尾数与余数-2026五年级奥数培优讲义（含答案）

第08讲尾数与余数

。【学习目标】

1.理解尾数和余数的基本概念。

2.掌握通过分解被除数来确定符合特定余数条件的除数的方法。

3.学会观察并运用规律，快速确定多个数乘积的尾数。

4.能够识别并利用周期性规律，解决循环类问题中的尾数或余数确定。

5.掌握“试除法”这一重要技巧，并能运用它解决较为复杂的余数问题。

6.提高分析问题和解决问题的能力，培养数感和逻辑思维能力。

*知识梳理

知识点一、尾数

1.什么是尾数？

（1）尾数通常指一个自然数的最后一位数字（个位数字）。

（2）例如：123的尾数是3,5678的尾数是8。

2.如何求一个数的尾数？

（1）对于一个单独的自然数，直接看它的个位数字即可。

（2）对于四则运算结果的尾数，我们通常只需计算参与运算的各个数的尾数，然后进行相应

的运算，最后得到的结果的尾数就是整个算式结果的尾数。（注意：除法的尾数比较复杂，通

常不直接求，我们主要关注加、减、乘法的尾数）

一，-知识点二、余数

L什么是余数？

（1）当一个整数不能被另一个整数整除时，会产生余数。即：被除数：除数二商…余数。

（2）例如：10=3=3...1,其中1就是余数。

2.有余数除法的关系式：

（1）被除数=除数x商十余数

（2）余数v除数（这是非常重要的性质！）

3.如何求余数？

（1）通过直接做除法运算，得到商和余数。

（2）例如：计算57:8的余数。8x7=56,57-56=1,所以余数是1。

知识点三、分解被除数写出符合条件的除数

笫1页共9页

1.核心概念；在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间存在关系；被除数=除数

X商十余数（其中余数<除数）

2.问题引入：已知被除数和余数，如何找出所有可能的除数？

3.方法与步骤：

（1）关系式转换：由被除数;除数x商十余数可得被除数-余数;除数x商。

因此，（被除数-余数）是除数的倍数，除数是（被除数-余数）的因数。

（2）分解差数：计算被除数-余数的结果，然后找出这个结果的所有正囚数，

（3）筛选除数：根据余数<除数的原则，从所有因数中筛选出大于余数的因数，这些因

数就是符合条件的除数。

知识点四、确定一个乘积结果的尾数

1.核心概念：一个数的尾数（个位数字）只与这个数的个位数字有关。因此，多个数相乘的

积的尾数，只与这些乘数的个位数字相乘的结果的尾数有关。

2.方法与步骤：

（1）提取个位：取出每个乘数的个位数字。

（2）逐步相乘：将这些个位数字依次相乘，并只保留每次乘积的个位数字，继续与下一个

个位数字相乘。

（3）得到结果：最终得到的个位数字就是整个乘积的尾数。

3.关键技巧：注意观察个位数字相乘的规律，特别是当乘数较多或存在重复数字时，可以利

用周期性简化计算（这会在第三部分详细介绍）。

•才-知识点五、确定循环类结果的数字或余数

1.核心概念：某些数字的乘方运算的尾数，或者某些除法运算的余数，会呈现出周期性的重

复规律，这种规律称为“循环周期

2.常见类型与方法：

（1）乘方的尾数循环：

2345

①例如：21=2（尾2）,2=4（尾4）,2=8（尾8）,2=16（尾6）;2=32（尾2）,...可见2的乘方尾数周

期是4（248,6）。

②方法：找出该数字乘方尾数的循环周期长度（n）,用指数除以周期长度，根据余数确定尾

数（余数为0则是周期的最后一个数字）。

（2）除法的余数循环（周期问题）：

①例如：一列数按照、,1,3,57循环排列，求第2（）23个数是多少？这里周期是4。

笫2页共9页

②又如：3n+7的余数，也会呈现周期性。

③方法：通过计算前若干项的结果，找出余数的循环周期长度(n),用项数或指数除以周期

长度，根据余数确定第n项的余数或数字(余数为0则是周期的最后一个)。

知识点六、采用试除法解决余数问题

1.核心概念：当直接计算或列式有困难时，可以根据题目条件，通过尝试不同的数值代入计

算，来找到符合条件的被除数、除数或商。试除法常用于解决“一个数满足多个余数条件”的

问题。

2.适用场景：

(1)已知除数和余数，求最小的被除数。

(2)已知一个数除以不同除数所得的余数，求这个数。

3,方法与步骤(以“同余问题”或“物不知数”简单类型为例)：

(1)列出条件：明确已知的除数和对应的余数。

(2)逐个尝试：从满足第一个余数条件的最小数开始(通常是余数本身，或除数十余数)，

按照一定的顺序(如除数的倍数递增)进行尝试。

(3)验证条件：将尝试的数代入其他余数条件中进行验证，看是否都满足。

(4)找到答案：第一个同时满足所有余数条件的数就是所求的最小数(如果题目要求所有

数，则可表示为最小数加上所有除数的最小公倍数的倍数)。

唯例题讲解

脸一、分解被除数写出符合条件的除数

【例题1】已知被除数是58,余数是3,求所有可能的除数。

【例题2】一个数除以除数，商是两位数，余数是10,被除数是190,求除数的最大值。

笫3页共9页

唱二、确定一个乘积结果的尾数

【例题1］求12x23x34x45x56的尾数。

【例题2】求9x99x9求X...X999999(共1()个乘数)的尾数。

嘘三、确定循环类结果的数字或余数

【例题1］求22团的尾数。

【例题2】一列数按“2,5,8,1,4,7”循环排列，求第2023个数是多少？

【例题3】求5侬除以7的余数。

脸四、采用试除法解决余数问题

【例题1】一个数除以3余1,除以4余2,除以5余3,求最小数。

笫4页共9页

【例题2】一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自

然数是多少？

■考点练习

，一、分解被除数写出符合条件的除数

1.被除数是1()(),余数是4,那么除数可能的最小值是多少?

2.某数除以除数，商是7,余数是5,被除数是89,求除数。

3.被除数是150,余数是15,那么符合条件的除数有多少个?

4.已知被除数比余数大72,余数是8,求所有可能的除数之和。

笫5页共9页

5.被除数是N,余数是12,已知N-12的所有因数中大于12的有5个，那么N-12最小是多

少？

6.被除数是83,余数是r,除数是d,且d-r=5,求所有可能的除数d。

7.已知被除数是75,余数是除数的一半，求除数。

8.被除数是1000,余数是28,若除数是两位数，求除数的个数。

/二、确定一个乘积结果的尾数

1.求2x4x6x8x10x12x14的尾数。

2.求37x49x52x61x73x84的尾数。

笫6页共9页

3.求Ix3x5x7x9x...x99的尾数。

4.求25x26x27x...x35的尾数。

5.求.7x77x777x...x777777777（共9个乘数）的尾数。

6.求123456789x987654321的尾数。

7.求2023x2024x2025x2026x2027的尾数。

8.求求13x23x33x...x93（共10个乘数）的尾数。

笫7页共9页

，三、确定循环类结果的数字或余数

1.求丁00的尾数。

2.求"34的尾数。

3.3-7的商是循环小数，求小数点后第2023位数字。

4.求52必的尾数。

5.求l+2+3+...+n的和除以5的余数，当n=2025时，余数是多少？

6.求20232。23的尾数。

笫8页共9页

7.求20132013除以4和8的余数分别是多少？

8.求7n除以5的余数，当n=2023时，余数是多少？

9.1999323+323^9的和除以7的余数是多少？

/四、采用试除法解决余数问题

1.一个数除以5余3,除以7余2,求满足条件的最小壬整数。

2.一个数除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,求最小数。

3.一个数除以5余4,除以7余1,求最小数。

4.数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；

当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5。问：具有这种性质的三位数还有几个？

笫9页共9页

第08讲尾数与余数

。【学习目标】

1.理解尾数和余数的基本概念。

2.掌握通过分解被除数来确定符合特定余数条件的除数的方法。

3.学会观察并运用规律，快速确定多个数乘积的尾数。

4.能够识别并利用周期性规律，解决循环类问题中的尾数或余数确定。

5.掌握“试除法”这一重要技巧，并能运用它解决较为复杂的余数问题。

6.提高分析问题和解决问题的能力，培养数感和逻辑思维能力。

*知识梳理

知识点一、尾数

1.什么是尾数？

（1）尾数通常指一个自然数的最后一位数字（个位数字）。

（2）例如：123的尾数是3,5678的尾数是8。

2.如何求一个数的尾数？

（1）对于一个单独的自然数，直接看它的个位数字即可。

（2）对于四则运算结果的尾数，我们通常只需计算参与运算的各个数的尾数，然后进行相应

的运算，最后得到的结果的尾数就是整个算式结果的尾数。（注意：除法的尾数比较复杂，通

常不直接求，我们主要关注加、减、乘法的尾数）

一，-知识点二、余数

L什么是余数？

（1）当一个整数不能被另一个整数整除时，会产生余数。即：被除数：除数二商…余数。

（2）例如：10=3=3...1,其中1就是余数。

2.有余数除法的关系式：

（1）被除数=除数x商十余数

（2）余数v除数（这是非常重要的性质！）

3.如何求余数？

（1）通过直接做除法运算，得到商和余数。

（2）例如：计算57:8的余数。8x7=56,57-56=1,所以余数是1。

知识点三、分解被除数写出符合条件的除数

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1.核心概念；在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间存在关系；被除数=除数

X商十余数（其中余数<除数）

2.问题引入：已知被除数和余数，如何找出所有可能的除数？

3.方法与步骤：

（1）关系式转换：由被除数;除数x商十余数可得被除数-余数;除数x商。

因此，（被除数-余数）是除数的倍数，除数是（被除数-余数）的因数。

（2）分解差数：计算被除数-余数的结果，然后找出这个结果的所有正囚数，

（3）筛选除数：根据余数<除数的原则，从所有因数中筛选出大于余数的因数，这些因

数就是符合条件的除数。

知识点四、确定一个乘积结果的尾数

1.核心概念：一个数的尾数（个位数字）只与这个数的个位数字有关。因此，多个数相乘的

积的尾数，只与这些乘数的个位数字相乘的结果的尾数有关。

2.方法与步骤：

（1）提取个位：取出每个乘数的个位数字。

（2）逐步相乘：将这些个位数字依次相乘，并只保留每次乘积的个位数字，继续与下一个

个位数字相乘。

（3）得到结果：最终得到的个位数字就是整个乘积的尾数。

3.关键技巧：注意观察个位数字相乘的规律，特别是当乘数较多或存在重复数字时，可以利

用周期性简化计算（这会在第三部分详细介绍）。

•才-知识点五、确定循环类结果的数字或余数

1.核心概念：某些数字的乘方运算的尾数，或者某些除法运算的余数，会呈现出周期性的重

复规律，这种规律称为“循环周期

2.常见类型与方法：

（1）乘方的尾数循环：

2345

①例如：21=2（尾2）,2=4（尾4）,2=8（尾8）,2=16（尾6）;2=32（尾2）,...可见2的乘方尾数周

期是4（248,6）。

②方法：找出该数字乘方尾数的循环周期长度（n）,用指数除以周期长度，根据余数确定尾

数（余数为0则是周期的最后一个数字）。

（2）除法的余数循环（周期问题）：

①例如：一列数按照、,1,3,57循环排列，求第2（）23个数是多少？这里周期是4。

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②又如：3n+7的余数，也会呈现周期性。

③方法：通过计算前若干项的结果，找出余数的循环周期长度（n）,用项数或指数除以周期

长度，根据余数确定第n项的余数或数字（余数为0则是周期的最后一个）。

知识点六、采用试除法解决余数问题

1.核心概念：当直接计算或列式有困难时，可以根据题目条件，通过尝试不同的数值代入计

算，来找到符合条件的被除数、除数或商。试除法常用于解决“一个数满足多个余数条件”的

问题。

2.适用场景：

（1）已知除数和余数，求最小的被除数。

（2）已知一个数除以不同除数所得的余数，求这个数。

3,方法与步骤（以“同余问题”或“物不知数”简单类型为例）：

（1）列出条件：明确已知的除数和对应的余数。

（2）逐个尝试：从满足第一个余数条件的最小数开始（通常是余数本身，或除数十余数），

按照一定的顺序（如除数的倍数递增）进行尝试。

（3）验证条件：将尝试的数代入其他余数条件中进行验证，看是否都满足。

（4）找到答案：第一个同时满足所有余数条件的数就是所求的最小数（如果题目要求所有

数，则可表示为最小数加上所有除数的最小公倍数的倍数）。

唯例题讲解

脸一、分解被除数写出符合条件的除数

【例题1】已知被除数是58,余数是3,求所有可能的除数。

【答案】5,11,55

【分析】核心是利用“除数是（被除数-余数）的因数且大于余数“，需注意因数分解和筛选逻

辑。

【详解】①关系式转换：被除数-余数=58-3=55,即除数x商二55。

②分解差数：55的正因数为1,5,11,55。

③筛选除数：余数=3,除数需大于3,故符合条件的除数为5,11,55。

【例题2】一个数除以除数，商是两位数，余数是10,被除数是190,求除数的最大值。

【答案】19

【详解】①被除数-余数=190-10=180,除数x商二180,除数＞10,商是两位数（*0）。

笫3页共11页

②商=180：除数，商一除数W18。

③180的因数中018且>10的有12,15,18,对应商15,12,10（均为两位数），最大除数为18?

验证：18x10+10=190,正确，但190-10=180,除数x商二180,商是两位数，除数=180/商，商

>10,除数W18,最大除数18,

【分析】结合商的限制条件（两位数），需通过因数对筛选除数。

腺二、确定一个乘积结果的尾数

【例题1］求12x23x34x45x56的尾数。

【答案】0

【分析】关键是出现“5x偶数”得0,后续乘积尾数必为0。

【详解】①提取个位数字：2,3,456。

②逐步相乘保留个位：2x3=6-6；6x4=24-4；4x5=20-0；0x6=0。

【例题2】求9x99x999x...x999999（共10个乘数）的尾数。

【答案】1

【分析】利用周期简化多个相同个位的计算。

【详解】①个位均为9,周期规律：9>=9（尾9）,92=81（尾1）,9-9（尾9）,周期=2。

②10个乘数：10：2=5组，偶数个周期，尾数1。

嘘三、确定循环类结果的数字或余数

【例题1］求22团的尾数。

【答案】8

【分析】核心是掌握2的周期规律，用指数除以周期求余数。

【详解】①2的乘方尾数周期：248,6（周期=4）。

②指数2023：2023:4=505余3,周期第3个，尾数8。

【例题2】一列数按“2,5,8,1,4,7”循环排列,求第2023个数是多少?

【答案】2

【分析】周期数列问题，用项数除以周期求余数。

【详解】①周期=6（2,5,8,147）。

②2023:6=337余1,周期第1个数，即2.

【例题3】求53除以7的余数。

【答案】2

【分析】先从简单的5t7,求出余数，接着用5?、5\54.....分别去除以7求出余数，然

第4页共11页

后观察余数的周期规律，即可利用周期求余的方法步骤进行求余。

【详解】5-7余5,52K余4,5=7余6,5=7余2,55/7余3,56K余1,5?，余5（余

数开始重复，即周期为6）；

100：6=16.......4

周期中的第4个余数是2,用以5@除以7余2。

腺四、采用试除法解决余数问题

【例题1】一个数除以3余1,除以4余2,除以5余3,求最小数。

【答案】58

【分析】利用“差同减差”结论，快速求解（若不用结论，试除法需从除以5余3的数开始验

证）。

【详解】①观察"差同”：3-1=4-2=5-3=2,即这个数+2是3,4,5的公倍数。

②最小公倍数[3,4,5]=60,故最小数=60・2=58。

【例题2】一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自

然数是多少？

【答案】172

【分析】仔细分析可以发现3X2+1=5+2=7,所以这个数可以看成被3、5、11除余7,由于

[3,5,11]=165,所以这个数最小是165+7=1720

【详解】由“除以3余1,除以5余2”得：

3x2+1

=6+1

=7

5+2=7

又：[3,5,11]=165,

165+7=172

答：这个数最小是172。

■，考点练习

，一、分解被除数写出符合条件的除数

1.被除数是100,余数是4,那么除数可能的最小值是多少？

【答案】6

笫5页共11页

【分析】考杳“最小除数”的筛选，需先列出所有因数，再取大于余数的最小数。

【详解】①被除数・余数=100-4=96,除数x商二96。

②96的正因数:1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96。

③除数需大于余数4,最小因数为6。

2.某数除以除数，商是7,余数是5,被除数是89,求除数。

【答案】12

【分析】直接逆用关系式计算，需注意商为己知数时的直接求解。

【详解】①由被除数=除数x商+余数，得除数二（被除数・余数）：商。

②代入数据：除数=（89-5）+7=84+7=12。

③验证：12>5（余数），符合条件。

3.被除数是150,余数是15,那么符合条件的除数有多少个？

【答案】3个

【分析】考查因数个数的计数，需准确分解因数并筛选。

【详解】①被除数・余数=150-15=135,除数x商二135。

②135的正因数：1,3,5,9,15,27,45,135。

③除数需大于15,符合条件的因数为27,45,135,共3个。

4.已知被除数比余数大72,余数是8,求所有可能的除数之和。

【答案】171

【分析】结合“被除数-余数=差”的隐含条件，需先确定差，再计算因数和。

【详解】①被除数-余数=72,即除数x商=72,除数>8。

②72的正因数：1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72<>

③大于8的因数：9,12,18,24,36,72,和为9+12+18+24+36+72=171。

5.被除数是N,余数是12,已知N-12的所有因数中大于12的有5个，那么N-12最小是多

少？

【答案】182

【分析】考查因数分布规律，需结合因数成对性和最小值要求。

【详解】①设M=N-12,需M的因数中大于12的有5个，求最小M。

②因数成对出现，大于12的因数包含M本身，故需M有5个大于12的因数，即M的因

数从小到大排列后，后5个均大于120

③尝试最小M：182的因数为1,2,7,13,14,26,91,182,大于12的因数有13,14,26,91,182（共

5个），符合条件。

第6页共11页

6.被除数是83,余数是r,除数是d,且d・r=5,求所有可能的除数d。

【答案】8,11,22,44

【分析】通过关系式消去余数，转化为因数问题，需注意余数非负。

【详解】①由被除数=dx商+r,且r=d-5,得83=dx商+（d-5）-dx（商+1）=88。

②d是88的因数，且d>r=d-5（恒成立），商+1=88/d>2（W>1）-*d<44o

③88的因数中d>（）且d*4的有1,2,4,8,11,22,44,排除d=l,2,4（此时r=d-5为负）,故

d=8,11,22,44。

7.已知被除数是75,余数是除数的一半，求除数。

【答案】50

【分析】通过设未知数建立方程，结合因数分解和余数定义求解。

【详解】①设除数为d,则余数r=d+2,且rvd（恒成立），d为偶数。

②被除数=dx商―75=dx商+d+2-dx（商+0.5）=75—dx（2商+1）=150。

③2商+1是奇数,d是15（）的偶因数，且d>r=d+2Td>0。15（）的奇因数有1,3,5,15,25,75,

对应d=150,50,30,10,6,2,验证75=dx商+d+2：d=50时,75=50x1+25（r=25=504-2）,商

=1，符合条件。

8.被除数是1000,余数是28,若除数是两位数，求除数的个数。

【答案】4个

【分析】结合两位数限制和因数分解，需系统列出因数并筛选。

【详解】①被除数-余数=1000-28=972,除数x商=972,除数是两位数（10夕长99）且

d>28o

②分解972=22x35,两位数因数且>28的有：36（22x32）,54（2x33）,813）,108（超两位

数，排除）,3x34=81,22x33=108（超），故符合条件的除数为36,54,81,还有972+3=324（超）,

972:4=243（超），972:6=162（超），972:9=108（超），972m2=81,97278=54,972*7=36,

972:36=27（商27,除数36）,所以共4个。

/二、确定一个乘积结果的尾数

1.求2x4x6x8x10x12x14的尾数。

【答案】0

【分析】含因数1（）（个位（）），尾数直接为0。

【详解】①提取个位：2,4,6,8,024。

②逐步相乘：2x4=8—>8：8x6=48—8：8x8=64—4：4x0=0,后续乘仟何数均为0。

笫7页共11页

2.求37x49x52x61x73x84的尾数。

【答案】2

【分析】按步骤保留个位，避免中间计算错误。

【详解】①提取个位:7,921,3,4。

②逐步相乘：7x9=63—3；3x2=6-6；6x1=6-6；6x3=18-8；8><4=32一2。

3.求Ix3x5x7x9x...x99的尾数。

【答案】5

【分析】利用“奇数x5=5”的规律，无需全部计算。

【详解】①所有乘数均为奇数，且包含个位5的数（如5,15,...95）。

②奇数x5二个位5,后续再乘任何奇数仍为5,故尾数5。

4.求25x26x27x...x35的尾数。

【答案】0

【分析】识别“5+偶数”组合，直接得尾数0。

【详解】①包含25（个位5）和26（个位6,偶数），5x6=301个位0,后续乘积尾数0。

5.求7x77x777x...x777777777（共9个乘数）的尾数。

【答案】7

【分析】先确定周期，用乘数个数除以周期求余数。

【详解】①个位均为7,周期规律：7』7,72=49（9）,73=3（3）,711⑴凋期=4。

②9个乘数：9+4=2余1,周期第1个，尾数7。

6.求123456789x987654321的尾数。

【答案】9

【分析】简单两位数相乘，直接计算个位乘积。

【详解】①提取个位：9x1=9,尾数9。

7.求2023x2024x2025x2026x2027的尾数。

【答案】0

【分析】快速识别含5和偶数的乘数。

【详解】①2025个位5,2024个位4（偶数），5'4=20->个位0,后续乘积尾数0,

8.求3xl3x23x33x...x93（共10个乘数）的尾数。

【答案】9

【分析】利用乘方尾数周期，将乘数个数转化为指数。

【详解】①个位均为3,周期规律：3=3,32=9,33=7,311凋期二4。

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②10个乘数：10:4=2余2,周期第2个，尾数9。

,三、确定循环类结果的数字或余数

1.求3。的尾数。

【答案】1

【分析】余数为。时取周期末位，避免误算为第0个。

【详解】①3的周期：397,1（周期=4）。

②100:4=25余0,余数0对应周期最后一个，尾数I。

2.求7^34的尾数。

【答案】9

【分析】准确计算指数除以周期的余数。

【详解】①7的周期：7,9,3」（周期=4）。

②1234:4=308余2,周期第2个，尾数9。

3.3-7的商是循环小数，求小数点后第2023位数字。

【答案】4

【分析】先确定循环节，再用位数除以周期求余数。

【详解】①3+7=0.428571.…,循环节“428571"（周期=6）。

②2023—6=337余1,循环节第1位数字4。

4.求52。24的尾数。

【答案】5

【分析1特殊数字（5,6）的周期为1,可直接判断。

【详解】①5的任何正整数次寻尾数均为5（周期=1）。

②直接得尾数5。

5.求l+2+3+...+n的和除以5的余数，当n=2025时，余数是多少？

【答案】0

【分析】通过代数变形直接判断整除性，无需计算具体和。

【详解】①和公式:n（n+l）+2=2025/2026+2=2025x1013。

②2025是5的倍数（2025=5x405）,故和是5的倍数，余数0。

6.求20232。23的尾数。

【答案】7

【分析】只关注底数的个位数字，简化为3的乘方尾数问题。

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【详解】①2023个位为3,3的周期=4(3,9,7/)。

②指数2023:4=505余3,周期第3个，尾数7。

7.求20132013除以4和8的余数分别是多少？

【答案】1：5

【分析】一个数除以4的余数等于其末两位数除以4的余数；一个数除以8的余数等于其末

三位数除以8的余数。

【详解】20132013的末两位数是13

13:4=3........1

所以20132013除以4的余数是1；

20132013的末三位数是()13

13:8=1........5

所以20132013除以8的余数是5o

8.求7n除以5的余数，当"2()23时，余数是多少？

【答案】3

【分析】先计算前几次余数找周期，再用指数除以周期求余数。

【详解】①7・5余2,72=49+5余4,73=343+5余3,74=2401+5余1,7§=16807+5余2,周期

=4(2,4,3」)。

②2023：4二505余3,周期第3个余数3。

9.1999心+323,9的和除以7的余数是多少？

【答案】3

【分析】因为1999除以7的余数是4,因此199中23除以7的余数是才23除以7的余数，则

,07

4323=(64)|外16