苏教版高一数学下册必修第二册-空间图形的表面积

13.3空间图形的表面积和体积

13.3.1空间图形的表面积

课标要求素养要求

1.了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱

在计算柱、锥、台体的表面积的过程中，

台的概念.

要把实际问题转化为数学问题，并进行

2.知道柱、锥、台体的表面积的计算公

计算，发展学生的数学建模、数学运算

式.

和直观想象素养.

3.能用公式解决简单的实际问题.

课前预习知识探究

自主梳理

1.几种特殊的多面体

(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱.

⑵正棱柱：底面为正多边形的直棱柱.

(3)正棱锥:棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心.正棱锥的

侧棱长都相等.

(4)正棱台：亚棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.

2.几种简单几何体的侧面展开图与侧面积

几何体直观图侧面展开图侧面积

直棱柱巨血S直核柱例-ch

旋转体侧面积的关系:

自主检验

1.思考辨析，判断正误

⑴三棱柱的侧面积也可以用"来求解，其中/为侧棱长，。为底面周长.(X)

提示如果侧棱和底面垂直，则可以；否则不可以.

⑵若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.(X)

提示设圆柱的底面圆的半径为r,所以圆柱的侧面展开图的两边分别为2〃，2々

二者不相等，故侧面展开图不是正方形.

⑶圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.（J）

（4）对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图不一定相同，但其表面积是

唯一确定的.（，）

2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是

（）

1+2兀1+27：

2兀4兀

I+2兀1+4兀

TC2兀

答案A

解析设底面圆半径为「，母线长为儿・•・/?=2",则合2“；［产;彳二巧手

1+2兀

-2兀'

3.一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a则它的表面积是（）

A.（3+6^3）a2B.（6+3、Q）/

C.（3+3VD.（6+6小）/

答案B

解析由题意知，正六棱柱的侧面积为6〃2,底面积为6X：。冬.2=3小序，所

以正六棱柱的表面积为64+35层.

4.已知正四棱台的上底面边长为4,侧棱和下底面边长都是8,则它的侧面积为

答案48<15

解析设正四棱台为48CO-A山Cid,如图.过8作⑤凡L8C于点凡则8声

为斜高.

在Rt△。尸8中，8/=：、(8—4)=2,BiB=8,

所以BJF=^82-22=2-/15,

所以5正境外尸4X^X(4+8)X2仃=48仃.

--------课堂互动・-----------------------------------题型剖析一­

题型一棱柱、棱锥或棱台的表面积

【例1】已知正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm,高为|cm,求

此正三棱台的表面积.

解如图所示，画出正三棱台ABC-A山iG,其中。1，。分别为正三棱台上、下

底面的中心，D,G分别为8C,81cl的中点，则OOi为正三棱台的高，DD,为

侧面梯形的高，四边形为直角梯形，

所以DDi=y]OOH（OD-OiD\）2=^J=y[3（cm）.

所以此正三棱台的表面积S衣=S恻+S底=3xgx（3+6）X，5+乎X32+乎X6?=

竽cm）

思维升华求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、

侧棱，并注意两个直角梯形的应用：（1）高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点

连线所成的直角梯形；（2）高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.

【训练1】若正方体的棱长为啦，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面

体的表面积为（）

B.2小

C#

答案B

解析所求凸多面体的表面积是两个底面边长为I,高为半的四棱锥的侧面积之

和，如图，四棱锥的侧棱长

所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积1Xl-sin

60°=2^3.

题型—圆柱、圆锥、圆台的表面积

【例2】如图所示，已知直角梯形A8CO中，BC//AD,ZABC=90°tAB=5cm,

BC二16cm,A。=4cm.求以A3所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

解以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4cm,下底

半径是16cm,母线DC=\j52-\-(16—4)2=13(cm).

・••该几何体的表面积为兀(4+16)义13+兀42+a16=532兀(cn?).

思维升华求旋转体表面积的要点

(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系

是解题的关键；

(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；

(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们

的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.

【训练2】(1)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是

底面积的倍.

(2)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为

84n,则圆台较小底面的半径为.

答案(1)2(2)7

解析⑴设圆锥底面半径为几由题意知母线长/=2/，则5侧=廿2-=2兀户，.会

(2)设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r,Sn=n(r+3r)-3=84K,r

=7.

题型三简单组合体的表面积

角度1由多面体组合成的组合体问题

【例3】如图①所示：已知正方体面对角线长为沿阴影面将它切割成两块，

拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为.

①②

答案(2+/谭

解析由已知可得正方体的棱长为冬，新几何体的表面积为S盘=2X^〃m+

角度2由旋转体组成的组合体问题

［例4］已知圆锥的高和其底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和其底面半

径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.

解如图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是八R,圆锥的母线长为

/.则有A号，

即胃=；,:.R=2v、l=\[2R.

.S剧注表2兀户+2兀3_______4兀户___________4^______r-_

••S即他&TtRy[2R-\-TtR2(也+1)nR24(6+1)r2

角度3由平面图形旋转形成的组合体问题

【例5】一个直角梯形的两底边长分别为2和5,高为4,将其绕较长的底旋转

一周，求所得旋转体的表面积.

解如图，在梯形ABC。中，AD=2tA8=4,8c=5.

作垂足为点M,则。M=4,"。=5—2=3.在RtZXC例。中，由勾股定

理得67)=。32+42=5.

在旋转形成的旋转体中，AB形成一个圆面，4。形成一个圆柱的侧面，CQ形成

一个圆锥的侧面，

设其面积分别为S],S2,S3,则&=第42=16兀,S2=2兀4X2=为兀,§3=兀4)<5=

20兀，

故此旋转体的表面积为S=SI+S2+S3=52兀.

思维升华组合体一般由多面体组合而成，或由旋转体组合而成，对于旋转体一

般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表

面积公式计算.

【训练3】如图，在棱长为。的正方体ABC。-48Q。中，截去三棱锥4-

ABD,求剩余的几何体A3CQ-QBC的表面积.

解由图可知4A方。是边长为啦。的等边三角形，其面积为坐标,故所求几何

A

体A\B\C\D\-DBC的表面积S=SA48O+3S“BC+3S正方形挈？

+3X；序+3cr=^^a2.

•课堂小结，

一、牢记2个知识点

1.直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念.

2.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积.

二、掌握一种方法——割补法

三、注意一个易错点

平面图形与立体图形的切换不清楚.

分层VII练.-----------------------------------------素赤提升

基础达标|

一、选择题

1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面

积是（）

A.47tB.3兀

C.2nD.n

答案C

解析所得几何体是底面圆半径为1,高为1的圆柱，其侧面积5=2兀附=2兀-1义1

=2TT.

2.正三棱锥的所有棱长均为〃，则该三棱锥的表面积为（）

A.3A/5/B.2小/

C.yj3a2DAa2

答案C

解析S=4XJX坐“a=小々2

3.若一个圆台如图所示：则其侧面积等于（）

C.3小兀D.6小兀

答案C

解析,・•圆台的母线长为、（2—1）2+22=4,

・・・S货台倒=兀（1+2）X小=3小兀

4.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32%则母线长

为（）

A.2B.2啦

C.4D.8

答案C

解析圆台的轴截面如图，由题意知，

S圆台例=兀（r+7?>/=兀，2/1=32九,

A/=4.

5.正三棱台的两底面边长分别为6和8,侧面积与两底面面积之和的比为21:25,

则正三棱台的斜高为（）

A.V2B.g

C.V6D.3

答案B

解析设正三棱台的斜高为"，

则S«=z(c+=；X(3X6+3X8)〃=21〃,

S«=SI+S2=^X62+^X82=25V3.

.•显=21.斗口,正小

•S底25'•'25小25'

二、填空题

6.正三棱锥的底面边长为/高为罟0则此棱锥的表面积为.

答案兰普/

解析如图，在三棱锥S—A8C中，A8=〃，SO=*m

从而葡+前

=今故三棱锥的表面积5=3义93+；＞＜坐〃.〃=3〃2

7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为。的止方形和止三角形,则它们的

表面积之比为•

答案2：1

解析5即枉=2•兀闾+2兀・

S囱械-7i,l2I।7^2^一不以，

，S宜柱:S回信=2：1.

8.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm高与斜高的夹角为30。，则正

四棱锥的侧面积与表面积分别为和.

答案32cm248cm2

解析正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成RtZXPOE

・・・0E=2cm,NOPE=300,

OE2

・•・斜高PE=；ii^=1=4(cm).

2

因此S梭轮值=；X4X4X4=32(cn】2),

S检修表=32+16=48(cm~).

三、解答题

9.已知底面半径为小cm,母线长为,cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心

为顶点、下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.

解如图所示，所得几何体的表面积为

S=S&+S柱恻+S叱=川木)2+271-^3义#+兀-小X3=(3+6蛆+33)兀(。口2).

10.如图，粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边长分别是80mm和440

mm,高是200mm,计算制造该下料斗所需的铁板的面积(厚度不计，参考数据

ViSl%13.46).

解如图，设。，01分别是两底面的中心,

则OO1是高，E,昌分别是其所在边的中点，则砂1是斜高，过El作E|F_LOE

于F.

在RtAEiFE中，EE\尸+E尸

=、。0?+（EO—E。）2=y20Q2+y°180）

=2（h/T81（mm）.

工S正梗台信=1x4X（440+80）X20/181^2.8X105（mm2）.

故制造该下料斗约需铁板2.8X105mm2.

能力提升I

11.设圆柱的一个底面面积为S,若其侧面展开图为一个正方形，则这个圆柱的侧

面积为（）

A.nSB.27rs

C.3TLsD.4兀S

答案D

解析设圆柱的底面半径为小则有兀户=5,所以r=、y|,所以底面圆的周长为

又因为展开图为正方形，所以这个圆柱的侧面积为（27rg2=4兀S.

12.（多选题）圆台的上、下底面半径分别是1（）和2（）,它的侧面展开图扇环的圆心

角为180。，则圆台的（）

A.母线长是20B.表面积是1100n

C.高是1()V2D.母线长是40

答案AB

解析如图所示，设圆台的上底面周长为C,因为扇环的圆心角为180。,

所以C=aSA,又C=10X2TI,

所以SA=20,同理SB=40,

故圆台的母线AB=SB-SA=20y

高h=ylAB-(20-10)2=1即，

表面积S=S倒+S上+S下=71(10+20)X20+兀.1()2+兀.202=1100k

13.圆台的母线长为8cm,母线与底面成60。角，地截面的两条对角线互相垂直，

求圆台的表面积.

解如图所示的是圆台的轴截面ABBIAI,其中NAAB=60。，过