浙江省温州某中学2025-2026学年九年级（上）期中数学试卷

浙江省温州实验学校2025・2026学年九年级(上)期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知。。半径为9,若点P在。0外，则线段OP的长可能是()

A.8B.8.5C.9D.9.5

2.抛物线y=x2-5x-6与、轴的交点坐标为()

A.(6,0)B.(-1,0)C.(0,6)D.(0,-6)

3.中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼,4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到

五仁月饼的概率是()

A三B-c-5Dl

A.909

4.如图，AB//CD//EF,若保=率DF=8,.则BC的长为()/[

A.10

B.8

C.6FIF

D.4

5.如图,四边形ABC。是O。的内接四边形,/-ABC=140°,贝的度数是以―----、

()

A.40°

B.80°

C.100°A

D.120°

6.如图，在平面直角坐标系中，若AZBC与ADEF是位似图形，位似中

心是原点。.若力（12,8）,0（6,4）,心2,3）,则点8的坐标为（）

A.(4,4)

B.(4,6)

C.(5,6)

D.⑸4)

7.若力（一2,%）,8（-1,月），。（2,%）是抛物线丫=一（工+1）2+。上的三点，则力，乃，乃的大小关系为（）

A.V2>71>73B.y2>73>7iC.y3>y2>%D.y3>y,>

8.如图,为。。的直径，CD为。0的弦，CD14B于点E,若4E=8,

BE=2,则CD的长为（）

A.4

B.6

C.8

D.9

9.如图，A/IBC中，乙4cB=80。，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,使

点B的对应点。恰好落在4B边上，AC.ED交于点F.若乙BCD=a,则NE尸C的

度数是（）

A.80°+,

B.100°+3^a

C.160°-31a

D.170°

10.为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离.如图1,甲船位于乙船的正西方向，甲船从点

A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点8出发朝正西方向匀速航行，当乙船到点力时，两船均停止航行.

设乙船航行的时间为t（单位：/i）（o<t<y）,甲、乙两船距离的平方为y（单位：府2）.如图2,y关于£的函

数图象与y轴交于点。（0,900）,最低点E（m,n）,且经过点F（2.4,900）.下列结论中正确的有（）

@AB=30：

②m=1.1；

③干船的速度为12k771"：

④若存在2个时刻ti，£2（tiVt2）对应的两船距离相等，且£2=91，则£1时刻对应的两船距离平方为

585km2.

A.②③④B.①③C.①③④D.①④

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.正五边形每个内角的度数为.

12.一个不透明的布袋里装有6个白球和若十个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个

球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于,，由此可估计袋中

约有红球一个.

13.某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为％（%>

0）,11月份的投入资金为y万元，则可列y关于％的函数表达式为—.

14.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个

摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=BD=18cm,

OC=10cm,圆心角为60。，则图2中摆盘的面积是—cm2.

15.已知二次函数y=/-2%+巾+1,当xWm时，该函数取得最小值为3,则m的值为.

16.如图，在菱形48CD中，点E为对角线4C上一点，将a/lBE沿BE折

叠，使得点力的对应点尸落在边C。上，B尸交4c于点G.

(1)若乙8尸C=72°,则乙4EB的度数为一；

(2)若设喘=k，则器的值为一.(用含k的代数式表示)

三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

计算：

(1)已知线段a=4,b=9,求线段a,b的比例中项线段c；

(2)已知广本求罗的值.

18.(本小题8分)

某校文学社开展“与课本人物面对面”活动，学生通过抽取课本人物参与对应的“大咖对话”活动.现有三

张人物卡片如图所示，卡片背面都相同，现将卡片背面朝上，参与同学可从中任意抽取一张卡片再放回.其

中七3班有甲和乙两名学生参加活动.

(1)甲抽到“鲁迅”卡片的概率为______；

(2)请用画树状图法或列表法，求甲和乙抽到不同人物卡片的概率.

选项A:史铁生选项B:强迅选项B：海伦•凯勒

19.(本小题10分)

如图，在矩形4BCD中，AB=7,BC=3,在力B边上取点E,连接CE,作E尸1CE交边4。于点凡

(1)求证：△4EFS48CE；

(2)若EB=1,求。F的长.

20.(本小题8分)

某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.已知跳板AB

长为2米，跳板与水面CD相距3米，在离起跳点(点4)水平距离1米时达到距水面最大高度4米.

(1)请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式；

(2)求运动员落水点£1与点C的距离.

图1

21.(本小题8分)

如图，三角板30。，90。角顶点A,C在圆形纸片上.请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径CE.

(1)小实的作法如下：如图1，分别以C，。两点为圆心，CD长为半径作弧，交圆内于点。，连接CO并延

长，交圆于点£则CE就是所求作的直径.请说明理由；

(2)请你在图2中作出圆形纸片的直径CE,要求与小实作法不同(保留作图痕迹，不写作法).

22.(本小鹿12分)

在平面直角坐标系中，已知4(与,几)，B(%2,n)是抛物线y=/-2ax-1(Q>0)上两点，且与V

(1)判断点(2a,-1)是否在抛物线上，并说明理由；

(2)若将抛物线向上平移5个单位后，抛物线与工轴恰好只有一个交点，求Q的值；

(3)若喘-xl<4a时，n<一1恒成立，求。的取值范围.

23.(本小题12分)

如图1,。。是△A8C的外接圆，LABC>90°,延长△A8C的角平分线BE交。。于点D.

(1)求证：Z-AED=Z.DAB；

(2)若AD=5,BD=6,求0E的长；

⑸如图2,作AF〃BC交BD于点、F,若需=焉，AD=16,求。0的半径.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：丫。。半径为9,若点P在。。外，

GP的长〉9.

故选：O.

直接根据点与圆的位置关系即可得出结论.

本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：依题意，令％=0,则y=。2-5x0-6=-6,

即抛物线y=x2-5x-6与y轴的交点坐标是(0,-6),

故选：D.

根据在y轴上的点的横坐标为0,即把x=0代入y=/-5%-6进行计算，即可作答.

本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，掌握其相关知识点是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：••・小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，

.•.小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是立念=今

2+4+39

故选：A.

直接由概率公式求解即可.

本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比.熟记概率公式是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：•・YB〃CG〃EF,

需

拶3

-即8=

4-

解得：BD=6,

故选:C.

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把己知数据代入计算得到答案.

本题考杳的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理.、找准对应关系是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：•••四边形48CD是00的内接四边形，

Z.ABC+Z.D=180°,

vZ.ABC=140°,

:.ZD=180°-140°=40°,

由圆周角定理得：/-AOC=2ZD=80°,

故选：B.

先根据圆内接四边形的性质求出ND,再根据圆周角定理求出N40C.

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：•••△ABC与ADEF是位似图形,位似中心是原点。,71(12,8),。(6,4),

•••△A8C与的相彳以比为2：1,

.•.点8的坐标为(2x2,2x3),即(4,6).

故选:B.

结合位似的性质可知，△ABC与△DEF的相似比为2：1,进而可得答案.

本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：,抛物线y=-(x++a,

，抛物线的开口向下，对称轴为直线欠=-1,

•••5(-1,〉2)在直线工=一1上，。(2,%)离直线无=一1最远，

二纥最大，乃最小，

:，%>71>、3，

故选:A.

首先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的悭象与性质是

解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：•••4E=8,BE=2,

•••4B=4E+8E=8+2=10,

•••GB=OC=5,

•••GE=OB-BE=5-2=3,

在直角三角形COE中，由勾股定理得：CE=VOC2-OF2=4,

••,AB为。0的直径，弦CD148,

•••CD=2CE=8,

故选：C.

连接。C，根据题意求出。。、0E的长，根据勾股定理去CE,根据垂径定理得到答案.

本题考查垂径定理和勾股定理，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：•••将AABC绕点C顺时针旋转得到AEDC,

•••乙CDE=乙B,CD=BC»

zfi=1x(180°-乙BCD)=90°-ja,

LCDE=90°-1a.

v£ACB=80°,

••・乙DCF=Z.ACB-乙BCD=80°-a,

13

.・.乙EFC=乙DCF+乙CDF=80。-a+90。一扣=170。-"

故选：D.

由旋转得上CDE=NB,CD=BC,可得NB=4CDE=Tx(180C-48CD)=90°-：a,乙DCF=^ACB-

乙BCD=80°-a,进而可得4ER?=乙DCF+乙CDF=170°-1iz.

本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：•.》关于t的函数图象与y轴交于点。(0,900),

•••根据题意，当t=0时，力”=900,

•••AB=30,故①正确；

设甲船的速度为也产乙船的速度为〃乙，

2

根据题意，由勾股定理得y=(%产)2+(30-vzt)

=吟J2+900—60〃乙t+v\t2

=(吟+吸)~-602+900,

.••y与£满足二次函数关系,

•••点。(0,900),点尸(2.4,900),

・•・根据二次函数图象性质得，最低点E的横坐标根=等=1.2,故②错误;

根据题意，乙船航行的时间亡=学时，U/t=30,

解得u乙=9,

vy=(v^+v^t2-60u乙£+900过点尸(2.4,900),

+92)x2.42-60x9x2.4+900=900,

解得〃火二12,故③正确；

•.•若存在2个时刻打，垃(£1＜匕)对应的两船距离相等，

.••根据二次函数图象性质得，詈=1.2,

又《2=，,

解得h=1，

y=(4+吸)j-60v乙t+900,其中口例二12,P乙=9,

.••兰0=1时，代入得y=585,故⑷正确.

故选：C.

利用勾股定理得出甲、乙两船距离的平方y与t满足二次函数关系，再结合图象上已知点的坐标，利用图象

性质逐一分析即可求解.

本题考查二次函数的应用，熟练运用函数图象性质是解决本题的关键.

11.【答案】108°

【解析】解：方法一：(5-2)x180°=540°,

5400+5=108°；

方法二：360n-r5=72°,

180°-72°=108°,

所以，止五边形每个内角的度数为108。.

故答案为：108。.

方法一：先根据多边形的内角和公式(n—2)♦180。求出内角和，然后除以5即可；

方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列

式计算即可得解.

本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先

求外角的度数更简单一些.

12.【答案】12

【解析】解:设红球有x个，

根据题意得白=,，

6+x3

解得工=12.

估计袋中约有红球12个.

故答案为：12.

设红球有久个，根据多次试验频率稳定在概率附近得去二反，再求出解即可.

b+X3

本题主要考查了用频率估计概率，掌握多次试验的频率可估计概率是解题的关键.

13.【答案】y=20(l+x)2

【解析】解：根据题意得：y=20(l+x)2,

故答案为：y=20(l+x)2.

用9月份的投入资金和增长率表示出10月份的投入资金和11月的投入资金后即可得到答案.

本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，解题的关键是了解增长率的算法，难度不大.

14.【答案】1147r

1解析】解：S爆"、大眼形-5小喇形=60"x吃~1。)2_60%。2=1147r(加),

故答案为：

根据扇形面积的计算方法进行计算即可.

本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键.

15.【答案】3

【解析】解：y=--2%+m+1=Q-l)?+m,

•••该函数的图象开口向上，对称轴是直线式二1,

'-=X=1时，该函数取得最小值TH,

•••兰xwm时，该函数取得最小值为3,

:.m=3»

故答案为：3.

根据题意和二次函数的性质，可以得到m的值，本题得以解决.

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

16.【答案】108°.

/

1-k2

【解析】解：(1)•.•四边形48CD是菱形，

:.AB//CD,AB=AD=CD=CB,乙BAD=乙BCD,

AZ.ABF=乙BFC=72°,Z-BAC=/-DCA=乙DAC,

•••将A/IBE沿8E折叠，点4的对应点F落在边CD上，

AAB=FB,4ABE=乙FBE=^LABF=36°,

CB=FB,

•••乙BCD=Z.BFC>

/BAD=乙BFC=72°,

々BAC=3乙BAD=36°,

:•乙AEB=180°-乙ABE-Z.BAC=108°,

故答案为：108°.

(2)vZ.ABF=Z.BFC=Z.ACD.Z,BAD=乙BCD,

:.Z.ABF=4BAD,

•；々ABE=^EBG=；^ABF,/.BAG=^BAD,

Z.ABE=Z.EBG=乙BAG,

BE=AE,

Z.EBG=/.BAG,乙BGE=Z.AGB,

EBGs〉BAGt

EGBGBEAE,

：.—=—=—=—=k.

BGAGARAB

...BG/，且8G=k・4G=k(/E+EG),

FG

.••华=k(AE+EG),

整理得能=/

AE"k2

k2

故答案为:

(1)由菱形的性质得乙BAD=^BCD,则4尸=尸C=72。，Z.BAC=ADCA=^DAC,由折叠

得｛8=FB,Z-ABE=4FBE=36°,则CB=FB,所以乙BCD=乙BFC,求得484D=乙BFC=72°,贝I」

^BAC=^BAD=36°,求得乙AEB=108°,于是得到问题的答案.

(2)由4力8/=zBFC=i4CD,乙BAD=LBCD,推导出二4^\z,ABE=^EBG=LBAG,所

以BE=/IE,可证明△EBGSA84G,得普=黑=萼=黑=匕所以BG=牛=k•AG=k(AE+EG),

nuAGAoAnK

则告=匕，于是得到问题的答案.

力E1-达

此题重点考查菱形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定

与性质等知识，推导出=进而证明BE=AE及△EBGSABAG是解题的关键.

17.【答案】(l)c=6(2)4

【解析】解：(1)•.・a=4,b=9・

c2=ab=4x9=36.

vc>0,

•••c=6；

C、X3

⑵"=Z，

设x=3k,y=4k,

4x+y

y

12k+4k

=4k

=4.

(1)根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案；

(2)根据比例的性质设x=3k,y=4k,代入计算，于是得到结论.

本题考查了比例线段和比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

18.【答案】|(2)|

【解析】解：(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲抽到“鲁迅”卡片的结果有1种，

•••甲抽到“鲁迅”卡片的概率为上

故答案为:1.

(2)列表如下:

ABC

AGM)(4B)(4C)

B(8,A)(B,8)(B,C)

CS)©B)(C,C)

共有9种等可能的结果，其中甲和乙抽到不同人物卡片的结果有6种，

.•.甲和乙抽到不同人物卡片的概率为1=

(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲抽到“鲁迅”卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案.

(2)列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙抽到不同人物卡片的结果数，再利用概率公式可得由答

案.

本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

19.【答案】⑴•••四边形48CD是矩形,

/A=/R=90°,

•••EF1CE,

:.乙FEC=90°,

LAEF+乙BEC=90°,

:.乙BCE+乙BEC=90°,

:.乙AEF=Z.BCE♦

:AAEFS^BCE(2)。尸的长为1

【解析】(1)证明：,••四边形4BCD是矩形，

:•4A==90°,

vEF1CE,

:.乙FEC=90°,

LAEF+乙BEC=90°,

乙BCE十乙BEC=90°,

:.Z.AEF=乙BCE,

•••△AEF^L.BCE.

(2)解：•:AB=7,AD=BC=3,EB=1,

•••力E=48-EB=7-1=6,

△AEFs△BCE,

.FA_AE_6_-

EBBC3

FA=2EB=2X1=2,

'.DF=AD-FA=3-2=1,

・•.D/的长为1.

(1)由矩形的性质得4力==90°,由EF上CE,得乙尸EC=90。，由乙力+4BEC=90。，iBCE+

乙BEC=90。,推导出乙山部=乙8。£,即可根据“两角分别相等的两个三角形相似“证明

BCE.

(2)由48=7,AD=BC=3,EB=1,求得4E=-EB=6,由相似三角形的性质得籍=箓=2,求

LtooC

得广4=2EB=2,则。尸=AD-FA=1.

此题重点考查矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知

识，推导出乙4E尸=4BCE,进而证明△/IEFSABCE是解题的关键.

2().【答案］(1》=一(X-3)2+4(答案不唯一)(2)运动员落水点与点。的距离为5米

.••可得抛物线顶点坐标为(3,4),>4(2,3),

又♦；设抛物线解析为：y=a(x-3产+4,

-3=a(2—3)2+4,

a=—1»

2

Ay=-(x-3)+4(答案不唯一)；

(2)由题意可得：当y=O时，0=-(X-3)2+4,

解得：

%i=1»x2=5,

••・抛物线与％轴交点为：(5,0),

答：运动员落水点匕与力、C的距离为5米.

(1)依据题意，可以CD为横轴，C8为纵轴建立直角坐标系，根据抛物线顶点坐标为(3,4),可设抛物线解析

为:y=a(x-3)2+4,将点4(2,3)代入可得;

(2)在(1)中函数解析式中令y=0,求出入即可.

本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式y=a(x-h)2+

k,然后利用当QVO,X=八时，y有最大值匕当a>0,%=九时，y有最小值k等性质解决实际问题.

21.【答案】(1)如图1中，连接CD,DE.

由作图可知C。=OC=OD,

:•乙OCD=60°,

vzf=z/l=30°,

乙EDC=90°

EC是直径(2)如图2中，线段CE即为所求.

2

【解析】解:(1)如图1中，连接CD,DE.

由作图可知CD=0C=OD,

:.LOCD=60°,

vZ.E=Z-A=30°,

:.乙EDC=90°,

:.EC是直径.

(2)如图2中，线段CE即为所求.

(1)想办法证明NEOC=90。即可；

(2)过点A作/1E1/1C交。。于点E,连接CE即可.

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握相关知识解决问题.

22.【答案】(1)点(2a,-1)是否在抛物线上(2)Q=2(3)0<a<1

【解析】解：(1)把x=2a代入y=x2-2ax-1得，y=4u2-4u2-1=-1,

•・•点(2a,-1)是否在抛物线上；

(2)vy=x2—2ax—1=(x—a)2—a2—1,

•••将抛物线向上平移5个单位后得到y=(x-Q)2-a2+4,

•••抛物线开口向上，抛物线与不轴伶好只有一个交点，

•••-a2+4=0,

解得a=±2,

a>0,

•••a=2；

2

(3)vA(xvn),8(%2,九)是抛物线Y=x-2ax-l(a>0)上两点,

・••对称轴为直线％=4/=一二分=a,

/+必=2a,

v%2~xi<4a,

xx—

A(x2+i)(.2—Xi)V4a,即2Q(%2%i)<4a,

va>0,

x2-xr<2,

xl-xf<4a时,n<一1恒成立，

•••x2-Xi<2时，n<一1恒成立，

•••抛物线开口向上,

汹一句=2时，n=-1,

把丁=-1代入y=x2-2ax—1得，x2—2ax—1=-1,

即--2ax=0,解得=0或不=2Q,

•••2Q—0=2,解得Q=1,

故若若一注V4a时，九V-1恒成立，OVQWI.

(1)把点(2a,-1)代入抛物线的解析式即可判断；

(2)求得平移后的函数解析式，根据题意顶点在工轴上，即顶点的纵坐标为0,据此即可求解：

(3)利用抛物线的对称性已经对称轴公式得到与+必=2a,由靖-xl<4a,即可求得上-%i<2,根据

题意不一看二2时，n=-l,即抛物线与直线y二-l两交点间的距离为