苏教版高中数学必修第二册试题-平面的基本性质

13.2基本图形位置关系

13.2.1平面的基本性质

学习指导核心素养

1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平

面.

1.直观想象：平面的概念及点、线、

2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平

面的位置关系.

面之间的位置关系.

2.直观想象、逻辑推理：三个基本

3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个

事实和三个推论.

基本事实和二个推论，理解二个基本事实

和三个推论的作用.

自主学习

【研读导学堂减1

1.平面

(1)平面的概念

平面是从现实世界中抽象出来的几何概念.平面通常用平行四边形来表示,当平

面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图.

(2)平面的表示法

平面通常用希腊字母/Ay.-表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的

字母表示；如图的平面可表示为平面a、平面ABC。、平面AC或平面8D

DC

险微思考二

1,几何里的平面有什么特点？

提示：(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度

量.

⑵平面无厚薄、无大小，是无限延展的.

2.点、线、面之间的关系

位置关系符号表示

点P在直线AB上PGAB

点。不在直线A8上C^AB

点扬在平面AC内Me平面AC

点4不在平面AC内4廨平面AC

直线A8与直线BC交于点BABQBC=B

直线A8在平面4C内A8u平面AC

直线A4i不在平面AC内/UN平面AC

籁邀思考：

2.如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？

提示：(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合

的关系，用或“任”表示.

⑵平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“

或“住”表示.

(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“u”

或“Q”表示.

3.平面的基本事实

基本事实文字语言图形语言符号语言作用

过不在一条直①确定平面的

基本线上的三个依据

/.‘C/平面ABC

事实1点，有且只有②判定点线共

一个平面面

如果一条直线

①确定直线在

上的两个点在A^a

基本平面内的依据

一个平面内，/*/

事实2②判定点在平

那么这条直线

面内

在这个平面内

如果两个不重尸Ea且①判定两平面

基本

合的平面有一相交的依据

事实3

个公共点，那l,且尸②判定点在直

么它们有且只线上

有一条过该点

的公共直线

麴：债点拨：

基本事实1：确定平面的依据；基本事实2：判定直线在平面内的依据；基本事

实3：判定两个平面相交的依据.

4.基本事实的推论

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

图形语言表述：如图所示.

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面

图形语言表述：如图所示.

推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面

图形语言表述：如图所示.

0微填习］

1.判断正误(正确的打“'”，错误的打“X”)

(1)两两相交的三条直线确定一个平面.()

(2)经过一条直线和一个点确定一个平面.()

(3)如果平面a与平面//相交，那么它们只有有限个公共点.()

(4)平面a和平面尸交于不共线的三点A,B,C.()

⑸直线a与直线b相交于点A,可用符号表示为aGA=A.()

答案：⑴X⑵X⑶X(4)X(5)V

2.如图所示，下列符号表示错误的是()

C.7<=aD.PRa

解析：选A.观察题图知，P史I、PEa,l^a,则/《a是错误的.

3.下面是一些命题的叙述语(A,3表示点，。表示直线，见夕表示平面)，其中

命题和叙述方法都正确的是()

A.因为BRa,所以

B.因为a^a,aGp,所以aC/?二a

因为aua,所以4£a

D.因为ACa,QUO,所以ACa

解析：选C.对于A,直线AB在平面。内，应为ABua,故A错误;

对于B,直线。在平面火夕内，应为“ua,au£,故B错误；

对于C,因为aua,所以故C正确；

对于D,Aea,aua、有可能故D错误.故选C.

4.已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：

(1)点C与平面夕：.

(2)点A与平面a:.

(3)直线AB与平面a:.

(4)直线CD与平面a：.

(5)平面a与平面P:.

答案：⑴C氏£(2)AWa(3)ABQa=B(4)CDca(5)aCp=BD

究国▼讲练互动

【解"探h突破厂

探究点1图形、文字、符号语言的相互转化

屈m(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形.

平面ABD与平面BDC交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.

(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示.

aC0=l,AEl,ABua,ACup.

【解】(1)符号语言表示：平面48OP平面BOC=B。，平面ABCC平面ADC

=AC.用图形表示如图①所示.

(2)文字语言叙述为：点A在平面a与平面夕的交线/上，直线AB,AC分别在平

面。，£内，图形语言表示如图②所示.

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几

条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.

(1)点P与直线A8；

(2)点C与直线A8；

(3)点M与平面AC；

(4)点4与平面AC；

(5)直线A8与直线8C；

(6)直线A8与平面AC；

(7)平面4B与平面AC.

解：⑴点尸£直线AB.

⑵点CC直线AB.

⑶点平面AC.

(4)点Ai任平面AC.

⑸直线48n直线BC=点8.

⑹直线A8u平面AC

(7)千面48n平面AC=直线AB.

探究点2点、线共面问题

丽证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.

［解】已知：如图仔示，/1n/2=A,hnh=B,hCh=C.

求证：直线/1,，2,，3在同一平面内.

证明：方法一：（纳入平面法）

因为/】n/2=A,所以/i和/2确定一个平面a.

因为/2A/3=B,所以BWb

又因为hua,

所以同理可证CSa.

又因为BE包Ce/3,所以AUG.

所以直线/1,11,，3在同一^平面内.

方法二：（辅助平面法）

因为/IH/2=A,所以儿/2确定一个平面a.

因为/2A/3=B,

所以〃，，3确定一个平面K

因为Awb,/2U。，所以A£a.

因为AW/2,bu£,所以

同理可证BE优Ce«,CEfi.

所以不共线的三个点4,B,C既在平面a内，又在平面£内.

所以平面a和夕重合，即直线/i,上，，3在同一平面内.

证明点、线共面的常用方法

（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面民

最后证明平面明£重合.

跟踪训练;如图，已知a〃〃〃c,/Ga=A,/n/?=8,/Gc=C.求证：直线

b,c,I共面.

证明：因为a〃b,所以。和〃确定一个平面a,因为/Aa=A,/(18=8,

所以AWa,36。.故仁〃.

又Q〃C,所以。和c确定一个平面少.

同理/u氏

即/和〃既在平面a内又在平面夕内，且/与。相交，故平面见尸重合，即直线

a,b,c,/共面.

探究点3三点共线、三线共点问题

隔⑶如图所示，在正方体ABCLMiBGQi中，£”分别为A8,A4i的中点.求

证：CE,DiF,DA三线交于一点.

［证明］连接DiC,A8,

因为E为AB的中点、,

产为A4的中点，

所以故号4区

又因为AIB^DIC,

所以EF2gDiC,

所以£F,Di,。四点共面，

可设o/ncE=p.

又。iFu平面CEU平面ABC。,

所以点P为平面A\D\DA与平面ABCD的公共点.

又因为平面AIOIDACI平面ABCD=DAt

所以根据基本事实3可得P^DA,

即CE,DiF,0A三线交于一点.

［变条件、变问法］若将即目条件中的产分别为AB,的中点”改成“£

产分别为44上的点，且UFACE=M"，求证：点。，A,M三点共线.

证明：因为。声ncs=M,

且。iFu平面AiDiDA,

所以ME平面AIOIDA,

同理平面BCDA,

从而M在两个平面的交线上,

因为平面AiQiDACl平面BCDA=AD,

所以MWAO成立.

所以点O,A,M三点共线.

E1周3图

(1)证明三点共线的方法

潘斗：a'i-谕不率看「瓦看五庙后三区直裒

方法一这两个平面的公共点，根据基本事实3可知,

Q:这些点都在两个平面的交级上

方华一选择其中两点确定一条直线，然后证明另

“”一：一点也在此直线上

(2)证明三线共点的步骤

步型―一滴.明法条*函荚区=支于二£一

与强一二说明这个点在另两个平面上，并且这两个

步骤一：平'面相交

步骤三T蒋国爰瓦通豆而£［灭市不更三返£小

回昆黎飘般多

1.如图，已知平面。，人且aC/Xl,设在梯形ABCQ中，AD//BC,且ABu4

COuK求证：AB,CD,/共点.

证明：因为在梯形ABC。中，AD//BC,

所以A3,C。是梯形A3CO的两腰,

所以AB,C。必定相交于一点,

如图，设ABGCD=M.又因为ABua,CDup、

所以且

又因为aC£=l,所以M（=/.即CD,/共点.

2.如图，在四边形ABCO中，已知A3〃CD,直线45,BC,AD,0c分别与

平面。相交于点EG.H,E求证：£,F,G,”四点必定共线.

证明：因为A5〃C。，所以A5,C。确定一个平面以即平面A3C。），又因为ABG”

=E,ABu6所以EWa,EE/?,即E为平面a与夕的一个公共点.

同理可证F,G,H均为平面a与4的公共点，两个平面有公共点，它们有且只

有一条通过公共点的公共直线，所以£,F,G,”四点必定共线.

自测

［验证反馈达标］

1.能确定一个平面的条件是（）

A.空间三个点

B.一个点和一条直线

C.无数个点

D.两条相交直线

解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A,B,C条件不能

保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确.

2.经过同一条直线上的3个点的平面（）

A.有且只有一个

B.有且只有3个

C.有无数个

D.不存在

解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的

―二—占八、、•

3.如果直线4U平面区直线〃U平面aMEa,NEb,M日,NElt贝lj()

A.luaB.Ida

C.lQa=MD.lQa=N

解析：选A.因为aua,所以MW。，同理，NEa,又MW/,NEl,故

lua.

4.设平面”与平面尸交于直线/,AEa,BEa,且直线A3A/=C,则直线43ns

解析：因为aGQ=/,ABA/=C,所以CG仇CEAB,所以ABnp=C

答案：C

5.说明语句“lua,mHa=A,A^T表示的点、线、面的位置关系，并画出图

形.

答案：直线/在平面a内，直线相与平面a相交于点A,且点A不在直线，上,

图形如图所示.

应用昌▼巩固提升

【强化培优通五厂

[A基础达标]

1.下列说法中正确的是()

A.三点确定一个平面

B.四边形一定是平面图形

C.梯形一定是平面图形

D.两个不同平面a和夕有不在同一条直线上的三个公共点

解析：选C.不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四

边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；

两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上,

故D不正确，故选C.

2.给出以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点4,B,C,。共面，点人及C,E共面，则点4,R,C,D,£共面；

③若直线火b共面，直线a,c共面，则直线瓦c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面.

其中正确的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，

这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交

平面有三个公共点A,B,C,但A,B,C,D,E不共面：③显然不正确；④不

正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.

3.已知4夕为平面，4B、M,N为点，。为直线，下列推理错误的是（）

A.AEa,ABfi,BEa,BJgaup

B.MEa,M",NEa,NE归aC。=MN

C.4Ga,AE夕=aGA=A

D.A,B,MEa,A,B,M"、且A,B,M不共线=«夕重合

解析：选C.选项C中，a与少有公共点A,则它们有过点A的一条交线，而不

是点4,故C错.

4.在空间四边形A8CD中，在A3,BC,CD,D4上分别取E,F,G,H四点,

如果GH,EF交于一点、P,贝IJ（）

A.P一定在直线BD上

B.P一定在直线AC上

C.尸在直线AC或3Z）上

D.P既不在直线8。上，也不在AC上

解析：选B.由题意知GHu平面AOC,GH,EF交于一点、P,所以平面A3C.

同理，尸£平面ABC.因为平面ABCA平面AQC=AC,由基本事实3可知点P—

定在直线AC上.

5,下列各图均是正六棱柱，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点不共

面的图形是（）

解析：选D.在选项A,B,C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有

PS//QR,即在此三个图形中P,Q,R,S共面，故选D.

6设平面«与平面少相交于/,直线aua,直线b"、aQb=M,则M用

符号填空）

解析：因为Qua,bup、所以ME/?.又因为。04=/,所以ME/.

答案:《

7.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是

解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时,可确定1个平

面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面.

答案：1或4

8.已知平面aCl平面3二/,点NEa,P9且MNC【二R,过M,

N,P三点所确定的平面记为九则夕门》等于________.

解析：如图所示，MNuy,REMN,所以RW/又/?£/,所以/?££.

又PW%所以0Cy=PR.

答案：直线PR

9.如图，在长方体中，七为棱88的中点，R为棱CG的三等分

点，画出由E,尸三点所确定的平面£与平面A8co的交线.（保留作图痕

迹）

解：如图，直线〃即为所求.

10.已知空间四边形A6CZX如图所示），E,尸分别是A6,4。的中点，G,”分别

是8C,C。上的点，,aCG=|BC,CH=；OC求证：

⑴E,F,H,G四点共面；

（2）直线股/,EG,4。共点.

证明：（1）连接EfGH.因为E,产分别是A8,4。的中点，所以E/4;BD.因

为G,“分别是BC,上的点，且CG=；8CCH=|DC.

所以G〃当BD.

所以EF//GH.

所以E,F,H,G四点共面.

（2）由（1）知，EF//GH,且ERWG”,所以四边形E77/G是梯形.

设两腰EG,FH相交于一点、T.

因为EGu平面ABC,F”u平面ACDt

所以丁£平面ABC,且re平面4CD

又因为平面ABCO平面ACD=AC,

所以TfAC,即直线,EG,FH,AC相交于一点7.

IB能力提升］

11.如图，平面an平面4二/,A,BEa,C",C电I、直线480/=。，过A,B,

。三点确定的平面为Z则平面八夕的交线必过（）

三

A.点AB.点B

C.点C,但不过点DD.点。和点D

解析：选D.根据基本事实判定点C和点。既在平面用内又在平面了内，故在尸

与y的交线上.故选D.

12.（多选）已知A,B,。表示不同的点，/表示直线，a,4表示不同的平面，则

下列推理正确的是（）

A.AEl,AE.a,BE.I,BGanlua

B.Ida,AE/=Aea

C.AE.a,AE.I,/</«=>/C\a=A

D.AEa,BEa,BJpnaC邛=AB

解析：选ACD.对于A中，由A£/,AGa,BEI,BEa,根据平面的基本怛质，

可得lua,所以是正确的；对于B中，由也氏AEI,根据直线与平面的位置关

系，则或A£a,所以不正确；对于C中，由AWa,AEl,Ida,根据直线

与平面的位置关系，则/na=A,所以正确；对于D中，由AE/^BEa,

d根据平面的基本性质，可得aC0=AB,所以是正确的.故选ACD.

13.在正方体ABCQ-ABGQi中，M,N分别是棱。/>和上的点，