玩转45°角 培优练习-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第20讲玩转45。角

典例精讲

题型①遇45。作垂线得等腰直角三角形

【例1］如图在RtAABC中,NBAC=9()o,AB=AC,D是4ABC夕一点NADC=452CD=4,连接BCD

的面积

【例2］如图,在等腰RtAABC匚P.AB=ACP是中线BD的延长线上一点,/APB=45O,BP=I2.求CP的长.

题型②隐45。角

【例3】如图.在等腰RtAABC中,AB=AC,D是4ABC外一点NADO135。.求证:BD_LCD.

实战演练

1.如图,D为RsACB夕—点,NACB=90。,AC=BC,NADC=450.求证:NCDB=45°.

2.如图,D是4ABC内一点BD二CD.BD_LCD,NBAD=45O^AB=8*AABC的面积.

8

3.如图，在等腰RtAABC中.AB=AC,0是△ABC内一点/8€«>/人（^>135。.求证上0二2八0.

板块二45。角的用法（二）再探手拉手--------夹半角模型

条件:AB=AC,NBAC=90。,。是BC

二乙

DAE50.DAE=45°.的中点,NDOE=45。.

方法:作AF_LAD,且AF=AD.

方法:作AF1AD.SAF=AD.方法:连接0A.作OF_LOD

结论:△ABD^AACF,AAD结论:△△

ABDgACF,AAD结论:△OAD^AOCEAOBD^AO

E四△AFE.

E^AAFE.AF,AODE^AOFE.

典例精讲

题型①内央型

【例1］如图在△ABC中,AC=BC,NACB=90o,D.E为边AB上的两点NDCE=45。,NCDE=60。.求证:DE=2AD.

题型②错位型

【例2】如图，在△ABC中,AB二AC,NBAC=9（）o,D为BC上一点,E为BC延长线上一点/DAE=45:NAEB=1

5°.若BD=5,求BE的长.

实战演练

如图、在△ABC中,AOBC,NACB=90o,E,F分别为AC.BC上的点,D为AB的中点,NEDF=45。.求证:BF=EF+CE.

板块三45角的用法（三）再探手拉手-----共顶点的三等腰模型

条件：力5=力。,口84。=90。,「4QC=45°.

条件:AB=AC,NBAC=90。,NBDC=135°.

方法：作BPOQ1E□"交褪BP于点E.

方法：作。尸口以）人口4，交直线BD于点E.

结论：UABEUCACP^PABU[PAD.

结论:△ABE^ACP,APAD^APAC.

典例精讲

【例】如图,在等腰长△ABC中,AB=AC,D是^ABC夕一点匚8。。=45.求证：AD=AB.

实战演练

女口图，在四边形ABCD中,AB=AD,AB_LAD,/BCD=135。.

⑴求证:AC=AB;

(2)求证:/CAD=2NDBC.

板块四45角的用法（四）再探手拉手-------破解手拉脚、脚拉脚

典例精讲

题型①手拉脚一手拉手

【例】如图，在△ADE和^ABC中.AD=AE,AB=BC,NDAE=N.ABC=90。,延长DB至I」点F,使BF=DB,连接CF,C

E.求证CF=CE,CF_LCE.

实战演练

题型②脚拉脚一手拉手

如图、△ABC和^DCE都是等腰直角三角形2BAC=/CDE=90。,且点D在BA的延长线上.连接BE.求证:B

E1BC.

第20讲玩转45。角

板块一45。角的用法(一)再探手拉手--------作垂直典例精讲

［例1］解;过点A作AE_LAD交DC的延3丁点E,连接BE.TNADC-45".4ADE为等搜直角三角形,

AAD=AE,ZAED=ZADC=45O,

,/△ABC为等腰直角三角形,NBAE=NDAC,

.,.△ADC^AAEB(SAS),ZAEB=ZADC=45°,BE=CD=4,

・•・ZBEC=ZAEB+ZAED=90°,BE±DC,

匚S口月CD，BE=8.

【例2】解过点A作AE±AP交BP于点E,AF_LBP于点F.

•・•NAPB=45。,・•・AAPE为等腰直角三角形，

.,.△ABE^AACP(SAS),

・•・BE=CP,ZAPC=ZAEB=135°,ZBPC=90°.

VAF±EP,.*.EF=FP=AF,

VBD是仆ABC的中线,・・・AD=CD,

・•・△ADF0ACDPCAAS),AF=CP=EF=EP,

/.RP=RR+F.F+FP=3CP,*/RP=1?,.\CP=4

【例3】证明:过点A作AEJ_AD交CD的延长线于点E.

ZADC=135°,AZADE=45°,

•••△ADE为等腰直角三角形.

△ABD^AACE(SAS),/.ZADB=ZE=45°,

.•.ZBDC=ZADC-ZADB=1350-45o=90°,

/.BD1CD.

实战演练

1.解：过点C作CD的垂线交DA的延长线于点E,

,?ZADC=45°,/.ZE=ZADC=45\AEC=CD,

VZECD=90°,ZACB=90°,

・・・NACE:NDCB,又YAOCB,

/.△ACE^ABCD,/.ZCDB=ZE=45°.

2解过点D作DEJ_AD交AB于点E,连接CE.

•・,NBAD=45。,・•・AADE为等腰直角三角形，

/.△ABD^AECD(SAS),

r.AB=CE=8,/.ZDAB=ZDEC=ZDEA=45°,

AZAEC=90°,CE±AB,

ABc=\ABCE=\^^=32.

3.证明过点A作AD_LAO交CO的延长线于点D.连接BD,过点D作DE_LBO于点E.

VZBOC=ZAOC=135°,

AZBOD=ZAOD=45°,

・♦・AADO为等腰直角三角形，

•二△ABD四△ACO(SAS),

ZADB=ZAOC=135",

.*.ZBDC=ZADB-ZADO=135°-45°=90°,

/.△BDO为等腰直角三角形，

二BE=OE=DE,

VZBOD=ZAOD=45°,

；・DA=DE,,AO=AD=DE=BE=OE.

/.BO=BE+OE=2AO,

板块二45。角的用法(二)

再探手拉手-----夹半角模型

典例精讲

［例I］证明:过点C作CMLCE,且CM=CE,i车接AM.MD.

；・ZMCE=90°=ZACB,.\ZMCA=ZBCE.

VCA=CB,CM=CE,.\AACM^ABCE,

/.ZMAC=ZB.VZACB=90°,AZCAB+ZB=90°,

・•・ZMAC+ZCAB=ZB+ZCAB=90°,BPZMAD=90°.VCM_LCE,ZDCE=45°,

r.ZMCD=45°,

・•・ZMCD=ZECD.VCM=CE,CD=CD.

•••△MCDg△ECD,；・DE=MD,ZCDM=ZCDE=60°,AZMDA=60°,

・•・ZAMD=90°-ZMDA=30°,VZMAD=90°,

AMD=2AD,ADE=2AD.

［例2］解:过点A作AF_LAD,且AF=AD,连接CF,EF.

VAB=AC.ZBAC=90°.

.•.△ABD^AACF(SAS),

.,.BD=CF,ZB=ZACF=45o,/.ZBCF=90°,

•・•NDAE=45°,・・・ZFAE=45°,

/.△ADE^AAFE(SAS),

・•・EF=ED,ZAEF=ZAEB=15°,

/.NFEB-30。,/.EF-2CF,/.ED-2BD-10,

.*.BE=BD+DE=15.

实战演练

证明:连接CD,过点D作DM_LDE交CB于点M.

VCA=CB,ZACB=90°,D为AB的中点，

；・ZA=ZB=ZACD=ZBCD=45°.CD±AB.

/.CD=DB,ZCDB=90°.

VEDIDM,/.ZEDM=90°,

AZCDE=ZBDM,.,.ACED^ABMD,

.*.CE=BM,DM=DE.

ZEDM=90°,ZEDF=45°,

；・ZMDF=45°,/.ZEDF=ZMDF.

•・•DF=DF,/.AEDF^AMDF,/.EF=FM,

ABF=BM+FM=CE+EF.

板块三45。角的用法(三)再探手拉手

--------共顶点的三等腰模型

典例精讲

【例】解:过点C作CE_LBD于点E.连接AE,过点A作AEJ_AF,交CE于点F.VZBDC=45°,

.•.△DCE为等腰直角三角形,，CE=DE,

VZBAC=ZEAF=90°,

；・ZBAE=ZCAF,ZABE=ZACF,

：AB=AC,，△ABEgZSACF(ASA),

r.AE=AE/.AAEF为等腰直角三角形，

；・ZAEF=45°./.ZAEF=ZDEA=45°,

VDE=CE,AE=AE.

.,.△EAC^AEAD(SAS),/.AC=AD.

VAB=AC,/.AB=AD.

实战演练

解⑴过点B作BE_LDC交DC的延长线于点E,连接AE.过点A作AF_LAE交CD的延长线于点F.

•・•ZBCD=135°,/.ZBCE=45°,

・•・ABCE为等腰直角三角形.・•・BE=CE,

VAB±AD,AZBAE=ZDAF,

VAB=AD,ZBAD=ZBEC=90",

.\ZABE+ZADE=180°,

VZADF+ZADE=180°,ANABE=NADF,

；・△ABE^AADF(ASA),.\AE=AF,

△AEF为等腰直角三角形,JNAEF二NF=45。，

二ZAEB=ZAEF=45°,VBE=CE,AE=AE,

・•・AABE^AACE(SAS),，AB=AC;

(2)设NCAD=2a,则nBAC=^-la^AB=AC,

匚口一0=四#二叱(；*叽45:+%

22

・•・ZDBC=ZABC-ZABD=45°+a-45°=a,

AZCAD=2ZDBC.

板块四45。角的用法(四)再探手拉手

--------破解手拉脚、脚拉脚

典例精讲

【例】证明:延长C