.（23-24高二上.福建福州.期末）已知数列㈤｝满足。/尸4=-1,贝1」。*=（）

A.-1B.-C.2D.4

2

【答案】B

【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.

【详解】由4“三7L,q=T,

1-4“

111111

得11a,=----==----=2M[=-----=_],〃5=------=—

'I-%2\-a:\-a,\-a42

所以数列｛q｝是以3为周期的周期数列，

则。2024=々3x674+2==耳•

故选：B.

4.（23-24高二上•福建福州•期末）已知数列｛4｝满足％=3,。向=詈，则数列也｝前2023

项的积为（）

A.2B.3C.-2D.-6

【答案】A

【分析】先找到数列｛%｝的周期，然后求得数列应｝前2023项的积.

【详解】由％=3,4+1=9

1一

所以数列｛凡｝是以4为周期的周期数列，且4aMM$=1,

故数歹U｛〃”｝前2023项的积为（a14%出广%•（卬4%）=2.

故选：A.

5.（23-24高二上•广西百色・期末）已知数列｛见｝满足%+i=J,若4=2,则％3=（）

A.2B.—1C.-D.—2

2

【答案】B

【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.

【详解】结合题意：由%」=4,可得4=2,4=-1,仆=工，2=2,L,

I一。“2

所以数列｛《,｝是周期为3的周期数列，

因为2024=3x674+2,所以生。24=%=-1.

故选：B.

题型二等差数列的通项公式及其应用

6.（22-23高二上•广东深圳•期末）已知｛4｝为递增的等差数列，%。=15,生+6=8,则

《=（）

A.-1B.2C.9D.—1或9

【答案】A

【分析】根据等差数列的性质和基本量法，列式求解.

【详解】因为｛4｝为等差数列，%+%=8,所以4+4=8,

a,a,=15fa,=3[i7,=5

由10,得｛〈或｛i（含），所以〃=。4一2=2,4=%-2d=3-4=-1.

%+。4=8[a4=5[a4=3

故选：A

7.（23-24高二上.湖北孝感.期末）过圆C：。-1）2+（），-2）2=25内一点/>（1,5）的2023条弦

恰好可以构成一个公差为d（d>0）的等差数列，则公差d的最大值为（）

1197

A.----R.——C.----D.----

2022101110112023

【答案】B

【分析】依题意，过点尸（L5）的2023条弦构成公差为正数的等差数列，要使公差最大，必

须使首项取到最短弦长，末项取到最长弦长，利用等差数列基本量运算即得.

【详解】因经过圆C：（x-1）2+（），-2尸=25内一点P（l,5）的最长的弦为圆的直径，长度为

10,

最短弦长为以点P（l,5）为中点且与C9垂直的弦，其长度为2J52—（5_2>=8.（理由如下）

如图，AB过点尸且与CP垂直，过点尸另作弦八内，过点。作C《_LA由于点心

在Rtdcq中，显然|。尸|>|。《|、而।AB|=2joq2一|。82,।A国|=21sl2s『,

因|CB|=|C8J,则得IA8KAMI,即IA81为过点P的最短弦长.

要使公差d最大，则这2023条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项.

即8+（2023—1MK10,解得：故公差d的最大值为目力.

故选：B.

8.（23-24高二上.浙江绍兴.期末）已知数列｛q｝的首项《=4,且满足。向二q「3（〃eN’），

则7（）

A.-11B.-8C.16D.19

【答案】B

【分析】根据条件得出数列｛q｝是以4=4,d=-3的等差数列，即可求出结果.

【详解】由4.1=4「3（〃£N"）,得到?.「凡=-3,又q=4,

所以数列也｝是以4=4,]=一3的等差数列，得到％=4+4d=4+4x（-3）=-8,

故选：B.

9.（23-24高二上•河北沧州•期末）在等差数列｛q｝中，p,"N,且P"，，若%,=q2,4=p2,

则（）

A.~（p+q）B.--（p+c/）C.一叫D.--pq

22

【答案】C

【分析1设出首项和公差并表示出与和与，然后表示出公差，最后求出结果即可.

【详解】设等差数列｛〃“｝的公差为d,则％,=%+（〃一1卜/=乡2,4=6+（4-1）4=〃2,

两式相减得1=一（〃+“），典1dp+q=&p+qd=q2_q（p+q）=_pq,

故选：C.

10.（23-24高二上•四川德阳・期末）等差数列｛q｝满足4=3,q+%=16,则多=（）

ay

8

A.4B.3C.-D.2

3

【答案】B

【分析】设等差数列｛qj的公差为d,先根据条件列方程求*4和d，再利用等差数列的通

项公式求结即可.

〃3

【详解】设等差数列｛《,｝的公差为4，

a,=6+"=3

由已知可得2I

&+生=4+34+q+4d=16

4=1

解得

d=2

a+7i/15.

所以/-----=—=3

4+2-5

故选：B.

题型三等差数列性质的应用

11.（22-23高二上•河北保定•期末）若数列｛《,｝为等差数列，且4+%=4,则生等于（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.

【详解】依题意，6+43=24=4,42=2.

故选：D

12.（23-24高二上.安徽合肥.期末）在等差数列｛《,｝中，为+%=16,%=2,则。的值是

（）

A.13B.14C.16D.17

【答案】B

【分析】利用等差公式下标和性质即可得解.

【详解】因为｛q｝是等差数列，%+%=16,4=2,

所以%+%=6+%，即16=2+42，解得%=14.

故选：B.

13.（22-23高二下•广东汕尾•期末）在等差数列｛凡｝中，《+4=2。，％=12,则4=（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得久.

【详解】设等差数列｛〃.｝的公差为〃，

q+%=2a6=20,%==%-&=2,

所以％-3d=12-6=6.

故选：C

14.（23-24高二上•河北唐山・期末汜知｛4｝，也｝均为等差数列，且％=1,4=2,%+4=5,

则“2023+/23=（）

A.2026B.2025C.2024D.2023

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】由于｛〃“｝,也”｝均为等差数列，贝lJ｛q+4｝为等差数列，

因此4+4=3,%+4=5,所以｛。”+2｝的公差为I,

故。2023+2023=%+仄+2020xI=2025,

故选：B

15.（23-24百二上•山东济宁・期末）已知数列｛q｝为等差数列，且％+生+%=3,

4+&+=6,则/=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】先利用等差数列的性质可得生,生,进而可得公差，再利用生和公差求比例.

【详解】由等差数列的下角标性质可知

q+%+%=3%=3,得生=1,

叼+6+4=3%=6,得4=2,

设等差数列卜/“｝的公差为"，则〃=q-4=1,

所以4=〃2+6d=l+6=7.

故选：D.

题型四等差数列前〃项和的比值问题

16.(23-24高二上•湖北荆州•期末)己知两等差数列｛《」，仇｝,前〃项和分别是4，纥，

A2/7+1CL

且满足n言=£5则声()

A."B.上C."D.出

16172918()

【答案】C

【分析】由等差数列前〃项和的性质，可设4=5(2〃+1),狂0、4=如(3〃+2),人0,计

算即可得f.

【详解】由｛4｝,色｝为等差数列，故可令4=5(2〃+1)次工0、纥=切(3〃+2),々工9,

组=AT=6-(2x6+l)-51(2x5+1)=78-55=23

”瓦—纥一--5&(3x5+2)-4-(3x4+2)-85-56-29,

故选：C.

17.(23-24高二上•安徽蚌埠•阶段练习)两个等差数列｛《｝,也,｝的前〃项和分别为S“，Tnt

【答案】C

【分析】

根据题意，结合等差中项公式和等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】

由两个等差数列｛《,｝,也｝的前〃项和分别为s.,，，且S冒=2奈13

9（%+%）

根据等差数列的求和公式，可得詈=不痣内=率=箸H

bs9（4+%）Tg3x9-25

-I-

故选：C.

18.（22-23高二上.宁夏中卫.阶段练习）若两个等差数列｛〃“｝和仇｝的前〃项和之比为

【答案】C

【分析】根据等差数列性质直接计算即可.

【详解】因为两个等差数列｛4｝和｛a｝的前〃项和之比为坐上

4+q_〃+1

加+"）b、+bn2〃+1

a+42a,a,4

所以令〃=3,则将厂笳下亍

故选：C

19.（22-23高二下•湖北•期末）已知等差数列｛《,｝,他｝的前〃项和分别为工，TH,且

5„3〃十5

~^=~,―7，则丁=)

Tn4〃+64

A，|13

BD.

-I19

【答案】A

【分析】

利用等差数列的前〃项和公式求解.

【详解】由己知得亭可设2=5(3〃+5),7；=加(4〃+6),

1n

则的=S7-S6=182Z-138A=44A,4=Sg-S?=3()4女-238A=66A,

a44k2

即广7=W=”

66K3

故选：A.

20.（22-23高二上•浙江嘉兴•期末）已知等差数列｛q｝和也｝的前〃项和分别为5”、T“,若

S„3〃+4，4+%+凡

—=-----,则」——---=()

T„〃+2人」g。

111c37

A.——B.—

1313

【答案】c

【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得转4,再根据等差数列的求和

公式可得今1=爆，结合已知条件求解即可

几1仍6

【详解】设等差数列｛4｝的公差为4,则

%+%+/=4+2d+4+6d+4+7d=3q+154=3必，

因为"+瓦）=2",

力1%+%+火_3&_3ah

打十加羽2%

因为等差数列｛q｝和»“｝的前〃项和分别为S“、T„,满足*=3宏

▲n

11(4+%)

2="=3x11+437

所以詈==

11(4+如)—和―11+2一百'

2

所以幺**=也=3&=2x卫=3

"b2+bi02b°2421326

故选：C

题型五等差数列片段和的性质

21.（23-24高二下•海南•期末）记S”为等差数列｛q｝的前〃项和，若S6=24,Sg=21/,则力=

()

A.144B.120C.108D.96

【答案】B

【分析】根据等差数列的前〃项和性质解题即可.

【详解】记S；为等差数列｛4｝的前〃项和厕S3，SG-S«,席-§9也是等差数列.

由于S6=24,Sg=21S3,则51,24—53,21$3—24,$2—2153成等差数歹1].

则S3+2第—24=2(24-5J,解得S?=3.

则3,21,39百2-63成等差数列.故品-63=57,则无=120.

故选：B.

22.(22-23高二下•内蒙古•期末)等差数列｛为｝的前〃项和为S.，若S3=6,£=27,则邑=

()

A.6B.12C.15D.21

【答案】C

【分析】根据等差数列的前〃项和性质可得.

【详解】设56=X，则S6-&=X-6,S9-S6=27-X,

因为｛%｝为等差数列，所以邑，56-53,S9-S6也成等差数列，

则2(x—6)=6+27—x,解得x=15.

故选：C

23.(22・23高二上•福建福州・期末)已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S”，且九=31(),5笫=930,

则S3。=()

A.1240B.1550C.1860D.2170

【答案】C

【分析】根据等差数列前〃项和的性质得SQS”-SeS、-S:°成等差数列，即可求得与)的

值.

【详解】因为等差数列｛4,｝的前〃项和为S.,所以品),52。-£0,5%-&。成等差数列

所以2(%-So)=¥o+S为一S”，所以2(930-310)=310+5笫-930,解得S配=1860.

故选：C.

24.(22-23高二上•陕西汉中•期末)已知S.是等差数列㈤｝的前〃项和，若S2=I5,S1=75,

则其二()

A.40B.45C.50D.55

【答案】A

【分析】利用等差数列片段和得性质求解即可.

【详解】由题可知数列S‘2，S4-S2,S6-邑为等差数歹U，

所以有S+fTKwF

得15+（75-S4）=2（S「15）,解得邑=40,

故选：A

25.（22-23高二上•新卿喀什・期末）若｛q｝为等差数列，其前〃项和为S”，'=2,&=8,

贝U$2=（）

A.10B.14C.16D.18

【答案】D

【分析】由等差数歹U的性质得至l]S,,Sx—S,,S|2—2成等差数歹U，即2（S8-Sj=S4+Sn-S8,

代入求值即可.

【详解】｛《,｝为等差数列，由等差数列的性质得Sd,S「S-兀-冬成等差数列，

—

2（58—=S4+A2—Sg,即2x（8—2）=2+5128,

解得：兀=18.

故选：D.

题型六等差数列的奇数项与偶数项和

26.（15-16高二上•广东深圳•期末）等差数列｛«,｝共有2〃+1项，其中奇数项之和为4,偶数

项之和为3,则〃的值是

A.3B.5C.7D.9

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用等差数列前〃项和公式，结合等差数列性质列式计算即得.

【详解】等差数列｛叫共有2〃+1项，偶数项之和S=%+/++%”=〃（«：）=3"产3,

奇数项之和S'=4+%++W『=（"++』”"）=（〃+1）­=4,因此空1=:，

2n3

所以k=3.

故选：A

27.（2023・重庆・二模）已知等差数列｛&｝的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为8,

且8—A=45,2A=3+615,则()

A.3/7-2B.3/?-lC.3〃+lD.3〃+2

【答案】B

【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为d，首项为4，

则8—A=15d=45,所以d=3,

因为2A=3+615,即24=A+45+615,则A=660,

等差数列的奇数项是以4为首项，2J为公差的等差数列，等差数列｛q｝的前30项中奇数项

15x14

有15项，所以A=15q+——x6=660,得％=2,

所以a”=a｝+(〃_l)d=2+3(〃_l)=3"l.

故选：B

28.(22-23高二下•河南用口•期中)一个等差数列共100项，其和为80,奇数项和为30,

则该数列的公差为()

A.-B.2C.D.一

435

【答案】D

【分析】

根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可.

【详解】

设等差数列的公差为d，则由条件可知：

数列的奇数项之和为4+%+%+…+%)=3。，①

偶数项之和为4+/+必+…+4oo=80-30=50,②

72

由②・①，得504=20,所以d=(,即该数列的公差为

故选：D.

29.(23-24高二上•陕西榆林.阶段练习)已知等差数列乩｝的项数为2m+l(〃?eN)其中奇

数项之和为140,偶数项之和为120,则〃?=()

A.6B.7C.12D.13

【答案】A

【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、

偶数项的和直接代入等差数列的前〃项和公式，结合等差中项的性质化简即可.

【详解】项数为2m+\的｛q｝中奇数项共有(，〃+1)项，

其和为处幽3=如区=w+1)*=14。，

项数为2〃?+1的｛q｝中偶数项共有机项，其和为返产1=竺等L=〃4+尸120,

W+I)%_1407

所以-120=—»解制m=6.

"町向6

故选:A.

30.(24-25高二上•全国•课后作业)己知等差数列｛&｝共有20项，其偶数项和为200,奇数

项和为loo，则为=()

A.10B.-10C.-20D.20

【答案】B

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d，根据题意，得到104=2(X)-1(X),求得d=10,再由

等差数列的求和公式，列出方程求得4的值，结合通项公式，即可求解•.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为4,

因为数列｛q｝共有20项，其偶数项和为20(),奇数项和为100,

可得S偶一S奇=10d=200-10(),解得d=10,

1()x9

所以奇数项的和为1。4+—x20=10(),解得弓=-80,

故6=-80+7-=-10.

故选：B.

题型七等比数列的通项公式及其应用

31.(23-24高二上•山东烟台•期末)已知等比数列｛q｝中，4=1，%=4,则4=()

A.2B.-2C.±2D.4

【答案】A

【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解.

【详解】解：•・•等比数列｛q｝中，4=1，%=4,

所以4；=/9=4,解得生=±2.

又%二%,d，可得生与外同号，

故为=2.

故选：A.

32.（22-23高二上•广东深圳•期末）在数列｛/｝中，且％=3,则4=（）

A.3〃B.3w-3C.3"-2D.3二

【答案】D

【分析】先确定公比，再利用通项公式求解.

【详解】因为外“=3勺，6=3＞（）,则乎=3,

所以｛4｝为等比数列,公比4=3,

所以%=a2p2=3x3"-2=3"T.

故选：D.

33.（23-24高二上•福建福州•期末）在正项等比数列｛q｝中，44=历1则数列｛《,｝的公

比为（）

A.-2B.4C.-D.2

2

【答案】D

【分析】设等比数列几｝的公比为以4＞0）,然后将已知条件结合等比数列通项公式化简计

算可得结果.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为＜7（/7＞0）,

由4%=，得4q=^a｝qa｝q-=也；。,4＞。，

2

所以4q=a｛q,

所以,2=4,解得^=2或夕=一2（舍去），

故选：D

34.（23-24高二上•山东青岛•期末）等差数列｛q｝的首项为1,公差为d,若%，4，％成等比

数列,则"=（）

A.0或—2B.2或-2C.2D.0或2

【答案】A

【分析】利用等比中项及等差数列的通项公式即可求解.

【详解】因为生,生，牝成等比数列，

所以

因为等差数列｛4｝的首项为1,公差为d,

所以(l+2d『=(l+d)(l+5"),即/+2[=0,解得d=0或4=一2.

故选：A.

35.（23-24高二上・江苏泰州•期末）已知等比数列｛〃“｝的各项均为正数，若%=2,%+《=12,

则％=（）

A.1B.2C.-D.-

24

【答案】A

【分析】设等比数列｛%｝的公比为4国＞（）,利用等比数列的通项公式列方程求解.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为4国＞为

a=%q=2

则《2解得2,

%+%==12

所以4=1.

故选:A.

题型八等比数列性质的应用

36.（23-24高二下•青海•期末）在等比数歹ij｛4｝中，的：=8,%%=】，贝1]/=（）

A.64B.128C.64啦D.128啦

【答案】B

【分析】结合等比数列的性质求解.

Q1

【详解】由题意得W：=a：a0=d=8,得a=2,则=

由4=4/=3/=2,得/=4.

所以生=*=2x4,=128.

故选：B.

37.（23-24高二下•江苏南京•期末）已知也｝是单调递增的等比数歹IJ,且4+%=27必4=162,

则公比4的值是（）

A.3B,-3C.2D.-2

【答案】C

【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得q=9,%=18,即可求解.

【详解】解：由｛4｝是单调递增的等比数列且4+4=27,%“=44=162,

所以4，%是W—27x+162=0的两个实数根，且&

得卬=9吗=18,故<f=&=2.

故选：C.

38.（23-24高二下•河南•期末）在各项为正的等比数列｛〃"｝中，仆与的等比中项为2,则

log2a6+Iog2，l2=（）

A.4B.3C.1D.2

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质计算即可.

【详解】因为/与斯）的等比中项为2,

所以48alo=2~=4,

所以log2iz6+log2a12=log,（4•%）=1。82（%.4o）=><>g24=2.

故选：D.

39.（23-24高二上•江苏南通・期末）设｛〃“｝是公比不为1的等比数列，/4牝=8,—,—,

4《

，成等差数列，则6=（）

%

A.-16B.-C.16D.1

44

【答案】A

【分析】根据题意，利用等比数列的性质，求得4=2,结合,，，成等差数列，列

%4为

出方程，求得4的值，进而求得修的值.

【详解】因为等比数列｛4｝满足44%=8,可得〃3%〃5=。：=8,解得《=2,

又因为‘，'，,成等差数列，可得2='+'=，

aa

«4%%。3452%

2__l_J_

所以2"2+解得4=弓或夕=1（舍去），

q

所以％寸=｝J6.

8

故选：A.

40.（23-24高二上•湖北孝感・期末）若等比数列｛〃“｝的第2项和第6项分别为3和⑵则｛《,｝

的第4项为（）

A.4B.-6C.6D.±6

【答案】C

【分析】根据等比数列性质和等比数列通项公式求出答案.

【详解】由题意得&=%他=3x12=36,

2

又a4=a2q-=3q>0,故q=6.

故选：C

题型九等比数列片段和的性质

41.（23-24高二上・安徽宣城,期末）设邑是等比数列｛q｝的前〃项和,若&=4,&+生+4=8,

则含=（）

753

A.2R.—C.-D.-

337

【答案】B

【分析】53，S6-S3,59-56成等比数列，得到方程，求出$9=28,得到答案.

【详解】由题意得§6-53=8,56=53+8=4+8=12,

因为S3，S6-S“S9-§6成等比数列，故（S6—S3）2=S3（Sg-SJ,

2

BP8=4（59-12）,解得工=28,

HA=28=7

“y12i'

故选：B

42.（23-24高二上•河南开封•期末）记S“为等比数列也｝的前〃项和，若S」=3,Ss=9,则

S|2=（）

A.21B.18C.15D.12

【答案】A

【分析】根据等比数列性质得到S4，&-S,,几一Sg成等比数列,求出S「S8=12,得到答案.

【详解】因为为等比数列｛4｝的前〃项和且邑工0,

所以S4,Sg-S4,$2-58成等比数列，即3,6,$2-S8成等比数列，

所以岳2-58=1=12,所以％=58+12=9+12=21・

故选：A.

43.（23-24高二上•广西•期末）正项等比数列｛an｝的前〃项和为5,，S2=3,S«=15,则6+仆

等于（）

A.9B.72C.70D.48

【答案】D

【分析】用等比数列基本量列方程组求解.

【详解】由题意，〃eN,，设公比为夕，k=2卢=牛=4,q+4=g'（4+%）=16x3=48.

故选:D.

44.（23-24高二上•河北保定•期末）设等比数列｛为｝的前"项和为S"，己知§2=4,邑=40,

贝他=（）

A.144B.324C.400D.364

【答案】D

【分析】由等比数列的性质得到邑，S「S”-，成等比数列，从而得到方程，求出答

案.

【详解】因为邑，Sf,S「S4成等比数列，所以（S，-S2）2=S2（S6-Sj,

即（40-4）2=4-解得S6=364.

故选：D

若尹3,则如

45.（23-24高二上・甘肃甘南•期中）已知S“为等比数列何｝的前〃项和,

()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】根据等比数列前〃项和的性质计算即可.

【详解】因为3为等比数列｛&｝的前〃项和，

所以S3,S6-S3,S9-S6,512-S9,S15-S12,S)8-所成等比数列,

由率=3,得S6=3Sa，则乌/=2,

所以S9-S6=4S.3,所以S,=7S3，

S12-S9=853,所以12=15邑,

S15-S]2=I6S3,所以S]5=31S3,

518-515=3253,所以九=63邑,

所以1.二幽二9

故选：C.

题型十等比数列的奇数项与偶数项和

46.（23-24高二上•重庆•期中）已知等比数列｛〃"｝有2〃+1项，6=1,所有奇数项的和为85,

所有偶数项的和为42,则门=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为

1+/+/+...+/'=]+04+/+炉+...+/2）=85,偶数项为4+^+力+…+/1=42,

得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前〃项和的公式求出〃即可.

【详解】因为等比数列有2〃+1项，则奇数项有〃+1项，偶数项有〃项，设公比为9,

得到奇数项为I+d+d+...+/“=1+9（4+43+/+…+夕22）=85,

偶数项为"。3+炉+...+尸=42,整体代入得4=2,

1_/j2n+l

所以前2〃+1项的和为=一=85+42=127,解得〃=3.

1-2

故选：B

47.（22-23高一下•北京海淀•期末）已知等比数列｛〃”｝的前〃项和为S“，其中&>0,则飞>

是“S0无最大值”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

［分析］由等比数列几卜11%>“等价于公比q<-1或“>।,结合前八项和公式单调性的判

定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现S”无最大值不•定推得%>4,继而选项

可定.

【详解】充分性：设等比数列｛〃”｝的公比为“，

生>4,4>0,

可得"-1或…，

乂邑=半£)=个年_小

1—qq_[''

当4<一1时，若〃为奇数，S,,=

，一1（。l）=言（一心言，

•・・言〉。，（-加一当〃为奇数时S”单调增，则s.无最大值,

当…时S”=含0-1)

•・9>0,4>1,.・.工单调增，则S“无最大值;

9T

必要性：当夕=1时，s.=叼，又4>0,则要无最大值.

可得飞>q"不是“s”无最大值”的必要条件;

由此可知“%>%”是“s”无最大值”的充分不必要条件.

故选：A.

48.（2024高二•全国.专题练习）等比数列｛%｝共有2〃项，其和为240,且奇数项的和比偶

数项的和大80,则公比/.

【答案】1/0.5

【分析】结合题意列方程组分别求出S奇，S偶，再由等比数列的性质求出结果即可.

【详解】设等比数列｛4｝的奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S制.

（S帝+S偿=240,

由题意可得；:‘父］

3奇-3耨=8。,

解得［氏总=的160,

所以，尸注=1

七2

故答案为：—.

49.（2025•广东•模拟预测）已知等比数列｛q｝的前6项和为63,其中偶数项和是奇数项和

的两倍，则4=.

【答案】1

【分析】设出公比，根据/+包+”=2（《+%+6）,求出公比乡=2,故4+4+&=21,

得到4=1.

【详解】设公比为4,则4+生+4+《+6+4=63,

其中生+/+4=2（q+%+6），又生+卬+以=4（4+%+6），

故q=2,3（4+%+6）=63,

故q+4+%=21,即勾4-a//2+a闯4=4+44+16q=21,

解得

故答案为：1

50.(24-25高二上.全国•随堂练习)若等比数列｛勺｝共有2〃项，其公比为2,其奇数项和比

偶数项和少100,则数列｛凡｝的所有项之和为.

【答案】300

【分析】设等比数列伍”｝的奇数项之和为S，偶数项之和为S?,则邑=2、，S,+100=S2,

则可求出5,$2,值,从而得出答案.

【详解】设等比数列｛/｝的奇数项之和为S-偶数项之和为邑,

贝IJS]+。2”-1，

S?=%+4+4++%,=q(4+%+%+,,+%”)=2S-

由题意可得：S,+100=S2,即，+100=2’,解得E=100,52=200,

故数列伍，的所有项之和是100+200=300.

故答案为：30().

题型十一求数列｛1凡1｝的前〃项和

51.(24-25高三上•江西鹰潭•期中)己知等差数列也｝的前〃项和为S.,且

2%+q=2O,S]o=110.

⑴求｛%｝的通项公式:

(2)设〃=|9一幻，求数列低｝的前〃项和T„.

-n2+8n,1<77<4

【答案】(1)4=2〃(2)4=

n2-8/z+32,n>5

【分析】(1)由等差数列及其前〃项和的基本量的计算求山qM即可得解;

(2)分和〃25两种情况讨论即可求解.

【详解】(1)设等差数列｛6｝的公差为d,又2%+《=206。=110,

2%+a4=2.+2d)+4+3d=20

所以Lsl°x94lin，

5|0=10«)+---=110

解得q=2,d=2,

所以q=4-l)d=2+2(〃_l)=2〃.

(2)由(I)知么=|9-q|=|9—2〃|,

当时，々=|9-2”=9—2〃，所以4=7；

当〃25时，b"=|9-2w|=2〃-9也=1,

所以当14〃44时，7；=M7+9-2")」(16-2叽十曲,

22

当〃之5时，Tn=T4+b5++a=]6+(”夕(；2〃-9)="一8〃+32.

纤上丁」-/+8〃,区三4

"[〃2-8〃+32,〃之5.

52.(24-25高二上•福建宁德•阶段练习)在等差数列｛qj中，％=7,为=-5,｛4｝的前〃项和

为S”.

⑴求数列｛叫的通项公式;

（2）求S”的最大值;

⑶设（=同+同+同+…+|凡|，求。.

2

\2n-n,n<6jiGN

【答案】⑴凡=13—2〃(2)36(3)1=,

〃2一⑵+72,〃之7,〃eN'

【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式；

（2）利用等差数列的前〃项和公式，即可求得答案；

（3）判断数列乩｝的项的正负情况，讨论〃的取值，结合等差数列的前〃项和公式，即可

求得答案.

【详解】（1）解：由题意知在等差数列｛4｝中，6=7，4=-5,设公差为d,

则出一4=64=-12,解得”=-2,则4=q-2d=ll,

故q,=q+("1"=]3-2〃,

通项公式为=13-2/?；

（2）解：由（1）可得前〃项和S“=I1〃+^^X（—2）=12/?—〃2=-（〃—6『+36,

，当〃=6时，3取最大值36；

(3)解:••"=13-2〃，

・••当13—2〃20时，Wn<y13=611,

即〃46时有4>0,〃27时有％<0,

当“46时，Tn=同+同+同+…+|aj=q+02+03+...+0〃=S“=12〃一,

当〃27时，Tn=。1+。2+…+〃6一。7一…一

=2(q+%+...+4)-(4+a2+&+•••+〃”)

=2S6-S„=2(12x6-36)-(12//-/?)=/?-12//+72,

\2n-n\n<6,//eN"

综上所述（=

/r-12/?+72,//>7,/2€N*

53.（24-25高二上•江苏盐城•阶段练习）在等差数列｛4｝中，&=7,6=-5,｛4｝的前〃项和为

S”

（1）求数列｛《,｝的通项公式;（2）求数取最大值时差的值；13）设备=1%1+1引+&1+...+41,求

12/?-/?2,/?<6,/ZGN*

【答案】（1）6=13-2〃⑵6（3汉=

n272〃+72,〃>7,/?=N*

【分析】（I）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式；

（2）利用等差数列的前九项和公式，即可求得答案；

（3）判断数列｛q｝的项的正负情况，讨论〃的取值，结合等差数列的前〃项和公式，即可

求得答案.

【详解】（1）由题意知在等差数列应』中，、=7心=一5,设公差为4

则为-q=6d=-12=d=-2,则4=4-24=11,

故%=4+(〃-1"=13-2%故通项公式%=13—2〃.

(2)结合(1)可得S“=U〃+迎3x(-2)=⑵一〃2=一(〃—6)2+36,

，当〃=6时，S”取最大值.

(3)an=13-2M,

131

A[tll3-2/?>0,得〃吟=6；,

即时有>0,”之7时有〃”<0,

若〃46,Tn=\ax|+|6f,|+|A3|+...+|an|=^+«,+«3=Sn=\2n-n',

若〃27时，工,=4+%+…+4-七一…一

=2(4+/+...+